Các phương pháp hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN PHƯƠNG THẢO CÁC PHƯƠNG PHÁP HẠ THẤP CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 L

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

CÁC PHƯƠNG PHÁP HẠ THẤP CẤP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN PHƯƠNG THẢO

CÁC PHƯƠNG PHÁP HẠ THẤP CẤP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NGỰ HUẤN

HÀ NỘI, 2017

Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp

đã luôn quan tâm, động viên tôi trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Phương Thảo

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngự Huấn

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận của mình, tôi đã kế thừa thànhquả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Cáckết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc và đưavào mục tài liệu tham khảo

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Phương Thảo

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 Phương pháp lý thuyết nhóm giải tích 5

1.1 Nhóm 6

1.2 Nhóm các phép biến đổi điểm 7

1.3 Ví dụ giảm cấp của phương trình vi phân 16

1.3.1 Áp dụng lý thuyết nhóm giải tích giải phương trình vi phân y0+ y2= 2 x 2 16

1.3.2 Áp dụng lý thuyết nhóm giải tích giải phương trình vi phân y0= ϕy x  17

1.3.3 Giảm cấp của phương trình vi phân cấp 2 18

1.4 Sơ lược về thuật toán giảm nhiều cấp của lý thuyết nhóm 19

1.5 Tìm toán tử của phương trình vi phân y(IV ) = y−5/3 22

Chương 2 Phương pháp tích phân đầu 28

2.1 Lý thuyết tích phân đầu 29

2.2 Phương pháp giảm cấp bằng tích phân đầu 30

2.3 Tìm tích phân đầu của phương trình vi phân y(IV ) = y−5/3 31

Chương 3 Mối liên hệ giữa toán tử đối xứng và tích phân đầu 37

3.1 Biến đổi của tích phân đầu dưới tác động của toán tử đối xứng 37

3.2 Phối hợp hai phương pháp để hạ toàn bộ 4 cấp, giải phương trình vi phân y(IV ) = y−5/3 41

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, phương trình vi phân có nhiều loại khác nhau:phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng hayphương trình vi phân hàm Giữa những loại đó thì phương trình vi phânthường hết sức thú vị vì nhiều bài toán sau khi biến đổi cuối cùng lạiquy về giải phương trình vi phân thường Cho đến thời điểm hiện tại,phương pháp chủ yếu để tìm nghiệm chính xác của các phương trình viphân thường cấp cao là phương pháp hạ thấp cấp bằng tích phân thứ nhất

và lý thuyết nhóm giải tích

Phương pháp đầu tiên ta đã được biết đến qua rất nhiều tài liệu viết

về phương trình vi phân Trong khi đó, phương pháp thứ hai lại là phươngpháp hoàn toàn mới Nó được viết ra bởi nhà toán học Sophus Lie (1842

- 1899) người Na Uy như là một lý thuyết tương tự như lý thuyết Galoađối với phương trình đại số Công cụ chính của lý thuyết này là sự khámphá ra các nhóm biến đổi liên tục (được gọi theo tên ông là nhóm Lie) vànghiên cứu các trường vectơ được tạo ra từ chúng Đây là đối tượng chomột dạng tuyến tính hóa của luật nhóm và có cấu trúc ngày nay gọi làmột đại số Lie

Với mong muốn trình bày cụ thể phương pháp thứ nhất và giới thiệuđến phương pháp thứ hai, được sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngự Huấn,tôi đã chọn đề tài “Các phương pháp hạ thấp cấp phương trình viphân thường cấp cao” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trìnhđào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về hai phương pháp hạ thấp cấp phương trình vi phânthường cấp cao là: lý thuyết nhóm giải tích và tích phân đầu Từ đó, ápdụng cụ thể vào giải phương trình vi phân y(IV ) = y−5/3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu phương trình vi phân thường cấp cao

• Tìm hiểu phương pháp lý thuyết nhóm giải tích, phương pháp tíchphân đầu và định lý về sự kết hợp hai phương pháp này

• Áp dụng giải phương trình vi phân y(IV ) = y−5/3

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết nhóm giải tích và phương pháp tíchphân đầu

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết chung và áp dụng vàophương trình vi phân y(IV ) = y−5/3

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp của lý thuyết phương trình vi phân thường, lý thuyếtnhóm giải tích cổ điển, lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng vàcác công cụ của lý thuyết tích phân đầu

6 Đóng góp của luận văn

• Trình bày lý thuyết về tích phân đầu, nhân tử tích phân Đưa raphương pháp tìm tích phân đầu và nhân tử tích phân trực tiếp từphương trình định nghĩa và ta gọi là phương pháp trực tiếp.1

• Giới thiệu lý thuyết nhóm giải tích hạ thấp cấp phương trình vi phânthường cấp cao

• Đưa ra cách kết hợp hai phương pháp tìm nghiệm chính xác củaphương trình đã cho

1 Tồn tại một phương pháp thứ hai tìm tích phân đầu đó là phương pháp toán tử Euler.

Chương 1 Phương pháp lý thuyết nhóm



được giải bằng cách đặt u = y

x hay y = ux. Khi đó, phương trình thuần

nhất trở thành phương trình phân li biến số

duϕ(u) − u =

dx

x .

Nguyên hàm hai vế của phương trình này ta nhận được

Z duϕ(u) − u = ln x + C.

Hay phương trình vi phân không chứa x có dạng

F (y, y0, y00, , y(n)) = 0 (1.0.1)bằng cách đặt y0 = z thì tất cả các đạo hàm bậc cao đều biểu diễn đượcqua z nhưng cấp nhỏ hơn một một đơn vị như sau

y00 = zy0z,

y000 = [zy00+ (zy0)2]z,

y(n) = ω(z, zy0, , zy(n−1))

Khi đó, phương trình ban đầu (1.0.1) tương đương với phương trình

P (y, z, z0, z00, , z(n−1)) = 0 (1.0.2)

Rõ ràng, phương trình (1.0.2) đã được giảm một cấp so với phươngtrình (1.0.1)

Cho đến nay, phương trình vi phân cấp cao thường được giải bằng cách

hạ thấp cấp xuống Vậy cơ sở nào để tìm ra cách đặt các hàm phụ cho

cả hai phương trình trên? Nếu cho một phương trình bậc cao bất kì khácvới các dạng cổ điển trên thì ta làm thế nào tìm ra hàm đặt để giảm cấpcủa phương trình dẫn đến lời giải Chương này, ta sẽ trình bày lý thuyếtnhóm giải tích giải quyết vấn đề trên và áp dụng cụ thể vào phương trình

(iii) Phần tử đồng nhất Tồn tại duy nhất một phần tử đồng nhất e của

G sao cho với bất kì phần tử a của G

φ(a, e) = φ(e, a) = a

(iv) Phần tử nghịch đảo Với bất kì phần tử a của G tồn tại duy nhất mộtphần tử nghịch đảo a−1 trong G sao cho φ(a, a−1) = φ(a−1, a) = e

1.2 Nhóm các phép biến đổi điểm

Định nghĩa 1.2.1 ([5]) (Phép biến đổi Lie) Xét phép biến đổi một tham

Dễ thấy, phép biến đổi Ta thỏa mãn các tính chất của nhóm với phần

tử đơn vị T Một nhóm G tập tất cả các phép biến đổi Ta trong một lâncận vô cùng nhỏ của a tại điểm 0 tạo thành một nhóm (nhóm tôpô)

x ≈ x + ξ(x, y)a, ξ(x, y, a) = ∂ϕ(x, y, a)

∂a

a=0

Như vậy, với mỗi phép biến đổi điểm (¯x, ¯y) ta có cặp véc tơ (ξ, η) tươngứng và ngược lại Khi đó, toán tử vi phân vô cùng bé của nhóm các phépbiến đổi điểm có dạng

X = ξ(x, y) ∂

∂x + η(x, y)

∂

∂y.

Mỗi nhóm G các phép biến đổi Ta tương ứng toán tử X duy nhất vàngược lại nếu cho mỗi toán tử X ta cũng tìm được các phép biến đổi bằngcách giải hệ phương trình Lie (Bài toán Cauchy hệ phương trình vi phâncấp 1) với điều kiện ban đầu

Do đó, nhóm phép quay trong mặt phẳng Oxy ở trên có toán tử vi phân

vô cùng bé tương đương với phép biến đổi đã cho

Phương trình (1.2.5) có một nghiệm độc lậpI(x, y) = C cũng là nghiệmcủa phương trình vi phân tuyến tính

dxξ(x, y) =

dyη(x, y).

Mỗi phép biến đổi điểm có một hàm độc lập I(x, y) và mọi hàm độclập khác là một hàm của I, tức là có dạng φ(I)

Định nghĩa 1.2.3 Phương trình F (x, y) = 0 gọi là bất biến với nhóm cácphép biến đổiT nếuF (¯x, ¯y) = 0 trên miền(x, y) ∈ R2 thỏa mãn F (x, y) =

0 Hay phép biến đổi này biến mỗi điểm của đường cong F (x, y) = 0 thànhmột điểm khác của đường cong này, tức là F (¯x, ¯y) = F (x, y)

Định lý 1.2.2 Phương trình F (x, y) = 0 gọi là bất biến với nhóm cácphép biến đổi G nếu và chỉ nếu thỏa mãn phương trình

F (x,y)=0

= 0

Từ (1.2.7) suy ra F (¯x, ¯y) = 0

Việc thu hẹp miền xác định của phương trình XF |F =0 ≡ 0 trên miền

F = 0 sẽ đem lại kết quả là ta tìm được nhiều nhóm đối xứng hơn

Định lý 1.2.3 Nếu phương trình đại số F (x, y) = 0 có toán tử vi phân

a=0

= x và η(x, y) = ∂ψ(x, y, a)

∂a

...

duϕ(u) − u = dt.

1.3.3 Giảm cấp phương trình vi phân cấp

Giả sử phương trình vi phân cấp hai

Ví dụ 1.8 Xét phương trình tự trị

F (y, y0, y00)... tích phân từ phương trình đầu Haiphương trình (2.0.1) (2.0.2) tương đương (2.0.2) có cấp nhỏhơn đơn vị Như vậy, phương trình vi phân tuyến tính cấp hai banđầu giảm cấp thông qua lý thuyết tích phân. .. class="page_container" data-page="23">

Phương trình có nhóm đối xứng

Một tốn tử X = ξ∂x + η∂y cho phép giảm cấp phương trình

vi phân thường Giả sử phương trình vi phân

y(n)