Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

Nhờ một số tính chất riêng của nó mà biến đổi Laplaceđặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân thường, phươngtrình đạo hàm riêng, phương trình tích phân.... Với phép biến đổin

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có vai tròquan trọng trong giải tích Qua phép biến đổi Laplace, các phép toán giảitích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các cácphép toán đại số Nhờ một số tính chất riêng của nó mà biến đổi Laplaceđặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân thường, phươngtrình đạo hàm riêng, phương trình tích phân Phép biến đổi Laplacebiến mỗi hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến Với phép biến đổinày việc tìm hàm gốc thỏa mãn các biểu thức chứa đạo hàm tích phân(nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương tìnhđạo hàm riêng) được quy về tính toán các biểu thức đại số trên các hàmảnh Khi biết hàm ảnh ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìmhàm gốc

Ngoài ra, phép biến đổi Laplace còn được nghiên cứu trong vật lý

"Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi

phân thường" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành

Toán giải tích

Khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng của nó trongviệc giải phương trình vi phân trình thường

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và phương trình vi phânthường

Ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của thầy hướng dẫn đểhoàn thành mục đích đặt ra

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận gồm:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Phép biến đổi Laplace

Chương 3 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường.

x2  y2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Sơ lược về giải tích phức

1.1.1 Số phức

Định nghĩa Một số phức là một biểu thức dạng x  iy , trong đó x

và y là những số thực và số i thỏa mãn i2  1 Kí hiệu số phức là z vàviết là z  x  iy

i được gọi là đơn vị ảo, x được gọi là phần thực, y là phần ảo của

i2  1 Ta có:

z1  z2   x1  x2   i  y1  y2 

z1z2   x1  iy1  x2  iy2   x1x2  ix1y2  iy1x2  i2 y1 y2

  x1x2  y1y2   i  x1y2  y1x2 Với mỗi số phức ta xác định module của số phức z là

z 

Khóa luận tốt nghiệp

Số phức liên hợp của z  x  iy là x  iy và được kí hiệu là

Tính khả vi của hàm số biến số phức

Cho hàm số f xác định trong miền G  □ và một điểm z thuộc

miền G , khi đó hàm f được gọi là khả vi tại điểm z nếu tồn tại một số

z

   trong đó  0 khi z  0

Khóa luận tốt nghiệp

Khi đó,  z  gọi là đạo hàm của f tại z

Hàm f được gọi là khả vi trong miền G nếu f khả vi tại mọi điểmtrong miền G

Hàm giải tích

Cho hàm f xác định trong miền G và z0  , z0 □ Khi đó hàm

f được gọi là hàm giải tích tại điểm z0 nếu hàm f khả vi trong một lân

cận nào đó của điểm z0 Điểm mà tại đó hàm f không giải tích gọi làđiểm kì dị hay f được gọi là có điểm kì dị

1.1.3 Khai triển Laurent

f  z  giải tích trên G khi và chỉ khi f khả

Như vậy, một khai triển được biết như là chuỗi Laurent, nó có thể là

độ phân giải đơn giản nhất của một điểm kì dị

1.2 Một số vấn đề cơ bản của phương trình vi phân

Định nghĩa Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm

biến độc lập thì phương trình đó gọi là phương trình vi phân thường Nếuhàm cần tìm phụ thuộc hai hoặc nhiều biến độc lập thì phương trình đógọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong khuôn khổ của đề tàinày, ta chỉ xét phương trình vi phân thường.

Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát

Nếu từ phương trình (1.2) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp

cao nhất y n qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải được đối

với y n hoặc còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phươngtrình (1.2) có dạng :

yn  f  x, y, y, , yn1  (1.3)

Nghiệm của phương trình (1.2) cũng như (1.3) là hàm y  y  x

khả vi n lần trên khoảng a,b

với mọi x thuộc khoảng a,b

nào đó thỏa mãn các phương trình đó

Đường cong y  y  x , x a,b gọi là đường cong tích phân củaphương trình đã cho

Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ ''tích phânphương trình vi phân''

n1

Khóa luận tốt nghiệp

Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghiệm y  y  x của phương trình (1.2) xác định trênkhoảng a,b nào đó thỏa mãn điều kiện :

y0  y  x0 , y0  y x0 , , y (n1)  y (n1)  x0  (1.4)được gọi là bài toán Cauchy Điều kiện (1.4) gọi là điều kiện ban đầu

Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

Định lý 1.1 (Tồn tại và duy nhất nghiệm)

Cho phương trình vi phân cấp n dạng chính tắc:

yn 

f  x, y, y, y , , yn1 

Nếu vế phải của phương trình vi phân trên là một hàm liên tục của n 1

biến trong một miền nào đó của □ chứa điểm x , y , y , , y0 0 0 n1 0

và các đạo hàm riêng , , ,

y y ' y (n) liên tục thì tồn tại khoảng a,bchứa điểm

x0 để trên khoảng này tồn tại và duy nhất một hàm y  y  x

khả vi n lần trên khoảng và thỏa mãn điều kiện đầu (1.4).

 2

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1 Phép biến đổi Laplace thuận

2.1.1 Hàm gốc

Định nghĩa Hàm số biến số thực

thỏa mãn 3 điều kiện sau đây:

f t  được gọi là hàm gốc nếu

i  f t  liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực t.

ii f t   0 khi t  0.

iii f t  không tăng nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số

M  0 và   0 sao cho với mọi t ta đều có: f (t)  Met

Số 0 = inf    với tất cả các số  thỏa mãn iii

Điều kiện i  và ii rõ ràng được thỏa mãn

Đối với điều kiện iii ta có thể lấy

2

Khóa luận tốt nghiệp

Giải

Điều kiện i  và ii rõ ràng được thỏa mãn

Đối với điều kiện iii ta thấy rằng

e t  1  t  t2  t3 

Nên khi t  0 rõ ràng e t  t

2! 3!

hay t 2  2e t .2!

Từ đó suy ra với mọi t đều xảy ra đẳng thức: f (t)  t2(t)  2e t

có nghĩa là điều kiện iii được thỏa mãn với M  2;   1

Ví dụ 2.3 Hàm sau đây có phải là hàm gốc hay không

và ii rõ ràng được thỏa mãn Đối với điều kiện

Khi t  0 thì tồn tại tại M  0 và   0 sao cho

 2

2.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Cho hàm số gốc f t  ta gọi hàm số phức F  p của biến số phức

p    i được xác định bằng công thức sau đây:

giải tích trong miền đó

+) Còn có thể chứng minh được khi Re p  s   thì F( p)  0 .

Cho nên những hàm F  p nào đó không thỏa mãn điều kiện này sẽkhông phải là hàm ảnh của một hàm gốc nào cả, chẳng hạn ( p)  cos p

không phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả vì nếu lấy

phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả



Khóa luận tốt nghiệp

Biến đổi Laplace của  là:

Định lý 2.1 Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng là 0 Khi đó biến

đổi Laplace F của hàm giải tích f là hàm giải tích trong miền

Re p  0

n n

và bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào p trong miền

suy ra sự hội tụ đều trong miền đó

Theo định lý Weierstrass hàm f cũng giải tích trên miền Re p  0

2.1.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

 

p2   2 , Re p  Re  .

Tính chất 2.5 Tính chất hàm ảnh của hàm tuần hoàn

Nếu khi t  0 hàm gốc f t  là một hàm tuần hoàn chu kỳ T thì

hàm ảnh của nó được tính theo công thức sau:

Giả sử quy nạp đúng với

Khóa luận tốt nghiệp

Theo nguyên lý quy nạp, ta suy ra định lý được chứng minh

3

Ví dụ 2.11 Tìm nghiệm của phương trình y   2 y   y  4

thỏa mãn điều kiện y 0  1, y0  2, y 0  2

Khóa luận tốt nghiệp



F p   e  pt t  f t dt

0

Khóa luận tốt nghiệp

g xác định trên □ , triệt tiêu trên

 

Khóa luận tốt nghiệp

Nên theo định lí nhân Borel ta có

Định nghĩa Biến đổi Laplace ngược của hàm F  p là một hàm

f t  liên tục trên 0,  và thỏa mãn



L  f t   F  p   e  pt f t dt

0

Kí hiệu biến đổi Laplace ngược là L1[f (t)] f (t), t  0

Biến đổi Laplace ngược có ý nghĩa quan trọng trong thực hành và cũng có rất nhiều cách khác nhau để tìm chúng, ở đây ta xem xét tới cáchàm phân thức của 2 đa thức dạng



 p   

Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 2.2 Cho các hàm xác định liên tục trên 0,

Laplace ngược hoàn toàn xác định

F   f t , L G  p   g t  Điều này được suy ra từ

tính

chất tuyến tính của L và đẳng thức được xác định trong miền chung của

F và G

Khóa luận tốt nghiệp

 e t xi F  x  i d

2 

Khóa luận tốt nghiệp

Đổi biến p  x  i ta được

đổi Laplace của một hàm gốc nào đó Vấn đề đặt ra là F phải thỏa mãn

  

n!

Khóa luận tốt nghiệp

các điều kiện gì để có thể là biến đổi Laplace của một hàm gốc nào đó, ta

có định lý dưới đây mà phần chứng minh được bỏ qua

Định lý 2.5 Cho hàm F thỏa mãn các điều kiện sau:

i  F giải tích trong miền Re p  0 .

ii Khi p   trong miền Re p  0 thì hàm F phải tiến về 0

đều theo arg p   

,  

Định lý 2.6 Giả sử rằng thác triển giải tích của F lên nửa mặt

phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị Giả sử L f   F và p   là

điểm chính quy của F , nghĩa là có khai triển tại vô cực sau:

Vậy chuỗi (2.14) hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên đoạn N, N 

với N  0 tùy ý, hơn nữa tổng của chuỗi này hàm gốc.

Khóa luận tốt nghiệp

(2.15)

n0 p n0 n! N

cn1 n1

Ta khảo sát chuỗi thứ hai ở trên với Re p  R1  R0 , ta có

 e  pt t n dt   e R1t t n dt



c n1 n!  e R1t t n dt



c n1 n!  e u u n du

Khóa luận tốt nghiệp

n1 2n n!2 2n! n1 n!  2 

2.2.3 Tính không chỉnh của biến đổi Laplace ngược

Bài toán tìm hàm gốc của F có thể xem như bài toán giải phương

trình tích phân sau đây:



 e  pt f t dt  F  p0

sự nhiễu rất nhỏ của g có thể dẫn đến sự nhiễu lớn của f

đó A p, B  p thức

của p và bậc của A p nhỏ hơn bậc của B p

 



Khóa luận tốt nghiệp

Công thức tổng quát: Nếu F  p  A p

+ Phân tích F  p thành tổng của các phân thức đơn giản

+ Cộng các hàm gốc đó lại, ta sẽ được hàm gốc của hàm phân thức

số dương khá lớn, hàm ảnh F  p khai triển được thành chuỗi sau:

Chú ý Cách tìm hàm gốc này không đòi hỏi F  p là phân thức

hữu tỷ, cho nên cách này được áp dụng đối với trường hợp F  p  làphân thức hữu tỷ và cả trường hợp F  p là một hàm khác nhưng phảikhai triển được thành chuỗi dạng (2.21) tại lân cận điểm p  

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG VIỆC

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Khóa luận tốt nghiệp

0, a1, ,

a n

là các hằng số

Ta giả sử thêm rằng nghiệm của phương trình trên

Ay  1, y 0  y0   yn1 0 là y đã biết.

   

0  0

của bài toán

y t   t  sin t là nghiệm

3.2 Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số

Cho phương trình vi phân có dạng:

Bước 1 Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình đã cho thu

được phương trình Y  p với L  y t   Y  p, y t  là hàm cần tìm Sửdụng công thức đạo hàm của hàm gốc

Bước 2 Giải phương trình trình Y  p

Bước 3 Lấy biến đổi Laplace ngược tìm

y t   L1  y  p .

Ví dụ 3.2 Giải phương trình vi phân yt   2 y t   1

với điều kiện ban đầu y 0  4

Ví dụ 3.3 Giải phương trình vi phân y t   4 y t   9t

với điều kiện ban đầu y 0  0, y0  7

Khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 3.6 Giải phương trình vi phân y t   4 y t   sin 2t

với điều kiện ban đầu y 0  y0  0

Giải

L  y t   4 y t   Lsin 2t

 p2Y  p  py 0  y0  4Y  p  2

p2  4

 Y  p  2

 p2  42

 2 

Khóa luận tốt nghiệp

Dùng phương pháp phân tích đại số phân tích vế phải thành tổngcác phân thức đơn giản ta được:

2

 1 2  1

p2  4

 p2  42 8 p2  4 4  p2  42Tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có:

là nghiệm cần tìm.

 p 1

Ví dụ 3.8 Giải phương trình vi phân y4 t   y t   2cos t

với điều kiện đầu y 0  2, y0  1, y 0  y 0  0

thức đơn giản ta được

Khóa luận tốt nghiệp

 y t   L1 Y  p   t  t sin t  2 cos t

y t   t  t sin t  2cost là nghiệm cần tìm

Ví dụ 3.9 Giải phương trình vi phân y t   2 yt   2 y t   te t

với điều kiện ban đầu y 0  y0  0

Khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận tốt nghiệp

3.3 Nghiệm tổng quát

Nếu điều kiện đầu không được xác định cụ thể thì ta vẫn có thể sửdụng biến đổi Laplace để tìm nghiệm tổng quát của phương trình viphân

Ví dụ 3.11 Giải phương trình vi phân y '' y  e t

với điều kiện đầu tổng quát y 0  y0 , y0  y1

2

Khóa luận tốt nghiệp

1 t

trình là: y  c

0 cost  c1 sin t 

2 e

 

0 2

Khóa luận tốt nghiệp

3.4 Phương trình vi phân với hệ số hàm

Phép biến đổi Laplace còn có thể áp dụng để giải được phươngtrình vi phân tuyến tính hệ số hàm số là những đa thức

Xét phương trình vi phân tuyến tính sau:

tìm được hàm ảnh của các đạo hàm của y t  rồi sau đó do các

a i t , i  0, n là những đa thức nên áp dụng được tính chất đạo hàm ta

sẽ tìm được hàm ảnh của các số hạng ở vế phải phương trình (3.8) vềphương trình vi phân đối với hàm ảnh

phân cấp nhỏ hơn hoặc bằng n.

Y  p sẽ là một phương trình vi

Giải phương trình vi phân đối với Y  p sẽ tìm được Y  p sau đó

biến đổi Laplace ngược L1

Khóa luận tốt nghiệp

Biến đổi Laplace thuận hai vế của (3.9) ta được

 pY   2 pY  y 0  2 pY  2 y 0  0Hay Y   4 Y 

Như vậy biến đổi ngược (3.12) ta nhận được đẳng thức

xy   y 0 1  e  x   1  e x cos x  sin x

Suy ra y  y 01  e 1  e x



cos x  sin x là nghiệm riêng cần

Khóa luận tốt nghiệp

tìm

PHỤ LỤC Bảng đối chiếu gốc - ảnh

Khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận tốt nghiệp

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận tốt nghiệp "Phép biến

đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường".

Khóa luận đã giải quyết các vấn đề dưới đây:

1 Mục đích chính của khóa luận là sử dụng biến đổi Laplace đểgiải phương trình vi phân thường Tuy nhiên để thực hiện được điều đó,chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản về số phức, giải tích phức,hàm số biến số phức Hệ thống hóa một số kiến thức căn bản nhất vềphương trình vi phân thường

2 Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết biến đổi Laplace gồm:Khái niệm và các tính chất của phép biến đổi Laplace thuận, phépbiến đổi Laplace ngược và các định lý

3 Áp dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân thường gồm:Phương tình vi phân với hệ số hằng số, phương trình vi phân với hệ

số hàm, nghiệm tổng quát

Luận văn này có tính chất tổng quan nhưng qua đó em đã bắt đầulàm quen với phương pháp nghiên cứu đặc thù và làm rõ một số nhậnxét, ví dụ, và giải một số bài tập có hướng dẫn hoặc đáp số của tài liệu đãđược sử dụng trong khóa luận

Trong khi nghiên cứu và hoàn thành đề tài này do thời gian hạn chếnên luận văn có thể còn thiếu sót em rất mong nhận được sự góp ý củacác thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Khóa luận tốt nghiệp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân,

Phạm Hoàng Quân (2002), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục.

2 Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang

Trung (2000), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục.

3 Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng,

NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội

4 E.A Coddington (1989), An Introduction to Ordinary Differential

Equations, Dover Publications, New York.

5 P.B Guest (1999), Laplace Transfroms and an Introduction to

Distributions, Ellis Horwood.