Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha

N®i dung đe c¾p trong khóa lu¾n đ ocư trình bày trong hai chương: Chươ 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve phng ươ trình vi phân capnghai và m®t so lóp phươ trình vi phân cap hai giái đ

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

ĐÀO TH± HÃI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP HAI

TRONG M¾T PHANG PHA

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C

Chuyên ngành: Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG

Hà N®i 14- 5- 2013

LèI CÃM ƠN

Em xin bày tó lòng biet nơ sâu sac tói thay giáo TS Tran Văn Bang

-Ng òiư thay đã trnc tiep t¾n tình h óngư dan và giúp đõ em hoàn thànhbài khóa lu¾n cúa mình Đong thòi em xin chân thành cám nơ các thay

cô trong to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Tr òngư Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho emhoàn thành tot bài khóa lu¾n này

Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khóa lu¾n, do đieu ki¾n thòigian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoccho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y,

em kính mong nh¾n đ ocư nhung góp ý cúa các thay cô và các ban

Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, ngày 14 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

ĐÀO TH± HÃI

LèI CAM ĐOAN

Khóa lu¾n này là ket quá nghiên cúu cúa bán thân em d óiư sn h óngưdan t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang

Trong khi nghiên cúu hoàn thành đe tài nghiên cúu này em đã tham kháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo

Em xin khang đ%nh ket quá cúa đe tài “Phương trình vi phân

cap hai trong m¾t phang pha” không có sn trùng l¾p vói ket

quá cúa các đe tài khác

Hà N®i, ngày 14 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đào Th% Hái

Mnc lnc

Mé

đau 1

Chương 1 Phương trình vi phân cap hai 2

1.1 Phương trình khuyet 3

1.2 Phương trình tuyen tính 4

1.3 Phương trình tuyen tính có h¾ so không đoi 5

1.4 Phương trình Euler 7

Chương 2 Phương trình vi phân cap hai trong m¾t phang pha 8

2.1 L ocư đo pha cúa phương trình con lac đ nơ 8

2.2 Phương trình autonom trong m¾t phang pha 12

2.3 Mô hình cơ hoc cúa h¾ đ®ng lnc báo toàn x ¨ = f ( x ) 24

2.4 Dao đ®ng tat dan tuyen tính 33

2.5 Giám toc phi tuyen: c hu trình giói han 37

2.6 M®t so úng dnng 46

2.7 H¾ báo toàn phn thu®c tham so 52

2.8 Bieu dien đo th% các nghi¾m 55

K et lu¾n 57

T ài li¾u tham kháo 58

Me ĐAU

Phươ trình vi phân là m®t phng ươ trình toán hoc nham bieu dienngmoi quan h¾ giua m®t hàm ch aư biet (m®t ho¾c nhieu bien) vói đao hàmcúa nó (có b¾c khác nhau) Phươ trình vi phân xuat hi¾n trên cơ só phátngtrien cúa khoa hoc kĩ thu¾t và nhung yêu cau đòi hói cúa thnc te Dov¾y vi¾c nghiên cúu phươ trình vi phân có ý nghĩa quan trong Trênngthnc te so phươ trình vi phân nói chung, so phng ươ trình vi phân capnghai nói riêng giái đ ocư không nhieu (xem m®t so lóp phươ trình vingphân cap hai giái đ ocư trong Chươ 1) Do v¾y chúng ta phái có m®tng

h óngư mói đe nghiên cúu phươ trình vi phân, đó là h óngng ư nghiên cúuđ%nh tính cúa phươ trình vi phân Nghiên cúu đ%nh tính phng ươ trìnhng

vi phân là tìm cách suy ra các đ¾c tr ngư quan trong cúa các nghi¾m cúa

phươ trình vi phân mà không can giái chúng M®t trong nhung côngng

cn hình hoc đe nghiên cúu đ%nh tính là m¾t phang pha Qua m¾tphang pha ta nh¾n đ ocư các tính chat quan trong nh :ư điem cân bang,tính tăng vô han, tính on đ%nh và m®t so ket quá khác

Vói mong muon đ ocư tìm hieu sâu h nơ ve phươ trình vi phân cap hainghay cn the h nơ là sú dnng m¾t phang pha nghiên cúu đ%nh tính

phươ trình vi phân cap hai, em đã manh dan chon đe tài: "Phươngng

trình vi phân cap hai trong m¾t phang pha" N®i dung đe c¾p trong

khóa lu¾n đ ocư trình bày trong hai chương:

Chươ 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve phng ươ trình vi phân capnghai và m®t so lóp phươ trình vi phân cap hai giái đ ocng ư ho¾c ha cap

đ oc.ư Chươ ng 2 trình bày ve khái ni¾m m¾t phang pha và cách sú dnngm¾t phang pha đe nghiên cúu đ%nh tính cúa phươ trình vi phân cap hai.ng

Do là lan đau thnc t¾p nghiên cúu, thòi gian có han và năng lnc bánthân còn han che nên chac chan bài nghiên cúu này khó tránh khóinhung thieu sót Em rat mong nh¾n đ ocư sn đóng góp ý kien cúa thay

cô và ban đoc đe đe tài này hoàn chính và đat ket quá cao h n.ơ

∂y

∂ f

∂y r

(x, y, y r ) liên tnc trong m®t mien D nào đó

trong R3 và neu (x0, y0, y r ) là m®t điem liên tnc thu®c D thì trong m®t lân c¾n

nào đó cúa điem x = x0, ton tai m®t nghi¾m duy nhat y = y(x) cúa

ph ươ trình (1.2) thóa mãn các đieu ki¾n ng

y| x =x0 = y0, y r | x =x0 = y r (1.3)

0

0

Bài toán tìm nghi¾m cúa phươ trình (1.2) thóa mãn đieu ki¾n ng

Nghi¾m tong quát cúa phươ trình (1.2) là hàm y = ϕ(x,Cng 1,C2), trong đó

C1,C2 là các hang so tùy ý thóa mãn đieu ki¾n sau:

(i) Nó thóa mãn phươ trình (1.2) vói moi Cng 1,C2,

(ii) Vói moi (x0, y0, y r ) ó đó các đieu ki¾n cúa đ%nh lý ton tai và duy

nhat nghi¾m đ ocư thóa mãn, có the tìm đ ocư các giá tr% xác đ

(i) Phương trình khuyet y : F(x, y r , y rr) = 0

Đ¾t p = y r, ta tìm đ ocư F(x, p, p r) = 0 đó là phươ trình cap m®t đoi ng

d p

p

d y

trình vi phân cap m®t đoi

vói p.

0

0

) = 0 Đó cũng là m®t phương

(iii) Phương trình khuyet y, y r : F(x, y rr) = 0

Đ¾t y r = p, ta đ oc ư F(x, p r) = 0 đó là phươ trình cap m®t đoi vói p.ng

1.2 Phương trình tuyen tính

Đó là phươ trình vi phân có dangng

y rr + p(x)y r + q(x)y = f (x) (1.4)

trong đó p(x), q(x), f (x) là nhung hàm so liên tnc Phươ trình đ ocng ư

goi là thuan nhat neu f (x) ≡ 0, không là thuan nhat neu f (x) ƒ≡ 0.

(i) Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat

y rr + p(x)y r + q(x)y = 0 (1.5)

Đ%nh lý 1.2 Neu y1(x) và y2(x) là hai nghi¾m cúa ph ươ trình ng (1.5)

thì C1y1(x) + C2y2(x), trong đó C1, C2 là hai hang so, cũng là nghi¾m cúa ph ươ trình đó ng

Đ%nh nghĩa 1.1 Hai hàm so y1(x) và y2(x) đ oc ư goi là đ®c l¾p tuyen tính

y2(x) trên đoan [a, b] neu tí

[a, b] thì W (y1, y2) = 0 trên đoan đó

Đ%nh lý 1.4 Neu W (y1, y2) cúa hai nghi¾m y1(x), y2(x) cúa ph ươ ng trình tuyen tính thuan nhat (1.5) khác không tai moi giá tr% x = x0 nào

đó cúa đoan [a, b], trên đó các h¾ so p(x), q(x) liên tnc, thì nó khác không vói moi x trên đó.

Đ%nh lý 1.5 Neu các nghi¾m y1(x), y2(x) cúa ph ươ trình (1.5) là đ®c ng l¾p tuyen tính trên đoan [a, b], thì W (y1, y2) khác không tai moi điem cúa đoan đó

Đ%nh lý 1.6 Neu y1(x), y2(x) là hai nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cúa

ph ươ trình (1.5) thì nghi¾m tong quát cúa (1.5) là ng

trong đó C1, C2 là nhung hang so tùy ý.

Đ%nh lý 1.7 Neu đã biet m®t nghi¾m riêng y1(x) ƒ= 0 cúa ph ươ trình ng

(1.5) ta có the tìm m®t nghi¾m riêng y2(x) cúa ph ươ trình đó, đ®c ng l¾p tuyen tính vói y1(x), có dang y2(x) = y1(x)u(x).

(ii) Phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat

y rr + p(x)y r + q(x)y = f (x) (1.7)

Đ%nh lý 1.8 Nghi¾m tong quát cúa ph ươ trình không thuan nhat ng

nhat t ươ úng ng (1.5) vói m®t nghi¾m riêng nào đó cúa phươ trình ng không thuan nhat (1.7).

Đ%nh lý 1.9 (Nguyên lí chong nghi¾m) Cho ph ươ trình ng

y rr + p(x)y r + q(x)y = f1(x) + f2(x).

Neu y1(x) là m®t nghi¾m riêng cúa y rr + p(x)y r + q(x)y = f1(x), y2(x)

là m®t nghi¾m riêng cúa y rr + p(x)y r + q(x)y = f2(x) thì y = y1(x) +

y2(x) là m®t nghi¾m riêng cúa ph ươ trình đã cho ng

1.3 Phương trình tuyen tính có h¾ so không đoi

(i) Phương trình thuan nhat

y rr + py r + qy = 0 (1.8)

trong đó p, q là các hang so và

đ ocư goi là phươ trình đ¾c tr ngng ư cúa phươ trình (1.8).ng

Neu (1.9) có hai nghi¾m thnc phân bi¾t k1, k2 thì nghi¾m tong quát cúa (1.8) là: y = (C1e k1x + C2e k2x)

Neu (1.9) có nghi¾m kép k1 = k2 thì nghi¾m tong quát cúa (1.8) là:

thì nghi¾m tong quát cúa (1.8) là: y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx).

(ii) Phương trình không thuan nhat

y rr + py r + qy = f (x) (1.10)

trong đó p, q là các hang so Như phan tr ócư ta đã biet phươ trình ng

Ve phái cúa ph ươ trình có dang e ng αx P1(x), trong đó α = 0, P1(x) = x.

α = 0 không là nghi¾m cúa ph ng ươ trình đ¾c tr ng, ư v¾y ta tìm nghi¾m riêng

cúa ph ươ ng trình có dang Y = Ax + B.

The vào ph ươ trình trên, ta đ oc ng ư −4Ax + 3A − 4B = x

Chương 2

Phương trình vi phân cap hai trong m¾t phang pha

Tr ócư het ta giói thi¾u khái ni¾m m¾t phang pha thông qua m®t

phươ trình cn the đó là phng ươ trình dao đ®ng cúa con lac đ n.ng ơ

2.1 Lưec đo pha cúa phương trình con lac đơn

Con lac đ nơ (xem Hình 2.1) bao gom m®t phan tú P khoi l ongư m đ ocư

treo vào m®t điem co đ%nh O bói m®t soi dây hay thanh mánh có đ® dài a, dao đ®ng trong m¾t phang đúng Neu bó qua ma sát và súc cán

thì phươ trình chuyen đ®ng cúa con lac đ ocng ư viet là:

trong đó, x là góc nghiêng cúa dây so vói ph ươ thang đúng, g là gia tocngtrong tr òngư và ω2 = g/a.

Chúng ta chuyen phươ trình (2.1) ve dang có chúa x˙ và x như sau:ng

x˙2) + ω2sinx = 0

Hình 2.1: Con lac đ nơ vói đ® d%ch chuyen góc x.

Lay tích phân phươ trình theo bien x, ta đ oc:ng ư

trong đó, E là m®t hang so tùy ý Phươ trình này có dang:ng

E= đ®ng năng cúa P+ the năng cúa P

−

−

và moi giá tr% riêng cúa E tươ úng vói m®t chuyen đ®ng tn do riêng.ng

Ta bieu dien x˙ theo x tù (2.3) :

x ˙ = ± 2(C + ω2cosx) 2 . (2.4)

Đây là m®t phươ trình vi phân cap ng 1 đoi vói x(t) Phươ trình nàyngkhông giái đ oc ư qua các hàm s capơ c bán ơ (xem [5]), nh ng taư se chí rarang ta có the nh¾n đ ocư các đ¾c tính cơ bán cúa nghi¾m tù phươ trìnhng(2.4) mà

không can phái giái nó

Ta đ aư ra m®t bien mói y, đ ocư xác đ%nh như sau:

Khi đó phươ trình (2.4) tró thành:ng

Trong h¾ toa đ® Đecac Oxy, goi là m®t m¾t phang pha, ta ve ho các

đ òngư cong cúa (2.5b) vói các giá tr% khác nhau cúa C Ta đ ocư Hình

2.2 Nó đ ocư goi là l ocư đo pha cúa bài toán, và các đ òngư cong đ ocư goi

là các quy đao pha (hay đưèng cong pha) Moi đ òngư cong pha đ ocư xácđ%nh bói m®t

giá tr% cúa C Các đ òngư cong pha đi qua (−π, 0) và (π, 0), úng vói C =

ω2;

các đ òngư bên trong các đ òngư đó úng vói −ω2 < C < ω2; còn các

đ òngư bên ngoài thì úng vói C > ω2 Phươ trình ng (2.5b) cho thay sntuan hoàn vói chu kì 2π theo x và đ ocư chí ra trên Hình 2.2.

Hình 2.2: L oc ư đo pha cho ph ươ trình con lac đ n ng ơ (2.1).

Moi c¾p giá tr% (x, y) hay (x, x˙), t ươ úng vói m®t điem P trênng

l ocư đo đ ocư goi là m®t trang thái cúa h¾ Moi trang thái cung cap m®t

v¾n toc góc x˙ = y tai moi góc nghiêng x cn the, và các giá tr% này là

nhung thú ta có

the nh¾n đ ocư khi quan sát con lac dao đ®ng ó bat cú thòi điem nào.Moi trang thái đã cho se cho ta m®t c¾p đieu ki¾n ban đau cho phươngtrình vi phân (2.1) Do v¾y, moi trang thái đã cho se xác đ%nh tat cá cáctrang thái sau đó; là các điem nam trên đ òngư cong pha đi qua điem

P(x, y); vói (x, y)

là trang thái ban đau đó

Hưéng, theo đó các quy đao pha di chuyen theo chieu tăng dan theo

thòi gian như Hình 2.2 Theo (2.5a), khi y > 0, thì x˙ > 0 , do đó x phái

tăng khi t tăng Vì v¾y, h óngư quy đao luôn luôn là tù trái sang pháitrong núa m¾t phang trên Tươ tn, h óngng ư luôn là tù phái sang tráitrong núa m¾t phang d ói.ư Toàn b® Hình 2.2 là l ocư đo pha cúa

phươ trình (2.1).ng

M¾c dù không xuat hi¾n bien thòi gian trong bieu dien m¾t phangpha, nh ngư chúng ta van có the xác đ%nh m®t so đ¾c tr ngư v¾t lýtrong chuyen đ®ng có the cúa con lac tù Hình 2.2 Bieu hi¾n đau tiên cóthe thay là trang thái cân bang v¾t lý cúa con lac Rõ ràng là khi con lactreo không dao đ®ng

thì x =

0,

x˙ = 0, tươ úng vói điem goc trong Hình 2.2 Hàm theo bien ngthòi

gian x(t) = 0 là m®t nghi¾m hang cúa phươ trình (2.1), úng vói nó ng

đ òngư cong pha suy bien thành t¾p m®t điem

Neu con lac treo bói m®t thanh nhe thì có the có v% trí cân bang thúhai, nó đ ocư cân bang tai điem khi thanh thang đúng Đó là trang thái x

= π, x˙ = 0, úng vói m®t nghi¾m hang khác cúa (2.1), nó đ ocư thehi¾n bói điem A trên l ocư đo pha Van đieu ki¾n v¾t lý đó còn đ ocư

mô tá bói trang thái x = −π, x˙ = 0, và đ oc bieu dien bói điem ư B.

Tương tn nh ư v¾y các trang thái x = nπ, x˙ = 0, vói n là so nguyên bat

kì; mô tá m®t trong hai trang thái cân bang trên Thnc te, Hình 2.2 chí làm®t phan cúa l ocư đo pha, và chúng còn đ ocư l¾p đi l¾p lai tuan hoàntheo thòi gian, do v¾y ta se không có tươ úng 1 − 1 giua trang thái v¾tng

lý cúa con lac vói m®t điem trên l ocư đo pha

Do các điem O, A, B bieu dien các trang thái cân bang v¾t lý, nên

chúng đ ocư goi là các điem cân bang cúa l ocư đo pha

Bây giò chúng ta xét ho các đ òngư cong kín bao quanh điem goc trên

Hình 2.2 Các đ òngư cong này cho thay dao đ®ng tuan hoàn, theo đó conlac dao đ®ng qua lai quanh phươ doc Biên đ® dao đ®ng là giá tr% lónng

nhat cúa x đat đ ocư trên đ òngư cong Đoi vói các biên đ® đú nhó, các

đ òngư cong đai di¾n cho các nghi¾m “biên đ®” nhó cúa phươ trình connglac (2.1)

Lúc này ta có the lay xap xí sin x ≈ x, và (2.1) đ ocư xap xí bói phương

trình x¨ + ω2x = 0, có nghi¾m là x(t) = Acos ωt + Bsin ωt, tươ úngngvói các đ òngư cong pha

x2 + y = hang so.

ω2

Do đó các đ òngư cong pha gan giong elip ó trong mien biên đ® nhó

Các đ òngư cong pha l onư sóng ó phía trên và phía d óiư cúa Hình 2.2,

trên đó x˙ có dau không đoi, và x liên tnc tăng ho¾c giám, tươ úng vóing

các chuyen đ®ng quay tít cúa con lac Sn tăng giám cúa x˙ chú yeu là do lnc hap dan, nên trên các quy đao pha có x˙ rat lón thì tác đ®ng đó là

không đáng ke nên các đ òngư cong pha gan vói các đ òngư thang song

song vói trnc x.

Tiep theo, ta kháo sát tính on đ%nh cúa hai trang thái cân bang đienhình tươ úng vói điem O và A Neu trang thái ban đau đ ocng ư d%ch m®t

chút khói O, thì nó thu®c vào m®t trong các đ òngư cong kín gan đó và

con lac dao đ®ng vói biên đ® nhó quanh O Do đó ta nói O là cân bang

on đ%nh Neu trang thái ban đau d%ch khói A m®t chút (lên trên v% trí

cân bang), thì ngay l¾p túc nó r iơ vào m®t quy đao pha mang trang thái

ra xa trang thái cân bang tai A, thành m®t dao đ®ng lón hay m®t dao

đ®ng quay tít (xem Hình 2.3) Do đó, điem cân bang này đ ocư goi là

không on đ%nh.

2.2 Phương trình autonom trong m¾t phang pha

2

Ph ươ trình vi phân cap hai tong ng

đau x(t0) và x ˙(t0), là m®t ví dn ve m®t h¾ đ®ng l?c Sn tien hóa hay các

trang thái tươ lai cúa h¾ đ ocng ư cho bói x(t) và x˙(t) Nói chung, các h¾

đ®ng lnc

Hình 2.3: Điem cân bang không on đ%nh cúa con lac: chuyen trang thái ban

đau đen C.

là các bài toán giá tr% ban đau đ ocư đieu khien bói các phươ trình vingphân th òng,ư hay phươ trình đao hàm riêng, ho¾c phng ươ trình saingphân 6 đây ta chú yeu xét h¾ phi tuyen đieu khien bói m®t phươ trình vingphân th òng.ư Phươ trình trên có the đ ocng ư hieu như m®t phươ trìnhng

chuyen đ®ng cúa m®t h¾ cơ hoc; trong đó, x bieu th% đ® d%ch chuyen

cúa phan tú có khoi

l ongư đ nơ v%, x

˙,

x¨ lan l otư bieu dien v¾n toc và gia toc cúa nó, f là lnc

tác đ®ng (ngoai lnc), do đó phươ trình này th òngng ư là bieu dien đ%nh lu¾t chuyen đ®ng cúa Newton:

Gia toc = Lnc tác đ®ng trên m®t đ nơ v% khoi l ong.ư

M®t h¾ cơ hoc goi là cân bang neu như trang thái không thay đoi

theo thòi gian Do đó, m®t trang thái cân bang t ươ úng vói m®t ng nghi¾m hang cúa phươ trình vi phân, và ng ocng ư lai M®t nghi¾m

hang có x˙, x¨ đong thòi bang không Chú ý rang chí x˙ = 0 thì ch aư đú đexác đ%nh m®t h¾ cân bang: chang han con lac dao đ®ng và dùng khiđ® l¾ch góc lón nhat, nh ngư nó hien nhiên không phái là m®t trangthái cân bang Các nghi¾m hang đó chính là nghi¾m hang (neu có) cúa

phươ trình f(x, ng 0, t) = 0.

Ta phân bi¾t giua hai loai phươ trình vi phân:ng

(1) Loai autonom, úng vói f không phn thu®c t òngư minh vào t;

(2) Loai không autonom úng vói f phn thu®c t òngư minh vào t.

M®t phươ trình không autonom tiêu bieu mô tá dao đ®ng tat dan ngtuyen tính vói m®t ngoai lnc đieu hòa

x ¨ + kx˙ + ω o2x = F cos ωt, trong đó, f (x, x˙, t) = −kx˙ − ω02x + F cos ωt H¾ này không có các

trang thái cân bang Các trang thái cân bang th òngư không đ ocư ganvói các phươ trình không autonom, m¾c dù chúng có the xuat hi¾n,ngchang han trong phươ trình Mathieung

x ¨ + (α + β cos x) = 0,

có trang thái cân bang tai x = 0, x˙ = 0.

Trong chươ này, ta se chí đe c¾p tói các h¾ autonom, đ ocng ư cho bói

Đây là m®t h¾ phươ trình cap m®t, tng ươ đng ươ vói (2.6).ng

Trang thái cúa h¾ tai m®t thòi điem t0 bao gom c¾p so (x(t0),

x ˙(t0)), nó có the coi như c¾p đieu ki¾n ban đau cho phươ trình vi phânng

th òngư (2.6) Vì v¾y, trang thái đau se xác đ%nh tat cá các trang thái sau(hay tr óc)ư cúa chuyen đ®ng riêng tn do

Trong m¾t phang pha vói các trnc x và y, trang thái tai m®t thòi điem

t0 bao gom c¾p so (x(t0), y(t0)), các giá tr% x, y này, tươ úng vói m®tng

điem P trong m¾t phang pha, cho ta m®t đieu ki¾n ban đau cho h¾

Hưéng cúa các quy đao pha nh¾n đ ocư tù quan h¾ (2.7) Khi y > 0

thì x˙ > 0, do đó x tăng theo thòi gian; và khi y < 0, x giám theo thòi

gian Vì v¾y, các h óngư se tù trái sang phái ó núa trên cúa m¾t phang pha, và tù phái sang trái ó núa d ói ư cúa m¾t phang pha.

Đe có đ ocư moi liên h¾ giua x và t xác đ%nh các đ òngư cong pha, ta khú

tham so t nhò (2.7) và công thúc:

y ˙ dy

x˙ = dx .Khi đó, phương trình vi phân xác đ%nh đưèng cong pha là:

dy

dx

M®t đ òngư cong pha riêng đ ocư xác đ%nh bang cách yêu cau đi qua

m®t điem cn the P : (x, y), t ươ úng vói trang thái ban đau (xng 0, y0), trong đó

M®t hình ve đay đú ve các đ òngư cong pha bao gom các mũi tênchí h óngư tao thành lưec đo pha Bien thòi gian t không xuat hi¾n trên

l ocư đo đó

Các điem cân bang trên l ocư đo pha tươ úng vói các nghi¾m hangngcúa phươ trình (2.6), ho¾c cúa h¾ tng ươ đng ươ (2.7) Chúng xáy rang

khi đong thòi x˙, y˙ bang 0; do đó là điem thóa mãn:

Hình 2.4: (a) Điem bieu dien P trên m®t đoan cúa đ òngư cong pha (b) M®t

đ òng ư cong pha đóng: P đi tù A và tró ve A vô han lan.

Các điem cân bang có the đ ocư coi như đ òngư cong pha suy bien Taicác điem cân bang ta đ oc,ư tù phươ trình (2.9),ng

V¾n toc cúa P doc cung AˆB đ ocư cho d óiư dang tùng thành phan

(x˙(t), y˙(t)) = (y, f (x, y))

chí phn thu®c vào v% trí P(x, y), mà không phn thu®c vào cá t và t A

(đieu này chí đúng đoi vói các phươ trình autonom) Neu tng B là thòi

điem P tói B, thì

T AB là khoáng thòi gian P đi tù A tói B

không phn thu®c vào thòi điem đau t A T AB goi là thèi gian chuyen tù A tói

B doc theo đ òngư cong pha

Tù quan sát trên ta thay, neu x(t) là m®t nghi¾m riêng cúa x¨ = f (x,

x ˙), thì ho nghi¾m x(t − t1), vói t1 là giá tr% bat kì, se bieu dien cùng m®t

đ òng ư cong pha và cùng m®t điem bieu dien Đo th% cúa các hàm x(t), x(t −t1), và cúa y(t) = x˙(t), y(t −t1) se có hình dáng giong nhau,

nh ngư đ ocư d%ch theo trnc thòi gian m®t khoáng t1, giong như cùngm®t h¾ nh ngư đ ocư mó vào hai thòi điem khác nhau trong ngày

Xét tr òngư hop khi m®t đ òngư cong pha là m®t đưèng cong kín, nhưtrong Hình 2.4(b) Cho A là bat kỳ điem nào trên đ òngư cong pha, và

điem bieu dien P là A tai thòi điem t A Sau m®t khoáng thòi gian T , P tró lai A, sau khi đi m®t vòng Chu trình thú hai cúa nó xuat phát tù A tai thòi điem t A + T , nh ngư vì các v% trí sau cúa nó chí phn thu®c vào thòigian chuyen cúa điem khói đau, và không phn thu®c vào thòi điem batđau, nên chu trình thú hai se mat cùng thòi gian như chu trình đau tiên,

và cú như v¾y mãi Do v¾y, m®t đ òng ư cong pha kín bieu dien m®t chuyen đ®ng tuan hoàn theo thòi gian.

Ng ocư lai nói chung là không đúng, 1 đ òngư cong pha không kíncũng có the bieu dien m®t chuyen đ®ng tuan hoàn Ví dn, nghi¾m theothòi gian tươ úng vói chuyen đ®ng quay tít cúa con lac (Hình ng 2.2) là

Ve nguyên tac, ta có the tính đ oc,ư y như là m®t hàm cúa x doc theo

đ òngư cong pha Chú ý rang tích phân cuoi cùng chí phn thu®c vào

đ òngư cong

pha AˆB mà không phn thu®c vào thòi điem ban đau t A, đieu này m®t lan

nua khang đ%nh ket lu¾n tr ócư đó Tích phân cuoi là m®t tích phân đ òngư

và đ ocư hieu theo nghĩa thông th òng.ư

Ví dn 2.1 Các đ òng ư cong pha cúa m®t h¾ đ oc ư cho bói ho x + y2 =

C, trong đó C là m®t hang so tùy ý Trên đ òng ư cong pha úng vói C = 1 điem

bieu dien di chuyen tù A : (0, 1) tói B : (−1,

− √

) Tính T AB ?

Đ òng ư cong pha đ oc ư bieu th% trong Hình 2.5 Nó cat trnc x tai điem C :

(1, 0) Trên cung AˆC, y = (1 − x)1/2 và trên cung CˆB, y = −(1

Hình 2.5: Đ òng ư cong pha AB trên đó ta đã tính thòi gian chuyen.

Sau đây chúng tôi tóm tat các tính chat chính cúa phươ trình ng

(ii) H óng ư cúa đ òng ư cong pha: tù trái sang phái ó núa m¾t phang trên,

tù phái sang trái ó núa m¾t phang d ói.ư

(iii)Điem cân bang: tai điem (x, 0) vói x là nghi¾m cúa ph ươ trình f (x, ng0) =

0; đai di¾n cho các nghi¾m hang

(iv) Giao điem vói trnc x: các đ òngư cong pha cat trnc x theo các góc

vuông, ngoai trù tai các điem cân bang (xem (ii))

(v) Thòi gian chuyen: thòi gian chuyen cúa điem bieu dien tù điem A đen

điem B doc theo m®t đ òngư cong pha cho bói tích phân đ òngư

(vi) Đ òng ư cong pha kín: các đ òngư cong pha kín bieu dien các nghi¾m

tuan hoàn theo thòi gian

(vii) Ho các nghi¾m tuan hoàn theo thòi gian: giá sú x1(t) là m®t

nghi¾m riêng cúa x¨ = f (x, x˙) khi đó, các nghi¾m x1(t − t1), vói

t1 bat kỳ, cho cùng m®t đ òngư cong pha và cùng điem bieu dien

Ví dn 2.2 Xây dnng l oc ư đo pha cho ph ươ trình dao đ®ng đieu hòa ng

đ n ơ gián x ¨ + ω2x = 0 Ph ươ trình này xap xí vói ph ng ươ trình con ng lac có biên đ® nhó Vói ph ươ trình này thì h¾ (2.14) tró thành: ng

Đây là m®t ph ươ trình tách bien, và ta de dàng có tích phân tong ng quát:

Hình 2.6: (a)Tâm dao đ®ng đieu hòa đ n ơ gián (b) Nghi¾m đien hình.

y2 + ω2x2 = C, trong đó C là tùy ý, đieu ki¾n C ≥ 0 đe nh¾n đ oc ư nghi¾m thnc Do đó,

l oc ư đo pha bao gom ho các elip đong tâm tai goc (Hình 2.6 (a)) Vì v¾y, moi nghi¾m đeu tuan hoàn Bang trnc giác, chúng ta thay điem cân bang là on đ%nh vì các đ òng ư cong pha có m®t điem gan goc thì van gan goc Hình 2.6(b) bieu dien m®t nghi¾m tuan hoàn theo thòi gian, úng vói m®t đ òng ư cong pha kín.

M®t điem cân bang đ ocư bao quanh trong lân c¾n cúa nó (khôngnhat thiet phái trên toàn b® m¾t phang) bói các đ òngư cong kín đ ocưgoi là m®t tâm Như v¾y tâm là m®t điem cân bang on đ%nh

Ví dn 2.3 Xây dnng l oc ư đo pha cho ph ươ trình x ng ¨ − ω2x = 0

H¾ ph ươ trình cap m®t t ng ươ đ ng ươ (2.14) là: ng

ó đó C là hang so tùy ý Các đ òng ư cong pha này là các hyperbol, và các ti¾m c¾n cúa chúng y = ±ωx, (Hình 2.7).

Bat kỳ điem cân bang cúa các đ òngư cong pha thu®c loai này trongm®t lân c¾n cúa nó đ ocư goi là m®t điem yên ngNa Đó là điem cân

bang không on đ%nh, vì chí m®t d%ch chuyen nhó tù trang thái cân bangnói chung se dan h¾ tói m®t đ òngư cong pha đi ra xa khói trang thái cânbang

Tù nay ve sau, trong các l ocư đo pha, các điem cân bang on đ%nh

đ ocư bieu dien bói m®t dau cham đ¾c •, còn điem cân bang không on đ

%nh đ ocư bieu dien bói m®t dau cham rong ◦.

Hình 2.7: Điem yên ngna: chí có đ òng ư MO và M r O tien ve goc.

Các phươ trình vi phân trong Ví dn ng 2.2 và 2.3 có the giái x t òngư

minh theo t Vói Ví dn 2.2, nghi¾m tong quát cúa x¨ + ω2x = 0 là

tóm tat trên) Chu kì cúa moi dao đ®ng là 2π/ω, đ®c l¾p vói các đieu

ki¾n ban đau (nên ta goi là m®t dao đ®ng đang thèi)

Vói Ví dn 2.3, nghi¾m theo thòi gian cúa x¨ − ω2x = 0 đ ocư cho bói

ó đó A và B tùy ý Do đó,

Giá sú rang ω > 0 Khi đó, theo (2.22) và (2.23), tat cá các nghi¾m đeu

tien ra vô cùng khi t → 0, ngoai trù tr òngư hop A = 0 trong (2.22) và

m®t nghi¾m theo thòi gian mà là cá m®t ho nghi¾m theo thòi gian x(t)

= Be −ωt và đây cũng là tr òngư hop chung cho tat cá các đ òngư cong pha

(xem (vii) trong phan tóm tat ó trên: ó đây ta chí vi¾c đ¾t B = ±e −ωt1 ,

vói t1 bat kỳ)

Tươ tn, neu B = ng 0, ta có các nghi¾m

x = Ae ωt , y = Aωe ωt ,

ó đây y = ωx: cho ta đ òngư thang NN’ Khi t → −∞, x → 0 và y → 0 Goc

O là m®t ví dn ve m®t điem yên ngNa, đ ocư đ¾c tr ngư bói m®t c¾p

đ òngư cong pha đen MO, M r O và c¾p đ òngư cong pha đi ON, ON r.Chúng đ ocư goi là các đưèng phân l¾p.

Ví dn 2.4 Tìm điem cân bang và ph ươ trình tong quát cho các ng

đ òng ư cong pha cúa x¨ + sin x = 0 Tìm đ òng ư cong pha riêng thóa mãn các đieu ki¾n ban đau (a) x(t0) = 0, y(t0) = x ˙(t0) = 1; (b) x(t0)

= 0, y(t0) = 2 Đây là m®t tr òng ư hop đ¾c bi¾t cúa ph ươ trình con ng

lac (xem Mnc 2.1 và Hình 2.2) H¾ ph ươ trình vi phân trong m¾t phang pha là: ng

0, ±1, ±2, ) Khi n chan chúng là tâm, khi n là lé chúng là điem yên ngna.

Ph ươ trình vi phân cho các đ òng ng ư cong pha là

dy

dx = − sin

x y Đây là ph ươ trình vi phân tách bien, nên ta có nghi¾m ng

y = ± √ 2(cos x + C) 1/2 ,

đó là ph ươ trình cúa các đ òng ng ư cong pha vói C là tham so cúa các

đ òng ư cong pha.

Hình 2.8: Đ òng ư cong pha cúa x¨ + sin x = 0.

Do y phái là so thnc nên C ≥ −1 Xem Hình 2.8 ho¾c tong quát h n ơ

là Hình 2.2, ó đó pham vi cúa C đ oc ư chia ra như sau:

Giá tr% cúa C Loai chuyen đ®ng

−1 < C < 1 Các đ òngư cong pha kín (chuyen đ®ng tuan

đ òng ư P2 trong Hình 2.8, đ òng ư đó đ oc ư goi là m®t đưàng phân

l¾p, vì nó phân bi¾t hai che đ® chuyen đ®ng, dao đ®ng và quay tít Nó

cũng ket noi hai điem yên ngna.

2.3 Mô hình cơ hoc cúa h¾ đ®ng lNc báo toàn

Khi f (x) phi tuyen, vi¾c phân tích các nghi¾m cúa (2.26) đôi khican phái xem xét cá mô hình cơ hoc tươ úng Trong Hình 2.9, m®t hatng

P có khoi l ongư đ nơ v% d%ch chuyen tn do doc theo trnc Ox Nó ch%u tác

đ®ng cúa

m®t lnc f (x) chí phn thu®c vào đ® d%ch chuyen x, và đ ocư tính là

dươ neu nó tác đ®ng theo h óngng ư dươ cúa trnc x Phng ươ trìnhngchuyen đ®ng cúa

P khi đó có dang (2.26) L uư ý rang lnc ma sát đã đ ocư bó qua vì chúng

th òngư là hàm cúa v¾n toc x˙ và h óngư tác đ®ng cúa chúng phn thu®c

vào dau cúa x˙, còn lnc f (x) chí phn thu®c vào v% trí x.

Đôi khi trnc giác v¾t lí cho phép chúng ta dn đoán chuyen đ®ng cúahat

đoi vói nhung ngoai lnc cn the Chang han, xét

x ¨ = f (x) = 1 + x2

Hình 2.9: Hat khoi l ong ư đ nơ v% P d ói ư tác dnng cúa ngoai lnc f (x).

Khi đó, vì f (x) > 0, nên f tác đ®ng tù trái qua phái trong Hình 2.9.

Không có điem cân bang cúa h¾, do đó ta dn đoán rang, vói bat cú đieuki¾n ban đau nào thì P đeu di chuyen đen vô cùng, và se không xáy ra

tr òngư hop dao đ®ng

Tiep theo, giá sú rang

như v¾y se gây ra hi¾n t ongư dao đ®ng và đieu này se đ ocư xác nh¾nbói các nghi¾m hi¾n (2.21), trong tr òngư hop λ = ω2 Nguyên nhân

gây ra dao đ®ng là f (x) là m®t lnc phnc hoi nghĩa là h óngư cúa nó luôn

là h óngư kéo P ve goc.

Hình 2.10: Hat đ nơ v% P đ oc ư gan vào m®t lò xo có chieu dài tn nhiên l =

AO Đ® d%ch chuyen cúa P so vói O là x.

Bây giò xét m®t lò xo có m®t moi quan h¾ phi tuyen đoi vói súc căng và đ® giãn:

Súc căng = − f (x), trong đó f (x) có thu®c tính phnc hoi, có nghĩa