Các phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân thường cấp 1 10 4.Điề u ki ệ n Lipschitz 10 Chưong 2: Các phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy đối với 11 phương trình vi phân thường

Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em đã nhận được sự dìu dắt, chỉ bảo

và tạo điều kiện giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán nói chung và trong

tổ Giải tích nói riêng, đặc biệt là sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo TS.Khuất Văn Ninh.

Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo TS.Khuất

Văn Ninh Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn

sinh viên quan tâm và đóng góp ý kiến cho đề tài của em

LỜI CAM ĐOAN.

Kết quả của đề tài này là do sự nỗ lực cố gắng tìm tòi của bản thân Emxin cam đoan kết quả nghiên cứu của em không trùng với kết quả của các tácgiả khác

Hà Nội ngày 18/5/2009

Sinh viên:

Phạm Thị Hoa.

MỤC LỤC

L

Ờ I C Ả M Ơ N 1

L Ờ I CAM Đ OAN 2

L Ờ I NÓI ĐẦ U 5

NỘI DUNG KHOÁ LUẬN 7 Chươn g 1: Kiế n th ức cơ sở 7

I Các khái ni ệ m 7

1.S ố g ần đúng 7

2.Sai s ố 7

3.Sai phân 8

II Khái quát về phương trình vi phân 8 1.M ộ t s ố khái ni ệ m 8

2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 8 3 Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân thường cấp 1 10 4.Điề u ki ệ n Lipschitz 10

Chưong 2: Các phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy đối với

11

phương trình vi phân thường.

2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard 13

III.Ứng dụng của tin học để giải phương trình vi phân thường 29

1 Ứng dụng của chương trình MapleV 29

2.Ứ ng d ụ ng c ủ a ngôn ng ữ l ậ p trình Pascal 30

I Các bài tập ứng dụng của các phương pháp giải tích 38

II Các bài tập ứng dụng của các phương pháp số 45

K

Ế T LU Ậ N 53

TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 54

LỜI NÓI ĐẦU

Thế kỷ XXI là thế kỷ bùng nổ của công nghệ thông tin, ứng dụng củacông nghệ thông tin có đóng góp to lớn và hiệu quả trong mọi mặt của đờisống Và cũng từ rất lâu tin học đã được ứng dụng vào trong môn Toán Cónhững số liệu tính toán quá cồng kềnh và những bài toán phức tạp chúng takhông thể giải bằng tay được nhưng nếu dùng các lập trình trên máy vi tínhthì chúng ta có kết quả rất nhanh gọn và chính xác

Các bạn sinh viên đã được học môn phương trình vi phân từ kì II nămthứ ba, vì thế các bạn đã rất quen thuộc với dạng toán tìm nghiệm đúng củabài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường Thế nhưng có nhiềutrường hợp nghiệm đúng của các phương trình vi phân không thể tìm được.Bởi vậy để tìm nghiệm của chúng, ta phải áp dụng các phương pháp gần đúngkhác nhau Ở mỗi phương pháp chúng ta có thể dùng lập trình Pascal hay sửdụng thuật toán MapleV để giải các bài toán này

Với mong muốn học hỏi tích luỹ thêm cho mình những kỹ năng và kinhnghiệm khi tiếp cận với ứng dụng của công nghệ thông tin váo việc giải toánđồng thời để hiểu sâu hơn về phương trình vi phân em mạnh dạn chọn đề tàilà: “Các phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phânthường”

Nội dung của khoá luận gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở.

Chương này nhằm trình bày các khái niệm và định lý cơ bản nhất vềcác vấn đề có liên quan đến nội dung trong chương 2 sẽ trình bày

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường.

I Các phương pháp giải tích

1 Phương pháp lặp đơn

2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard

3 Phương pháp chuỗi số nguyên

III Ứng dụng của tin học để giải phương trình vi phân thường

1 Ứng dụng của chương trình MapleV

2 Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình Pascal

Chương 3: Các bài tập ứng dụng.

I Các bài tập ứng dụng của các phương pháp giải tích

II Các bài tập ứng dụng của các phương pháp số

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do thời gian có hạn và điều kiệnnghiên cứu còn hạn chế đồng thời kiến thức của bản thân người làm khoá luậncòn chưa vững nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, em rất mongnhận được sự quan tâm góp ý của các thầy cô giáo, các bạn sinh viên cũngnhư các bạn đọc quan tâm đến vấn đề này để khoá luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội 18/5/2009

Sinh viên:

Phạm Thị Hoa.

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ.

I Các khái niệm:

1 Số gần đúng

Trong tính toán, ta thường phải là việc với các giá trị gần đúng của các

đại lượng Ta nói a là số gần đúng của

2 Sai số

a* , nếu a không sai khác a* nhiều

a) Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

+) Sai số tuyệt đối: Đại lượng 

:



a 

a*

gọi là sai số thật sự của a

Do không biết a* nên ta cũng không biết  Tuy nhiên ta có thể tìm

hay a a a* a a.

+) Sai số tương đối: đại lượng a :

là số thập phân vô hạn Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ

số bên phải a để được một số a ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a

c) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nênkhi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

f(x)

vi

p

Hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian □ Trong

cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất

2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1

trước, hàm f (t, x)

và

x0 cho trước được gọi là bài toán Cauchy đối với

phương trình vi phân thường cấp 1, điều kiện (2) được gọi là điều kiện Cauchy hay điều kiện ban đầu

tại ít nhất một nghiệm x(t) của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (2) tức là

x(t) là nghiệm của bài toán (1-2).

c) Định lý (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)

t ,xR

b f (t,

x) thoả mãn điều kiện Lipchitz

là hằng số thì tồn tại duy nhất nghiệm

x(t) của bài toán (1-2) xác định trên [0,T].

3 Bài toán Cauchy với hệ hai phương trình vi phân:

4 Điều kiện Lipschitz.

Ta nói rằng trong miền G hàm f (x, y) thoả mãn điều kiện Lipschitz

theo biến y nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho đối với hai diểm x, y G,

x, yG bất kì, ta có bất đẳng thức

CHƯƠNG 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI

VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Các phương pháp giải phương trình vi phân chia làm 2 nhóm:

*Nhóm các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dướidạng biểu thức giải tích

*Nhóm các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng

Sau đây, ở mỗi nhóm chúng ta sẽ xét một vài phương pháp cụ thể

I Các phương pháp giải tích.

1 Phương pháp lặp đơn.

a) Nội dung phương pháp

Xét bài toán giá trị ban đầu sau đây:

y ' dy 

dx f (x, y)

Giả sử hàm f (x,

y)

liên tục trong R và trên đó thoả mãn điều kiện

Lipschitz theo biến thứ hai

,

Ngoài ra, giả sử

M max f (x, y) , h  min(a,

= liên tục trên toàn mặt phẳng nên a, b có thể

Chọn =0 thì xấp xỉ đầu tiên được xác định:

.Tương tự:

Chúng ta ước lượng sai số của (x) bằng công thức (5)

Chọn a =1, b =0,5 thì ta có:

M max f (x, y)

2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.

a) Nội dung phương pháp

*) Tìm nghiệm của bài toán Cauchy (1-2) là phương pháp xấp

xỉ liên tiếp Gỉả sử các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm được thoả mãn Việcgiải bài toán tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình tích phânsau:

(Theo lý thuyết phương trình vi phân): Nếu f (x,

Người ta chứng minh được rằng

y(x) là nghiệm đúng của (1.1),

3 Phương pháp chuỗi hàm nguyên.

a) Nội dung phương pháp

nếu tìm được các giá trị ( ) thì nghiệm gần đúng có thể lấy chẳng hạn

Trong đó N là 1 số tự nhiên nào đó, nếu ta tính được các đại lượng

( ), (k=0, 1, ,…,N) Để tính ( ) ta xuất phát từ bài toán (1-2), ta có:

y' ( )= f ( )

0

k

Lấy đạo hàm các cấp cả 2 vế (1) rồi thế x = vào ta được lần lượt các

a) Nội dung phương pháp.

Xét bài toán Cauchy:

y '  f (x, y), a x

y(a) y0 (2)Chia đoạn a,bthành các đoạn nhỏ bởi các điểm

x i ta sử dụng công thức tính của phương pháp chuỗi hàm

nguyên trong nhóm các phương pháp giải tích đã trình bày ở mục trước nhưsau:

x i1 x i Trong phần bài tập ta sẽ chỉ xét phép phân hoạch đoạn

a,blà phép phân hoạch đều tức

x fy

i 0,1, , N 1. Khi đó

y i1 y i hf (x i , y i ),i  0,1, , N 1

a) Nội dung của phương pháp.

Xét bài toán Cauchy (1-2) Ta cũng phân hoạch

tuy đơn giản nhưng

độ chính xác chưa

cao Để

khắc phục nhược điểm này chúng ta sử dụng phương pháp Euler-Cauchy Sơ

đồ tính toán của phương pháp này như sau:

không chú ý tới sự thay đổi của đạo hàm trong khoảng x i ,

rằng nếu hàm f (x,

y)

thay đổi nhiều và không tuyến tính thì sai số mắc phải

sẽ lớn Phương pháp áp dụng công thức Euler-Cauchy sẽ khắc phục nhượcđiểm này

3 Phương pháp Runge―Kutta.

a) Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy (1 - 2) ta chia đoạn a,bthành các đoạn nhỏ bởi

các điểm chia x i (i=0, 1, …, N) sao cho:

Sau đây chúng ta sẽ xét một vài trường hợp riêng thường dùng.

1 Trường hợp r=1: Chúng ta có phương pháp Euler.

2.Trường hợp r=2: Chúng ta có phương pháp Euler-Cauchy.

3 Trường hợp r=3.

Trong trường hợp này chúng ta có thể xây dựng được một trong các công thức thông dụng sau:

r

K3 hf (x0 h, y0 K1 2K2 ) Sai số được xác định bởi công thức:

2 (i) 2 (i) (i) )

Sơ đồ tính cho phương pháp Runge-Kutta:

2

K (0)

y  2 0

2

(0)

y0 K3

K (0) 1

K (0) 2

K (0) 3

K (0) 4

K (0) 1

2K (0) 2

2K (0) 3

K (0) 4

5 Trường hợp r 6: Chúng ta có phương pháp

(RK4)b) Ví dụ: Giải bài toán sau bằng phương pháp Euler

11,145238

0,10,114524

0,10,229048

1,1

0,0572620,115907

1,1590711,310740

0,1159070,131074

0,2318140,1310740,115323

1 1,1 0,115323 1,309678 0,130968 0,130968

1,15 0,180807 1,464447 0,146445 0,2928891,15 0,188546 1,477805 0,147791 0,2955811,20 0,263114 1,638523 0,163852 0,163852

0,147215

2 1,2 0,262538 1,637563 0,163756 0,163756

1,25 0,344416 1,801066 0,180107 0,3602131,25 0,352591 1,814146 0,181415 0,3628291,30 0,443953 1,983005 0,198301 0,198301

0,180805

3 1,3 0,443388 1,982135 0,198214 0,198214

1,35 0,524495 2,153696 0,215370 0,4307391,35 0,551073 2,166404 0,216604 0,4432811,4 0,660028 2,42897 0,234290 0,234290

0,216087

4 1,4 0,659475 2,342107 0,234211 0,234211

1,45 0,776580 2,521146 0,252115 0,5042291,45 0,785532 2,533493 0,253349 0,5067001,50 0,912824 2,717099 0,271710 0,271711

0,252808

4 Phương pháp Adams.

a) Nội dung phương pháp

Năm 1855, nhà toán học người Anh Adams đề xuất một phương pháp đabước giải bài toán Cauchy theo yêu cầu của ông Bashforth, một chuyên gia kỹthật pháo binh Anh Kết quả của Adams sau này bị quên lãng Mãi đến đầuthế kỷ XX, nhà toán học Na Uy Stermer trong khi tính quỹ đạo các hạt tíchđiện rời xa mặt trời với vận tốc lớn, đã phát minh lại công thức Adams Saunày viện sỹ Krylov (Nga) đã có công hoàn thiện phương pháp Adams

Tư tưởng chung của phương pháp Adams như sau:

Xét bài toán Cauchy (1-2), ta chia đoạn ta chia đoạn

nhỏ bởi các điểm chia x i (i=0, 1, …, N) sao cho: a x0 x1 

 x N b trong đó h x i1 x i

Công thức (15) gọi là công thức ngoại suy Adams Công thức (15’) gọi

là công thức ngoại suy Adams-Bashforth 4 bước

Bây giờ ta xét công thức nội suy Newton lùi (13) nhưng điểm ban đầu

không phải là x n nữa mà là x n1 thì công thức (15) trở

Công thức (16) gọi là công thức nội suy Adams Công thức (16’) gọi làcông thức nội suy Adams-Bashforth 3 bước.

Trong công thức (16) giá trị y n

1

tham gia vào vế phải bắt đầu từ số

hạng thứ 2 chúng ta có một phương trình để tìm giá trị này Trong thực tế người ta sử dụng cách sau:

Theo công thức (15) tính y n

1

(thường thì giá trị y n

1

được tiên đoán),

sau đó giá trị này sử dụng vào vế phải của công thức (16) để tìm *

n

 1

, giá trị

y* sẽ lại được chính xác hoá đến khi cần thiết

b) Ví dụ: Giải bài toán sau bằng phương pháp Euler

5 1,5 0,912283 0,290912 0,2716377 387617 13391 -811 143

6 1,6 1,203195 0,290899 0,3103994 387601 12520 -884

6 1,6 1,203182 0,330302 0,31978 400121 12507

7 1,7 1,533484 0,330291 0,3504099 400108

7 1,7 1,533473 0,3504086

III Ứng dụng của tin học để giải phương trình vi phân thường.

1 Ứng dụng của chương trình MapleV.

a) Cách sử dụng: Muốn giải ptvp thường ta khởi động chươngtrình Maple và nạp gói công cụ cho phép giải bằng các lệnh sau:[ > restart;

[ > with (DEtools);

b) Bài tập(phần bài tập này đưa ra mục đích để tìm nghệm đúngcủa các phương trình vi phân phục vụ cho bài tập giải phương trình vi phânbằng phưong pháp Euler và phương pháp Euler-Cauchy dưới đây)

Dùng thuật toán MapleV giải các phương trình vi phân sau: 1.y’ = y+(1+x)y2, y(1) 1

diff_eq1 := D(y)(x) = y + (1 + x) y2

[> init_con:=y(1)=-1; {lệnh này để nhập điều kiện ban đầu}

Sau khi ấn phím enter trên màn hình xuất hiện:

init_con := y(1) 1[> dsolve({diff_eq1,init_con},{y(x)}); { lệnh này để giảiphương trình}

2.Ứng dụng của ngôn ngữ lập trình Pascal.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

y’=xy/2, y(0)=1 trên [0; 0,5]

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

writeln;

writeln('+ + -+ -+ -+ -+ -+') ;

Lập trình để giải bài toán bằng phương pháp này như sau:

var mx, my: array[0 100] of real;

h, xi,yi,z, a, b:real;i,j,n:integer;

function ham(x,y:real):real;

var f:real;

begin f:=(x*y)/2; ham:=f;

end;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

writeln;

end;

writeln('+ -+ -+ -+ -+ -+') ;

var xo, yo:real;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

end;

readln

Lập trình để giải bài toán bằng phương pháp này như sau:

var xo, yo,x1,x2,x3,h, xi,x,y1,y2,y3,y,z, a, b,K1,K2,K3,K4:real;i,j,n:integer;

function ham(x,y:real):real;

var f:real;

begin f:=(x*y)/2; ham:=f;

end;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

yo:=1;

x1:=xo+h;x2:=x1+h;x3:=x2+h; y1:=1.00391389;

z:=y3+h*(9*ham(x,y)+19*ham(x3,y3)- 5*ham(x2,y2)+ham(x1,y1))/24;

writeln(x:14:8,y:14:8,z:14:8);

end;

readln

end

Cho chạy chương trình ta có bảng kết quả sau:(y*:=z;)

Chú ý : Các bài tập ở chương 3 với mỗi phương pháp ta chỉ thay hàm và điều kiện ban đầu vào từng chương trình để cho kết quả

CHƯƠNG 3.

CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG.

I Các bài tập ứng dụng của các phương pháp giải tích.

Bài 1 Bằng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần đúng thứ ba của các bàitoán sau:

4s8

15

2s7

5

x ) 

2x(2x 1)2

(2x 1)2

cos(x2 +x)-2sin(x2+x)

1  k 2

Hướng dẫn

a) y’= ; y(0)=0 (1.5)

Hàm f(x,y)= xác định và liên tục trên toàn mặt phẳng (x,y) nên

a, b có thể chọn tuỳ ý Đặt b=ka Khi đó

Khi k thay đổi ta thấy giá trị h sẽ dạt cực dại với k=1 =>h=

Vậy quá trình xáp xỉ liên tiếp để tìm nghiệm của (1.5) hội tụ ít nhất làtrong đoạn Với ta cũng có (vì k=1) Hằng số

Lipschitz k ở dây được đánh giá như sau:

L= max =

= 1.

Áp dụng (1.2) ta có: (x) =0

dt

t3 33

d) y’=y2+2 x ; y(0)=0;

Ta thấy rằng hàm số 2

f (x, y) 

y 2x trên toàn mặt phẳng và thoả mãn

điều kiện Lipschitz theo biến y

c)y”+xy’+y=0; y(0)=0, y’(0)=1

Ta có: y”