Ứng dụng của phương pháp Galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2KHOA TOÁN ****************** NGUYEN TH± HƯèNG ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN VÀO GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP 2 KHÓA LU¾N TOT

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

******************

NGUYEN TH± HƯèNG

ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP

GALERKIN VÀO GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP 2

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP

Chuyên ngành: Toán Giái

tích

Hà N®i-2013

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

******************

NGUYEN TH± HƯèNG

ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP

GALERKIN VÀO GIÁI BÀI TOÁN BIÊN CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯèNG CAP 2

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP Chuyên ngành: Toán Giái

tích

LèI CÁM ƠN

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, em xin bày tó lòng

biet ơn sâu sac tói PGS.TS Khuat Văn Ninh, ngưòi đã t¾n tình hưóng

dan đe em có the hoàn thành khóa lu¾n này

Em cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói toàn the các thay côgiáo trong khoa Toán, Trưòng Đai hoc Sư Pham Hà N®i 2 đã day báo emt¾n tình trong suot quá trình hoc t¾p tai khoa

Nhân d%p này em cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,ban bè đã luôn bên em, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ em trong suot quá trìnhhoc t¾p và thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p này

Hà N®i, ngày tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyen Th% Hưàng

LèI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan công trình nghiên cúu này là cna riêng em dưói sn chí

dan cna PGS.TS Khuat Văn Ninh - Giáng viên khoa Toán, Trưòng

Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 Các ket quá trong khóa lu¾n là trung thnc,không trùng vói ket quá nghiên cúu cna các tác giá khác

Neu sai, em xin hoàn toàn ch%u trách nhi¾m

Hà N®i, ngày tháng 05 năm 2013

Ngưòi cam đoan

Nguyen Th% Hưàng

Mnc lnc

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b% 5

1.1 Không gian vec tơ 5

1.1.1 Khái ni¾m không gian vectơ 5

1.1.2 M®t so ví du 6

1.1.3 H¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính và h¾ vectơ phu thu®c tuyen tính 6

1.1.4 Cơ só và so chieu cna không gian vectơ 7

1.1.5 Không gian vectơ con 8

1.2 Không gian đ%nh chuan 8

1.2.1 Khái ni¾m không gian đ%nh chuan 8

1.2.2 Sn h®i tu trong không gian đ%nh chuan 9

1.2.3 Toán tú tuyen tính trong không gian đ%nh chuan 10

1.3 Không gian Hilbert 11

1.3.1 Tích vô hưóng 11

1.3.2 Tính trnc giao 13

1.3.3 Cơ só trnc chuan - Đang thúc Parseval 15

1.4 Phương pháp chieu và đ%nh lý hình chieu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert 15

1.4.1 Phương pháp chieu 15

1.4.2 Đ%nh lý h®i tu cơ bán 16

1.4.3 Đ%nh lý hình chieu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert 18

1.4.4 Úng dung cna đ%nh lý hình chieu lên không gian con đóng trong không gian

Hilbert 19

1.5 Phương trình vi phân thưòng và bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng 24

1.5.1 M®t so khái ni¾m ve phương trình vi phân 24

1.5.2 Bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng 25

1.6 Ket lu¾n chương 1 28

Chương 2 Phương pháp Galerkin và Nng dnng vào giái gan đúng bài toán biên cúa phương trình vi phân thưàng 29

2.1 Cơ só lý thuyet chung 29

2.2 Phương pháp Galerkin và úng dung vào giái bài toán biên 30

2.2.1 N®i dung phương pháp 30

2.2.2 M®t so ví du: 32

2.3 So sánh phương pháp Galerkin vói m®t so phương pháp giái bài toán biên hai điem tuyen tính 37

2.3.1 Phương pháp Collocation 37

2.3.2 So sánh phương pháp Galerkin và phương pháp Collocation 39

2.3.3 Phương pháp sai phân 42

2.3.4 So sánh phương pháp Galerkin và phương pháp sai phân 43

2.4 Ket lu¾n chương 2 47

Chương 3 Úng dnng ngôn ngÑ l¾p trình Pascal và Maple vào giái bài toán biên cúa phương trình vi phân thưàng 48

3.1 Úng dung ngôn ngu l¾p trình Pascal vào giái bài toán biên 48

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Phương trình vi phân là m®t trong nhung máng kien thúc quan trongcna toán hoc Vi¾c giái phương trình vi phân không chí giúp giái quyetđưoc m®t lưong lón các bài toán trong các lĩnh vnc toán hoc, v¾t lý, hóahoc, mà còn đem lai nhieu úng dung thnc tien trong cu®c song

Tuy nhiên, giái phương trình vi phân đe tìm đưoc nghi¾m chính xácvan còn g¾p nhieu khó khăn Do v¾y, các nhà khoa hoc đã nghiên cúu vàtìm ra các phương pháp giái gan đúng phương trình vi phân

Đe mó r®ng và nâng cao sn hieu biet ve các phương pháp giái phươngtrình vi phân, ó khóa lu¾n này, em xin manh dan trình bày phương phápGalerkin và úng dung quan trong cna phương pháp này đe giái gan đúngbài toán biên cna phương trình vi phân thưòng cap 2

2 Mnc đích nghiên cNu

Tong hop kien thúc ve phương pháp Galerkin và úng dung trong vi¾cgiái phương trình vi phân thưòng

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu phương pháp Galerkin đe giái bài toán biên cna phươngtrình vi phân thưòng

H¾ thong m®t so kien thúc liên quan đen phương pháp này

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

• Đoi tưong nghiên cúu: Úng dung cna phương pháp Galerkin đe giái

bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng cap 2

• Pham vi nghiên cúu: Bài toán biên cna phương trình vi phân thưòng

cap 2

5 Phương pháp nghiên cNu

• Tìm tòi, sưu tam, h¾ thong các tài li¾u liên quan.

• Nghiên cúu tài li¾u.

• Phân tích, so sánh, tong hop các n®i dung.

• Tham kháo ý kien chuyên gia.

6 NhÑng đóng góp mái cúa đe tài

Đe tài trình bày h¾ thong cơ só lý thuyet, đưa ra phương pháp và m®t

so ví du cu the cho úng dung cna phương pháp Galerkin vào giái bài toánbiên hai điem tuyen tính cna phương trình vi phân thưòng cap 2, so sánhphương pháp Galerkin vói m®t so phương pháp khác đe thay đưoc sn hi¾uquá cna phương pháp này Ngoài ra, đe tài còn giói thi¾u úng dung Pascal

và Maple vào bài toán trên đe vi¾c tính toán nhanh chóng và đơn giánhơn

Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom 3 chương :

• Chương 1 cna khóa lu¾n trình bày tóm tat m®t so ket quá đã biet

trong đai so tuyen tính và giái tích hàm, các đ%nh lý và ket quá cơbán liên quan đen khóa lu¾n

• Chương 2 cna khóa lu¾n t¾p trung trình bày ý tưóng, các khái ni¾m

và tính chat và n®i dung cơ bán cna phương pháp Galerkin Bên canh

đó là m®t so ví du cu the úng dung phương pháp Galerkin vào giáibài toán biên cna phương trình vi phân thưòng

• Chương 3 trình bày úng dung cna tin hoc vào giái bài toán biên hai

điem tuyen tính

Do thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n không nhieu, kien thúc còn han che nênkhi làm khóa lu¾n không tránh khói nhung thieu sót Em rat mong nh¾nđưoc nhung đóng góp quý báu cna quý thay cô và ban đoc

Em xin chân thành cám ơn!

Hà N®i, ngày tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

1.1 Không gian vec tơ

1.1.1 Khái ni¾m không gian vectơ

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho V là m®t t¾p khác rong mà các phan tú ký hi¾u là

x,y,z, và K là m®t trưòng Giá sú V đưoc trang b% hai phép toán sau: a) Phép c®ng:

b) Phép nhân:

+ : V × V → V (x, y) ›→ x + y

nhân vectơ vói vô hưóng.

Khi K = R thì V đưoc goi là không gian vectơ thnc

Khi K = C thì V đưoc goi là không gian vectơ phúc.

1.1.2 M®t so ví dn

Ví dn 1.1 T¾p hop K[X] các đa thúc cna bien so X vói h¾ so thu®c

trưòng K vói phép c®ng đa thúc và phép nhân đa thúc vói vô hưóng thu®ctrưòng K là m®t K- không gian vectơ

Ví dn 1.2 T¾p hop X khác rong, V là m®t K-không gian vectơ T¾p Ω

gom tat cá các ánh xa ϕ : X −→V vói các phép toán:

(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) (λϕ)(x) = λ · ϕ(x) vói ϕ, ψ ∈ Ω, λ ∈ K là m®t K- không gian vectơ

Ví dn 1.3 Cho trưòng K và n ≥ 1 Xét tích Descartes:

Rn cùng vói hai phép toán trên là m®t K- không gian vectơ

1.1.3 H¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính và h¾ vectơ phn thu®c tuyen

đưoc goi là m®t bieu th% tuyen tính cúa x qua các vectơ x1, , x n

Đ%nh nghĩa 1.3 Trong không gian vectơ R

• H¾ vectơ {x1, , x n } đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính neu h¾ thúc

• M®t h¾ vectơ cúa V đưoc goi là m®t h¾ sinh cúa V neu moi vectơ cúa

V đeu bieu th% tuyen tính qua h¾ đó.

• M®t h¾ vectơ cúa V đưoc goi là m®t cơ só cúa V neu moi vectơ cúa

V đeu bieu th% tuyen tính duy nhat qua h¾ này.

Neu V = θ, ta quy ưóc dimV = 0.

• Neu V không có cơ só nào gom huu han vectơ thì nó đưoc goi là

không gian vectơ vô han chieu.

1.1.5 Không gian vectơ con

Đ%nh nghĩa 1.6 Giá sú V là m®t K- không gian vectơ và W là m®t t¾p

con cúa V sao cho:

x + y ∈ W, ∀x, y ∈ W

λx ∈ W, ∀λ ∈ K, x ∈ W

và W cùng vói hai phép toán trên là m®t không gian vectơ trên trưòng K.

Khi đó, ta goi W là m®t không gian vectơ con cúa không gian vectơ V.

Ví dn 1.4 T¾p P n [X] = {a0 + a1X + + a n X n | a i ∈ K} là m®t

không gian vectơ con cna K- không gian vectơ K[X]

Ví dn 1.5 Không gian C1[a, b]- các hàm so thnc khá vi, liên tuc trên

đoan [a,b] là m®t không gian con cna R- không gian C[a,b]- các hàm soliên tuc trên đoan [a,b]

1.2 Không gian đ%nh chuan

1.2.1 Khái ni¾m không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.7 Cho X là m®t không gian tuyen tính (không gian vectơ)

trên trưòng K (K = R ho¾c K = C) M®t ánh xa kí hi¾u là ||.||:

||.|| : X → R

x ›→ ||x||

đưoc goi là m®t chuan trên X neu nó thóa mãn các tiên đe sau:

1 (∀x ∈ X) ||.|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = θ (ký hi¾u θ là phan tú không

cúa X);

2 (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) ||αx|| = |α| ||x|| (tính thuan nhat cúa chuan);

1

n

Đ%nh nghĩa 1.8 Cho X là không gian vectơ trên trưòng K, ||.|| là m®t

chuan trên X Khi đó c¾p (X, ||.||) đưoc goi là không gian đ%nh chuan (X,

||.||) là không gian đ%nh chuan thnc ho¾c phúc neu K là trưòng thnc ho¾c phúc.

Ta cũng ký hi¾u không gian đ%nh chuan là X.

1.2.2 SN h®i tn trong không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.9 Dãy điem (x n ) trong không gian đ%nh chuan X goi là h®i tn đen điem x ∈ X neu:

Công thúc trên xác đ%nh m®t chuan trên l2 Không gian đ%nh chuan tương

úng ký hi¾u là l2 l2 là không gian Banach

Ví dn 2.3 Cho không gian vectơ C [a,b] - không gian các hàm so xác đ

%nh và liên tuc trên [a, b] Vói hàm so bat kỳ x(t) ∈ C [a,b], đ¾t

||x|| = max |x(t)|

a≤t≤b

công thúc trên cho m®t chuan trên C [a,b] Không gian đ%nh chuan

tương úng là C [a,b]

De thay C [a,b] là không gian Banach

Ví dn 2.4 Không gian vectơ L [a,b] gom các hàm x(t) xác đ%nh và khá

tích Lebesgue trên [a,b] là không gian đ%nh chuan vói chuan:

Công thúc trên xác đ%nh m®t chuan trên E n E n là m®t không gian Banach

1.2.3 Toán tN tuyen tính trong không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.11 Giá sú X, Y là hai không gian đ%nh chuan trên trưòng

K (K là trưòng thnc ho¾c phúc) Ánh xa A : X → Y đưoc goi là m®t toán tú tuyen tính neu A thóa mãn:

1 A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2), (∀x1, x2 ∈ X);

2 A(αx) = αA(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ K).

Đe cho gon, ta viet Ax thay cho A(x)) đe chs phan tú úng vói x trong toán

tú A De thay các đieu ki¾n 1) và 2) tương đương vói:

Đ%nh nghĩa 1.12 Cho X, Y là hai không gian đ%nh chuan M®t toán tú

tuyen tính A : X → Y đưoc goi là liên tnc tai x0 ∈ X neu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X : ||x − x0|| < δ, ta có : ||Ax − Ax0|| < ε Tương đương: ∀x n → x0, (n → ∞) luôn kéo theo Ax n → Ax0, (n → ∞)

Đ%nh nghĩa 1.13 Toán tú A : X → Y đưoc goi là b% ch¾n (giói n®i)

neu ton tai hang so M > 0 sao cho:

(∀x ∈ X) ||Ax|| ™ M||x||.

So M nhó nhat thóa mãn h¾ thúc trên goi là chuan cna toán tú A, ký hi¾u là : ||A||.

||A|| = inf{M > 0 : ||Ax|| ™ M · ||x||, ∀x ∈ X}

Đ%nh lý 1.1 Toán tú tuyen tính A : X → Y là liên tnc khi và chs khi

nó b% ch¾n.

1.3 Không gian Hilbert

1.3.1 Tích vô hưáng

Đ%nh nghĩa 1.14 Cho không gian vectơ X trên trưòng K (K là trưòng

thnc ho¾c phúc) Ta goi là tích vô hưóng trên không gian X moi ánh xa đi

tù tích Descartes X × X vào trưòng K, ký hi¾u là (.,.) thóa mãn các tiên

đe sau:

1) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);

2) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ K) (αx, y) = α(x, y);

4) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, neu x ƒ= θ (θ là ký hi¾u phan tú không)

Đ%nh nghĩa 1.16 Ta goi t¾p H ƒ= 0 gom nhung phan tú x, y, z,

nào đó là không gian Hilbert neu t¾p H thóa mãn các đieu ki¾n:

1) H là không gian tuyen tính trên trưòng K;

2) H đưoc trang b% m®t tích vô hưóng (.,.);

3) H là không gian Banach vói chuan ||x|| = ,(x, x), x ∈ H.

Neu K=R ho¾c K=C thì không gian Hilbert tương úng là không gian Hilbert thnc ho¾c phúc.

Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cúa không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con cúa không gian H.

=1

Chuan sinh bói tích vô hưóng:

‚

||x|| = (x, x) = , x2

i i=1

Rn cùng vói tích vô hưóng trên là m®t không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.17 Toán tú tuyen tính A goi là toán tú dương trong không

gian Hilbert H neu:

Đ%nh nghĩa 1.19 Cho không gian Hilbert H Hai phan tú x, y ∈ H goi

là trnc giao, ký hi¾u x ⊥ y, neu (x, y) = 0.

Đ%nh nghĩa 1.20 Cho không gian Hilbert H và t¾p con A ⊂ H, A ƒ=

∅ Phan tú x ∈ H đưoc goi là trnc giao vói t¾p A, neu x ⊥ y(∀y ∈ A) và

Đ%nh nghĩa 1.21 Cho không gian Hilbert H T¾p gom huu han hay đem

đưoc các phan tú (e n)n≥1 ⊂ H goi là m®t h¾ trnc chuan, neu:

Quá trình trNc giao hóa Hilbert - Schmidt

Nh¾n xét: Moi h¾ trnc chuan đeu đ®c l¾p tuyen tính Ngưoc lai, cho m®t

h¾ các vectơ đ®c l¾p tuyen tính (x n)n≥1 ⊂ H gom huu han hay đem

Bang quy nap, ta xây dnng h¾ (e n)n≥1 ⊂ H vói

H¾ trên là h¾ trnc chuan

Đ%nh lý 1.4 (Bat đang thúc Bessel): Neu (e n)n≥1 là m®t h¾ trnc chuan nào đó trong không gian Hilbert H, thì ∀x ∈ H ta đeu có bat đang thúc:

n≥1

|(x, e n )| ≤ ||x||

Bat đang thúc trên goi là bat đang thúc Bessel.

1.3.3 Cơ sá trNc chuan - Đang thNc Parseval

Đ%nh nghĩa 1.22 H¾ trnc chuan (e n)n≥1 trong không gian Hilbert H goi là cơ só trnc chuan cúa không gian H neu trong không gian H không ton tai vectơ khác không nào trnc giao vói h¾ đó.

Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý ve đang thúc Parseval) Cho (e n)n≥1 là cơ só trnc chuan cúa không gian H

Năm m¾nh đe sau đây tương đương:

1 H¾ (e n)n≥1 là cơ só trnc chuan cúa không gian H;

5 Bao tuyen tính cúa h¾ (e n)n≥1 trù m¾t khap nơi trong không gian H.

1.4 Phương pháp chieu và đ%nh lý hình chieu lên

không gian con đóng trong không gian Hilbert1.4.1 Phương pháp chieu

Cho E, F là hai không gian Banach (thnc ho¾c phúc) Xét phương

trình:

trong đó L là toán tú tuyen tính có mien xác đ%nh D(L) ⊂ E và mien giá tr% R(L) ⊂ F Phương pháp chieu đe giái phương trình này như sau:

Tìm nghi¾m u n ∈ E n sao cho p n (Lu n −f ) ∈ F n ta giái phương trình

(1.4) trong F n và tìm nghi¾m trong E n

1.4.2 Đ%nh lý h®i tn cơ bán

Dãy các không gian con {E n } đưoc goi là trù m¾t giói han trong không

gian Banach E neu vói moi z ∈ E thóa mãn đieu ki¾n:

ρ(z, E n ) → 0 khi n → ∞, trong đó ρ(z, E n) = inf

n ∈E n ||z − z n ||.

Đ%nh lý 1.6 Giá sú mien xác đ%nh D(L) cúa toán tú L trù m¾t trong

E, mien giá tr% R(L) trù m¾t trong F và giá sú L là ánh xa tù D(L) lên R(L), giá sú không gian con LE n và F n là đóng trong F, P n là toán tú b% ch¾n đeu đoi vói n, túc là:

||P n || ≤ c, (n = 1, 2, · · · ). (1.5)

Khi đó vói moi f thu®c F bat đau vói chs so n = n0, ton tai duy nhat nghi¾m u n cúa (1.4) Đe không khóp R = Lu n − f tien dan tói

0 theo chuan khi n → ∞ , can và đú thóa mãn các đieu ki¾n sau:

1) Dãy không gian con LE n trù m¾t giói han trong F;

2) Vói n ≥ n0, toán tú P n là song ánh tù LE n lên F n ;

3) τ ≡ lim n τ n > 0, trog đó τ n = inf

n ∈LE n

||z n ||=1

||P n z n ||.

n

)ρ(f, LE n) (1.6)

Trong trưòng hop không gian con E n và F n là huu han chieu và

hơn nua dimE n = dimF n thì đieu ki¾n 2) là h¾ quá cna đieu ki¾n 3)

Chúng minh Thay Lu n = x n vào (1.2), ta có :

P n x n = P n f, (x n ∈ LE n) (1.7)

Đieu ki¾n đú:

Ký hi¾u P

r là thu hep cna toán tú chieu P n lên không gian con LE n

Theo đieu ki¾n 2), khi n ≥ n0 thì toán tú P

r

là song ánh tù không gian

Banach LE n lên không gian Banach F nên ton tai toán tú ngưoc b% ch¾n

n tù F n lên LE n Do đó ton tai duy nhat x n thóa mãn đieu ki¾n (1.7):

Tù đây suy ra không khóp (Lu n − f ) h®i tu đen 0.

Đieu ki¾n can:

Giá sú vói moi f ∈ F , vói moi n ≤ n0 thì các xap xí x n đưoc xác đ

%nh đơn tr% Tù đieu ki¾n (1.7) và tù ||x n − f || → 0 khi n → ∞, ta can

chí ra

rang các m¾nh đe 1), 2), 3) là đúng Hien nhiên m¾nh đe 1), 2) là đúng

r đưoc nhac tói khi chúng minh đieu ki¾n đn).n τ n 0

Vói n ≥ n0 thì x n = P r−1 P n f Vói moi f ∈ F , ta có:

Đ%nh lý 1.7 Giá sú H0 là không gian con cúa không gian Hilbert H Khi

đó phan tú bat kỳ x ∈ H đeu bieu dien m®t cách duy nhat dưói dang:

x = y + z, y ∈ H0, z ⊥ H0 Khi đó y đưoc goi là hình chieu cúa x lên H0.

Chúng minh Neu x ∈ H0 ⇒ x = x + θ, x ∈ H0 và θ ⊥ H0, theo

tính chat c¾n dưói đúng, ton tai dãy (u n ) ⊂ H0 sao cho:

Do đó không ton tai v ƒ= θ thu®c H0 đe (z, v) ƒ= 0 ⇒ z ⊥

H0 V¾y ∀x ∈ H luôn có bieu dien: x = y + z, y ∈ H0, z ⊥

H0 Giá sú x = y r + z r , y r ∈ H0, z r ⊥ H0

⇒ y + z = y r + z r ⇔ y − y r = z = z r vói y − y r ∈ H0, z r − z ∈ H0

⇒ y − y r ⊥ H0 ⇔ y − y r = θ ⇔ y = y r ⇒ z = z r

V¾y bieu dien cna x là duy nhat

1.4.4 Úng dnng cúa đ%nh lý hình chieu lên không gian con đóng

trong không gian Hilbert

M®t trong nhung úng dung cna đ%nh lý hình chieu lên không gian conđóng là phương pháp trung bình phương xap xí tot nhat trong không gianHilbert

Bài toán:

Cho H0 là m®t không gian con đóng cna không gian Hilbert H, tìm

h0 ∈ H sao cho:

||x − h || = d := inf

h∈H0

=1

Do (e i)n đ®c l¾p tuyen tính nên G(e1, e2, · · · , e n ) ƒ= 0

vói G(e1, e2, · · · , e n ) = det(a ij ), a ij = (e i , e j ), ∀i, j = 1, n

Suy ra h¾ phương trình đai so tuyen tính:

có nghi¾m duy nhat c i , i = 1, n

Vì v¾y đe tìm h n 0, ta giái h¾ phương trình trên tìm các giá tr% c i khi đó

V¾y xap xí tot nhat cna x trong H0 là duy nhat

Đe ưóc lưong phương sai, ta xét các trưòng hop sau:

|

.

||e i ||

) (x, e1) ..

(e2, e1) (e2, e n ) (x, e2)

.

Giá sú G(e1, e2, , e n ) > 0 khi đó theo (4.6) ta có:

G(e1, e2, , e n+1)

Nh¾n xét:

1 Đ%nh lý đưoc thnc hi¾n trong trưòng so thnc thì

(x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ H

2 Moi x ∈ H neu ton tai duy nhat h0 ∈ H0 là xap xí tot nhat cna x trong H0, h0 đưoc xác đ%nh hoàn toàn qua toán tú

Tính chat cúa toán tú chieu:

• p là toán tú chieu cna H lên không gian H0 thì p là toán tú tn liên hop (p ∗ = p), túc là:

∀x, y ∈ H, (px, y) = (x, py) Th¾t v¾y:

Giá sú x = u + v, y = r + s vói u, r ∈ H0, v, s ⊥ H0

⇒ px = u, py = r (px, y) = (u, r + s) = (u, r) + (u, s) = (u, r)

(x, py) = (u + v, r) = (u, r) + (v, r) = (u, r)

1.5 Phương trình vi phân thưàng và bài toán biên

cúa phương trình vi phân thưàng

1.5.1 M®t so khái ni¾m ve phương trình vi phân

• Phương trình vi phân là phương trình chúa hàm so chưa xác đ%nh

(đóng vai trò như an so) và các đao hàm cna hàm so đó

• Neu hàm can tìm chí phu thu®c vào m®t bien đ®c l¾p, ta có phương

trình vi phân thưòng

• Neu hàm can tìm phu thu®c vào hai hay nhieu bien đ®c l¾p, ta có

phương trình đao hàm riêng

• Phương trình vi phân thưòng cap n là m®t h¾ thúc có dang:

F (x, y(x), y r (x), y”(x), , y (n) (x)) = 0 (1.14)trong đó x là bien đ®c l¾p, y là hàm can tìm

• Cap cna phương trình là cap cna đao hàm cap cao nhat có m¾t trong

phương trình

• Hàm so y = ϕ(x) đưoc goi là nghi¾m cna phương trình neu thay

y = ϕ(x), y r = ϕ r (x), , y (n) = ϕ (n) (x) vào (1.5) thì ta đưoc

đong nhat thúc

• Hàm so y = ϕ(x, c)(c ∈ R) có đao hàm riêng theo bien x đen cap n

goi là nghi¾m tong quát cna phương trình (1.5), neu:

1) ∀(x, y) ∈ D D là mien xác đ%nh cna phương trình, ta có the giái

ra đoi vói c, c = ψ(x, y).

2) Hàm y = ϕ(x, c) thóa mãn (1.5) khi (x, y) chay khap D, ∀c ∈ R.

1.5.2 Bài toán biên cúa phương trình vi phân thưàng

• Bài toán Cauchy:

Xét phương trình vi phân thưòng cap n khi đao hàm cap cao nhat

y (n) bieu dien dưói dang:

y (n) = f .x, y, y r , , y (n−1). (1.15)

Bài toán Cauchy đoi vói phương trình (1.6) là tìm hàm y = y(x)

thóa mãn phương trình (1.6) và đieu ki¾n ban đau:

• Bài toán biên:

Giá sú hàm f (x), f i (x) liên tuc trên [a, b] và f n (x) ƒ= 0, l¾p

Do ma tr¾n (1.18) có hang m nên các to hop (1.19) là đ®c l¾p tuyen

tính Các đang thúc:

V j (y) = g j , j = 1, m (1.20)

trong đó g j là nhung so cho trưóc.

Khi đó (1.11) đưoc goi là đieu ki¾n biên cna phương trình (1.10) Neu

g j = 0 thì (1.11) là đieu ki¾n biên thuan nhat

Phương trình (1.14) cùng các đieu ki¾n (1.20) l¾p thành bài toán

biên Bài toán biên đưoc goi là thuan nhat neu g j = 0, j = 1, m; f (x) ≡ 0,

trong các trưòng hop còn lai, ta có bài toán biên không thuan nhat,

đôi khi cũng có the goi là bán thuan nhat neu g j = 0, j = 1, m

và

f (x) ≡ 0.

Ta thay ϕ(x) ≡ 0 luôn thóa mãn bài toán biên không thuan nhat,

nghi¾m này goi là nghi¾m tam thưòng cna bài toán

Neu ϕ1, , ϕ n là nhung nghi¾m cna bài toán biên thuan nhat

thì m®t to hop tuyen tính tùy ý cna chúng: c1ϕ1 + + c n ϕ n

cũng là nghi¾m cna bài toán đó

• Đieu ki¾n giái đưac cúa bài toán biên:

Giá sú biet m®t nghi¾m riêng ϕ0 cna phương trình (1.14) và h¾

nghi¾m cơ bán ϕ1, , ϕ n cna phương trình thuan nhat tương úng,

khi đó bài toán biên giái đưoc khi và chí khi chon đưoc các h¾ so c i

trong bieu thúc: ϕ = ϕ0 + c1ϕ1 + + c n ϕ n sao cho đieu ki¾n(1.11) đưoc thóa mãn

Do v¾y, đieu ki¾n can và đn đe bài toán biên giái đưoc là ma tr¾n:

Neu ma tr¾n (1.21) có hang r thì bài toán biên thuan nhat giái đưoc

và có (n − r) b¾c tn do, vì v¾y nó có nghi¾m không tam thưòng

vói

m < n.

Trưòng hop m = n, bài toán biên thuan nhat chí có nghi¾m không

tam thưòng khi đ%nh thúc cna ma tr¾n (1.21) bang không

V¾y trong trưòng hop m = n ho¾c bài toán biên không thuan

nhat có duy nhat m®t nghi¾m ho¾c bài toán biên thuan nhat tươngúng có ít nhat m®t nghi¾m không tam thưòng

Cho phương trình:

F (x, y, y r , y rr , , y n ) = 0; a ≤ x ≤ b (1.22)Bài toán biên hai điem đoi vói phương trình (1.22) như sau:

Tìm hàm so y(x) thóa mãn đieu ki¾n (1.21) trên [a, b] và thóa

mãn đieu ki¾n biên ó hai đau đoan thang:

ϕ i (y(a), y r (a), , y (n−1)(a) ) = 0, i = 1, 2, , L(1.23)

ψ j (y(a), y r (a), , y (n−1)(a) ) = 0, j = L + 1, L + 2, , n

(1.24)

Neu các phương trình (1.22)-(1.24) là tuyen tính đoi vói y(x), y r (x),

y rr (x), , y (n) (x) thì bài toán biên (1.22) đen (1.24) là bài toán

biên tuyen tính

• Bài toán biên hai điem tuyen tính:

Bài toán biên hai điem tuyen tính là bài toán có dang:

Tìm nghi¾m cna phương trình: y rr + p(x)y r + q(x)y = f (x) thóa

mãn đieu ki¾n biên:



 α0y(a) + α1y r (a) = A

 β0y(b) + β1y r (b) = B Trong đó: p(x), q(x), f (x) là nhung hàm so cho trưóc và α0, α1, β0,

β1, A, B là nhung hang so cho trưóc.

1.6 Ket lu¾n chương 1

Chương 1 đã h¾ thong nhung kien thúc cơ bán, chuan b% làm cơ só lýthuyet cho vi¾c xây dnng phương pháp Galerkin giái bài toán biên haiđiem tuyen tính Đ¾c bi¾t là phương pháp chieu và úng dung cna Đ%nh lýhình chieu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert