Luận văn sư phạm Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha

Sự tăng giảm của ˙x chủ yếu là do lực hấpdẫn, nên trên các quỹ đạo pha có ˙x rất lớn thì tác động đó là không đáng kểnên các đường cong pha gần với các đường thẳng song song với trục x.T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng

-Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bàikhóa luận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm HàNội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bàikhóa luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nênkhông tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mongnhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

ĐÀO THỊ HẢI

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫntận tình củaTS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Phương trình vi phân cấp hai

trong mặt phẳng pha” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đào Thị Hải

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Phương trình vi phân cấp hai 2

1.1 Phương trình khuyết 3

1.2 Phương trình tuyến tính 4

1.3 Phương trình tuyến tính có hệ số không đổi 5

1.4 Phương trình Euler 7

Chương 2 Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha 8

2.1 Lược đồ pha của phương trình con lắc đơn 8

2.2 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha 12

2.3 Mô hình cơ học của hệ động lực bảo toàn ¨x = f (x) 24

2.4 Dao động tắt dần tuyến tính 33

2.5 Giảm tốc phi tuyến: chu trình giới hạn 37

2.6 Một số ứng dụng 46

2.7 Hệ bảo toàn phụ thuộc tham số 52

2.8 Biểu diễn đồ thị các nghiệm 55

Kết luận 57

Tài liệu tham khảo 58

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mốiquan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó(có bậc khác nhau) Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển củakhoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế Do vậy việc nghiêncứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng Trên thực tế số phươngtrình vi phân nói chung, số phương trình vi phân cấp hai nói riêng giải đượckhông nhiều (xem một số lớp phương trình vi phân cấp hai giải được trongChương 1) Do vậy chúng ta phải có một hướng mới để nghiên cứu phươngtrình vi phân, đó là hướng nghiên cứu định tính của phương trình vi phân.Nghiên cứu định tính phương trình vi phân là tìm cách suy ra các đặc trưngquan trọng của các nghiệm của phương trình vi phân mà không cần giảichúng Một trong những công cụ hình học để nghiên cứu định tính là mặtphẳng pha Qua mặt phẳng pha ta nhận được các tính chất quan trọng như:điểm cân bằng, tính tăng vô hạn, tính ổn định và một số kết quả khác

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về phương trình vi phân cấp hai hay

cụ thể hơn là sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu định tính phương trình viphân cấp hai, em đã mạnh dạn chọn đề tài:"Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha" Nội dung đề cập trong khóa luận được trình bày

trong hai chương:

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp hai

và một số lớp phương trình vi phân cấp hai giải được hoặc hạ cấp được.Chương 2 trình bày về khái niệm mặt phẳng pha và cách sử dụng mặt phẳngpha để nghiên cứu định tính của phương trình vi phân cấp hai

Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thâncòn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếusót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để

đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn

∂ y′(x, y, y′) liên tục trong một miền D nào đó

trong R3và nếu (x0, y0, y′0) là một điểm liên tục thuộc D thì trong một lân cận

nào đó của điểm x = x0, tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện

y|x=x 0 = y0, y′|x=x 0 = y′0 (1.3)

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3)được gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2).

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x,C1,C2), trong đó

C1,C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau:

(i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C1,C2,

(ii) Với mọi (x0, y0, y′0) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất

nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1 =

C10,C20 Hệ thức Φ(x,y,C0

1,C20) = 0 được gọi là tích phân riêng

1.1 Phương trình khuyết

(i) Phương trình khuyết y : F(x,y′, y′′) = 0

Đặt p = y′, ta tìm được F(x, p, p′) = 0 đó là phương trình cấp một đối với p

(ii) Phương trình khuyết x : F(y,y′, y′′) = 0

(iii) Phương trình khuyết y, y′ : F(x, y′′) = 0

Đặt y′ = p, ta được F(x, p′) = 0 đó là phương trình cấp một đối với p

1.2 Phương trình tuyến tính

Đó là phương trình vi phân có dạng

y′′+ p(x)y′+ q(x)y = f (x) (1.4)trong đó p(x), q(x), f (x) là những hàm số liên tục Phương trình được gọi

là thuần nhất nếu f (x) ≡ 0, không là thuần nhất nếu f (x) 6≡ 0

(i) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

y′′+ p(x)y′+ q(x)y = 0 (1.5)

Định lý 1.2 Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phương trình (1.5) thì

C1y1(x) + C2y2(x), trong đó C1, C2 là hai hằng số, cũng là nghiệm của phương trình đó.

Định nghĩa 1.1 Hai hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính

trên đoạn [a,b] nếu tỉ số y2(x)

y1(x) 6= hằng số trên đoạn đó Trái lại hai hàm này

được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y1(x) và y2(x), định thức

y1 y2

y′1 y′2

... khiển phương trình vi phânthường, hay phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân Ở

ta chủ yếu xét hệ phi tuyến điều khiển phương trình vi phân thường .Phương trình hiểu phương trình. .. 2

Phương trình vi phân cấp< /b>

hai mặt phẳng pha< /b>

Trước hết ta giới thiệu khái niệm mặt phẳng pha thông qua phươngtrình cụ thể phương trình dao động lắc... sang phải nửa mặtphẳng Tương tự, hướng từ phải sang trái nửa mặt phẳngdưới Tồn Hình 2.2 lược đồ pha phương trình (2.1)

Mặc dù khơng xuất biến thời gian biểu diễn mặt phẳng pha, nhưng xác