phương trình vi phân cấp 2 phuong_trinh_vi_phan_cap_2

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

VỚI HỆ SỐ HẰNG

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

D AO ĐỘNG TỰ DO

D AO ĐỘNG TỰ DO

Tại vị trí cân bằng, trọng lực của quả

nặng bằng với lực đàn hồi của lò xo.

Lực có xu hướng đẩy quả nặng về vị trí cân bằng tỉ lệ với ly độ, có nghĩa là bằng

Phản lực tỉ lệ với vận tốc chuyển động của quả nặng, có nghĩa là lực đó bằng

λ dy

D AO ĐỘNG CƯỠNG BỨC

Trong trường hợp lực cản không tồn tại, còn quả nặng sẽ dao động theo 1 ngoại

Trong trường hợp này, chỉ có lực có xu hướng đưa quả nặng về vị trí cân bằng là

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

không thuần nhất với hệ số hằng có dạng

Ay 00 + By 0 + Cy = f (x), (A, B, C ∈ R, A 6= 0) (2)

Bài toán giá trị đầu gồm 1 phương trình

vi phân (2) hoặc (1) và 2 điều kiện ban đầu y(x 0 ) = α,y 0 (x 0 ) = β, với α,β = const là

Bài toán biên gồm 1 phương trình vi

phân (2) or (1) và 2 điều kiện biên

y(x 0 ) = α,y(x 1 ) = β, hoặc y 0 (x 0 ) = α,y 0 (x 1 ) = β,

hoặc y(x 0 ) = α,y 0 (x 1 ) = β, với α,β = const là

Xét phương trình vi phân y 00 + y = 0 Ta thấy

y(x) = C 1 sin x + C 2 cos x cũng là nghiệm ∀C1, C2 ∈ R.

Đ ỊNH NGHĨA 2.1

1 Hai hàm y 1 , y 2 phụ thuộc tuyến tính với a É x É b

nếu tồn tại hằng số C 1 , C 2 , không đồng thời bằng 0 , sao cho

C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0

với mọi x thỏa a É x É b

2 Hai hàm y 1 , y 2 độc lập tuyến tính với a É x É b nếu

C 1 y 1 + C 2 y 2 = 0

với mọi x thỏa a É x É b thì ta suy ra được

C 1 = C2 = 0

V Í DỤ 2.2

0 É x É 1 vì tồn tại hằng số C 1 và C 2 , không đồng thời bằng 0 , sao cho

C 1 x + C 2(−3x) = 0

với mọi x thỏa 0 É x É 1 Ta chọn C 1 = 3 và

C 2 = 1

Vì C 1 x + C 2 x 2 = 0 đúng với mọi x thỏa

−1 É x É 1 nên với x = 1 ta có

C 1 .1 + C 2 1 2 = 0.

Đ ỊNH LÝ 2.2

trên đoạn [a, b] Giả sử y 1 , y 2 là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 Khi đó

1 W (x) 6= 0 với mọi x ∈ (a,b) khi và chỉ khi

y 1 , y 2 độc lập tuyến tính với mọi x ∈ (a,b)

2 W (x) = 0 với mọi x ∈ (a,b) khi và chỉ khi

y 1 , y 2 phụ thuộc tuyến tính với mọi

x ∈ (a,b).

V Í DỤ 2.4

Giả sử hai hàm y 1 = e x , y 2 = e 2x là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

thuần nhất Chứng minh rằng e x vàe 2x độc lập tuyến tính.

N GHIỆM THUẦN NHẤT

Đ ỊNH LÝ 2.3

Nếu y 1 , y 2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của

dưới dạng

y h = C 1 y 1 + C 2 y 2 (3)

với C 1 , C 2 là những hằng số bất kỳ.

Giả sử y = e kx , với k là tham số cần tìm Khi

T RƯỜNG HỢP 1: H AI NGHIỆM THỰC PHÂN BIỆT

Đ ỊNH LÝ 2.4

Cho y 1 là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1) Khi đó, bằng cách đặt

y 2 = y 1 (x).v(x)

ta sẽ chuyển phương trình (1) về được phương trình

vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 với biến mới là

w = dv

dx ·

Lúc đó, y 1 , y 2 là nghiệm độc lập tuyến tính của

phương trình (1)

Thay vào phương trình y 00 + y 0 − 6y = 0ta được

T RƯỜNG HỢP 3: N GHIỆM PHỨC LIÊN HỢP

phức liên hợp k 1 = a + bi, k 2 = a − bi, thì e (a+ i b)x

tính Tuy nhiên, ta quan tâm đến những

C ÔNG THỨC E ULER

e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (5)

e (a+ i b)x = e ax e i bx = e ax (cos bx + i sin bx)

e (a− i b)x = e ax e − i bx = e ax (cos bx − i sin bx)

= e 2ax (a sin bx+bcosbx)cosbx−e 2ax (a cos bx−bsinbx)sinbx =

= e 2ax b(cos 2 bx + sin 2 bx) = be 2ax 6= 0, ∀x ∈ R.

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 KHÔNG THUẦN NHẤT VỚI

B ƯỚC 1 G IẢI PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT

Giải phương trình thuần nhất

Ay 00 + By 0 + Cy = 0

Phương trình đặc trưng

Ak 2 + Bk + C = 0

B ƯỚC 2.

Tính ∆ = B 2

− 4AC

1 Nếu ∆ > 0 thì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm

y tn = e a x (C1 cos b x + C 2 sin b x).

B ƯỚC 3 T ÌM NGHIỆM RIÊNG TRƯỜNG HỢP

f (x) = e αx P n (x)

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không

thuần nhất sẽ có dạng yr = x s e αx Q n (x), trong đó Q n (x)

là đa thức cần tìm có cùng bậc với P n (x).

trưng thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng

B ƯỚC 3 T ÌM NGHIỆM RIÊNG TRƯỜNG HỢP

trưng thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng

y r = e αx (H k (x) cos βx + T k (x) sin βx)

trưng thì s = 1 và nghiệm riêng có dạng

y r = x e αx (H k (x) cos βx + T k (x) sin βx)

N GUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM

Nếu f (x) = f 1(x) + f2 (x), trong đó f 1 (x), f 2 (x) là một trong

2 trường hợp đặc biệt trên thì

1 Ta tìm nghiệm riêng y r 1 của phương trình

B ƯỚC 4 N GHIỆM TỔNG QUÁT

Nghiệm tổng quát của phương trình vi

phân cấp hai với hệ số hằng là

y tq = y tn + y r

V Í DỤ 3.1

Giải phương trình y 00 − 2y 0 − 3y = e 4x với điều

kiện y(ln 2) = 1,y(2ln2) = 1

Bước 1. Giải phương trình thuần nhất

y 00 − 2y 0 − 3y = 0

Bước 2. Nghiệm của phương trình thuần nhất y tn = C 1 e −x + C 2 e 3x

Bước 3. Tìm nghiệm riêng của phương

Bước 4. Nghiệm tổng quát y tq = C1 e −x + C2 e 3x + 1

5 e

4x Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện

y(ln 2) = 1,y(2ln2) = 1 nên

Bước 3. Tìm nghiệm riêng của phương

Bước 4. Nghiệm tổng quát

y tq = e x (C 1 cos x + C 2 sin x) + 1

2 (x + 1) 2

V Í DỤ 3.3

Giải phương trình y 00 + y 0 − 2y = cos x − 3 sin x

với điều kiện y(0) = 1,y 0 (0) = 2.

Bước 1. Giải phương trình thuần nhất

y 00 + y 0 − 2y = 0

Bước 2. Nghiệm của phương trình thuần

Bước 3. Tìm nghiệm riêng của phương trình

y 00 + y 0 − 2y = cos x − 3 sin x

Nghiệm riêng có dạng y r = x s e 0x (A cos x + B sinx). Vì

α = 0 + i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên s = 0 và y r = A cos x + B sin x

−2 y r = A cos x + B sin x

r = −A sin x + B cos x

r = −A cos x − B sin x

y r 00 + y 0 r − 2y r = (B − 3A) cos x +(−3B − A) sin x =

= cos x − 3 sin x

⇒ ½ B − 3A = 1 3B + A = 3 ⇒ A = 0, B = 1.

Bước 4. Nghiệm tổng quát

y tq = C 1 e −2x + C 2 e x + sin x.

Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện

y(0) = 1,y 0 (0) = 2 nên

Bước 2. Nghiệm của phương trình thuần nhất y tn = C 1 cos x + C 2 sin x

Bước 3. Tìm nghiệm riêng y r 1 của phương trình

y 00 + y = xe x

Nghiệm riêng có dạng y r 1 = x s e x (Ax + B). Vì α = 1

s = 0 và y r 1 = e x (Ax + B)

1 y r 1 = e x (Ax + B)

0 y r 0 1 = Ae x + (Ax + B)e x

r 1 = 2Ae x + (Ax + B)e x

y r 00 + y r = 2Axe x + (2A + 2B)e x = xe x

⇒

½

2A = 1 2A + 2B = 0 ⇒ A =

1

2 , B = − 1

2 .

Bước 3. Tìm nghiệm riêng y r 2 của phương

Bước 4. Nghiệm tổng quát

y tq = C 1 cos x + C 2 sin x + 1

2 (x − 1)e x + e −x

P HƯƠNG PHÁP BIẾN THIÊN HẰNG SỐ

Phương pháp này áp dụng để tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất tuyến

y = C 1(x).y1 (x) + C 2(x).y2(x),

y 0 = C 1 0 (x).y 1(x) + C1 (x).y 1(x) + C 0 2 0 (x).y 2(x) + C2 (x).y 2 0 (x)

y 00 = C 1 00 (x).y 1(x) + C 1 0 (x).y 1(x) + C 0 1 0 (x).y 1(x) + C1 0 (x).y 1 00 (x)+ +C 2 00 (x).y 2(x) + C 2 0 (x).y 2(x) + C 0 2 0 (x).y 2(x) + C2 0 (x).y 2 00 (x)

⇒ [Ay 1 00 (x) + By 1(x) + Cy1 0 (x)].C 1(x)+

+[Ay 00 2 (x) + By 0 2(x) + Cy 2(x)].C2 (x)+

+A[C 1 0 (x)y 1(x) + C 2 0 (x)y 2 (x)] 0 +

+A[C 1 0 (x)y 0 1(x) + C 2 0 (x)y 2(x)] + B[C 0 1 0 (x)y 1(x) + C 2 0 (x)y 2 (x)]

= A[C 1 0 (x)y1 (x) + C 2 0 (x)y2(x)] 0 + A[C 1 0 (x)y 1(x) + C 0 2 0 (x)y 2 0 (x)]+

+B[C 1 0 (x)y 1(x) + C 2 0 (x)y 2(x)] = f (x)

Như vậy, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất là

+y 2

µZ y 1 (x)f (x)

AW (x) dx + C 2

¶

Bước 2. Nghiệm của phương trình thuần nhất y tn = C 1 cos x + C 2 sin x

Bước 3. Tìm nghiệm riêng của phương

y = C 1 (x) cos x + C 2 (x) sin x, trong đó C 1 (x) và

Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện

³

− cos π

6 + C2

´ sin π

6 = 0

⇒ C1 = 0, C2 =

p 3

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 I

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 II

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 III

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 IV

14 y 00 − 4y 0 + 4y = 8e 2x

ĐS. y tq = C 1 e 2x + C 2 xe 2x + 4x 2 e 2x

15 y 00 − 4y 0 + 3y = 6e x

ĐS. y tq = C 1 e x + C 2 e 3x − 3xe x

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 V

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 VI

20 y 00 + 3y 0 + 2y = 2x + 3 + 6e x

ĐS. y tq = C 1 e −x + C 2 e −2x + x + e x

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI