Bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp 2m trên nửa trục

LèI CAM ĐOANTôi xin cam đoan : Khóa lu¾n ” Bài toán biên đoi vói phươ trình vi phân capng2m trên núa trnc ” là ket quá nghiên cúu cúa riêng tôi, có thamkháo ý kien cúa nhung ng òiư đi tr

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I

LèI CÃM ƠN

Trong quá trình thnc hi¾n khóa lu¾n, tôi đã nh¾n đ ocư sn

h óngư dan nhi¾t tình và chu đáo cúa thay giáo TS Tran Văn Bang

- Giáng viên to Giái tích cùng toàn the các thay cô giáo trongkhoa Toán, tr òngư Đai hoc Sư pham Hà N®i 2

Tác giá khóa lu¾n xin đ ocư bày tó lòng biet nơ sâu sac và gúilòi cám nơ trân trong nhat tói các thay cô, đ¾c bi¾t là TS TranVăn Bang, ng òiư đã giúp tôi hoàn thành khóa lu¾n này

Hà N®i, tháng 05 năm 2011

Tác giá

Tran Th% Khuyên

2

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan :

Khóa lu¾n ” Bài toán biên đoi vói phươ trình vi phân capng2m trên núa trnc ” là ket quá nghiên cúu cúa riêng tôi, có thamkháo ý kien cúa nhung ng òiư đi tr óc,ư tham kháo tài li¾u có liênquan, d óiư sn h óngư dan khoa hoc cúa TS Tran Văn Bang

Khóa lu¾n không sao chép tù m®t tài li¾u, m®t công trình nào san

Tác giá

Tran Th% Khuyên

Mnc lnc

Chương 1 Bài toán biên đoi véi PTVP thưèng trên nNa trnc 6

1.1 Bài toán biên và liên hep hình thNc cúa nó .6

1.1.1 Thiet l¾p bài toán 7

1.1.2 Công thúc Green và bài toán liên hop hình thúc 8

1.1.3 Nhung toán tú biên có cap cao h n ơ 11

1.2 Tính giái đưec cúa bài toán biên tr ên nNa trnc 12

1.2.1 Không gian Sobolev trên núa trnc 13

1.2.2 Tính chính quy cúa bài toán biên trên núa trnc 14

1.2.3 Các đ%nh nghĩa t ươ ng đ ươ ng cúa tính c hính quy 15

1.2.4 Tính giái đ oc ư cúa BT biên chính quy trên núa trnc KG gian Sobolev 18

1.2.5 Tính giái đ oc ư cúa bài toán liên hop hình thúc 21

Chương 2 BT chính quy trên nNa trnc trong KG Sobolev véi cap âm 24

2.1 BT chính quy trên nNa trnc trong KG Sobolev véi cap âm 24 2.1.1 Không gian Sobolev vói cap âm 25

2.1.2 Thác trien cúa toán tú A cúa bài BT biên lên các KG Sobolev cap tuỳ ý 27 2.1.3 Tính song ánh cúa toán tú A cúa bài toán biên 30

2.2 Tính c hat cúa toán tN liên hep A ∗ 34

2.2.1 Moi quan h¾ giua toán tú liên hop và toán tú liên hop hình thúc 35

2.2.2 Tính song ánh cúa toán tú liên hop 36

2.2.3 Tính chính quy cúa nghi¾m cúa bài toán liên hop 39

T ài li¾u tham kháo .42

Me ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Phươ trình đao hàm riêng là m®t b® môn toán hoc cơ bánngvùa mang tính chat lý thuyet cao vùa mang tính úng dnng r®ng.Rat nhieu ngành khoa hoc (ke cá xã h®i), công ngh¾ đeu phái súdnng nó Nó có m¾t và góp phan nâng cao tính hap dan lý thú,tính đay đú sâu sac, tính hi¾u quá giá tr% cúa nhieu ngành nhưtoi u,ư đieu khien toi u,ư trò ch iơ vi phân, giái tích so, tính toánkhoa hoc, ke cá các lý thuyet như lý thuyet kỳ d%, tai bien, renhánh, hon loan .Lí thuyet phươ trình vi phân và lí thuyetng

phươ trình đao hàm riêng có úng dnng rat quan trong và trongngnhieu nghành nên đ ocư rat nhieu nhà Toán hoc quan tâm nghiêncúu

Giái bài toán biên có nhieu phươ pháp, trong thnc tienng

th òngư dan đen bài toán biên, bài toán ban đau D óiư góc đ®m®t sinh viên ngành Toán và trong khuôn kho m®t bài khóa lu¾ntot nghi¾p, đòng thòi đ ocư sn h óngư dan nhi¾t tình cúa thay giáo

TS Tran Văn Bang tôi đã chon đe tài ” Bài toán biên đoi vóiphương trình vi phân cap 2m trên núa trnc” Trong lu¾nvăn này xét m®t lóp bài toán biên đ¾c bi¾t Đe nghiên cúu bàitoán biên này nghi¾m cúa nó đ ocư nghiên cúu trong không gianSobolev

2 Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu

- Nghiên cúu bài toán biên đoi vói phươ trình vi phân cap 2mngtrên núa trnc giúp hieu rõ h nơ ve tính chính quy và tính giái đươccúa bài toán biên trong không gian Sobolev cap nguyên tùy ý

3 Đoi tưeng và pham vi nghiên cNu

- Nghiên cúu tính chính quy và tính duy nhat nghi¾m cúa bài toán biên trong không gian Sobolev cap nguyên tùy ý

- Nghiên cúu các moi liên h¾ giua bài toán biên liên hop hình thúc

và bài toán liên hop(theo nghĩa giái tích hàm)

4 Phương pháp nghiên cNu

Nghiên cúu tài li¾u tham kháo

Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat

Hói ý kien chuyên gia

Chương 1

Bài toán biên đoi véi phương trình vi phân thưèng trên nNa trnc

Chươ này đe c¾p đen các bài toán biên cho phng ươ trình vingphân th òngư tuyen tính cap 2m vói h¾ so hang trên khoáng (0,

+∞) Chúng tôi đ aư ra các khái ni¾m ve tính chính quy và chúngminh rang nó là can và đú đe bài toán biên có duy nhat nghi¾mtrong không gian Sobolev cap nguyên tuỳ ý H nơ nua, chúng tôinghiên cúu các moi liên h¾ giua bài toán biên liên hop hình thúc

và bài toán liên hop(theo nghĩa cúa giái tích hàm)

1.1 Bài toán biên và liên hep hình thNc cúa nó

Trong phan đau cúa mnc này chúng tôi mô tá lóp các bài toánbiên trên R+ = (0, +∞) Theo nghĩa co đien trong bài toán biên

ta chí phái

tìm m®t an hàm trên núa trnc, còn ó đây ngoài an hàm u ta phái tìm thêm m®t vectơ u ∈ C J Chúng tôi trình bày m®t công thúc Green cho

nhung bài toán này Công thúc đó cho phép giói thi¾u bài toán liên hop hình thúc có cùng dang vói bài toán xuat phát

1.1.1 Thiet l¾p bài toán.

là m®t ma tr¾n hang cap (m + J) × J Trong đó µ k là nhung so

nguyên Chúng tôi cho phép µ k âm.Trong tr òngư hop này toán tú

B k đ ocư giá thiet là đong nhat bang 0 Chúng ta xét bài toán

L (D t )u(t) = f (t), t > 0 (1.1.2)

B (D t )u(t)| t=0 + Cu = g (1.1.3)

Trong đó B(D t ) là vectơ các toán tú B1(D t ), , B m +J (D t ), f là

m®t hàm đã cho trên R+, và g là m®t vectơ thu®c Cm +J Chúng

ta tìm m®t hàm u trên R+ và m®t vectơ u = (u1, , u J ) sao cho u

là m®t nghi¾m cúa phươ trình vi phân (1.1.2), và c¾p (u, u)ngthoá mãn đieu ki¾n biên (1.1.3), túc là

Chú ý 1.1.1 O đây và sau này, chúng tôi không chí rõ vectơ c®t và

hàng, chang han trong (1.1.3) u và g coi như là nhung vectơ c®t.

1.1.2 Công thNc Green và bài toán liên hep hình thNc.

Đe xác đ%nh bài toán liên hop hình thúc cúa bài toán (1.1.2),

(1.1.3), chúng tôi sú dnng m®t dang đieu chính cúa công thúcGreen co đien Đau tiên, chúng ta xét tr òngư hop µ k < 2m.

Đ%nh lý 1.1.1 Công thúc Green sau đây đưoc thoá mãn vói moi

hàm khá vi vô han u, v trên R+ có giá compact và vói vectơ u ∈

O đây P(D t ) là vectơ vói các thành phan

: 2m − j

P j (D t ) =

−i

∑

s= 0

a j +s D s , j = 1, , 2m, (1.1.7)

và Q ∗ ,C ∗ tương úng là các ma tr¾n liên hop cúa Q và C.

Chúng minh Goi L j là các toán tú vi phân sau đây:

t j+1

V¾y (1.1.9) thoá mãn vói j = j0 + 1 và do đó thoá mãn vói moi

so nguyên không âm j ≤ 2m Đ¾c bi¾t, khi j = 2m ta có:

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Giá sú có công thúc Green (1.1.6) Khi đó bài

Theo bieu dien cúa các phan tú q k, j cúa ma tr¾n Q, các đieu

ki¾n biên (1.1.6) cúa bài toán liên hop hình thúc có dang sau:

b k, j−1 v k = g j , j = 1, , 2m

10

1.1.3 NhÑng toán tN biên có cap cao hơn

Bây giò chúng ta xét bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) không có sn han che µ k < 2m ve cap cúa các toán tú vi phân B k Goi γ là m®t

so nguyên sao cho

Do đó, chúng ta có công thúc Green vói moi hàm khá vi vô han u, v trên R, u ∈ C J , v ∈ C m +J , ω ∈ C γ−2m :

(1.1.22) đ ocư goi là liên hop hình thúc cúa bài toán (1.1.2),

(1.1.3) theo công thúc Green (1.1.20) Trong tr òngư hop γ = 2m

bài toán này trùng vói

bài toán(1.1.15), (1.1.16).

L uư ý rang các đieu ki¾n biên (1.1.22) cúa bài toán liên hop

hình thúc chí chúa các đao hàm đen cap 2m − 1.

1.2 Tính giái đưec cúa bài toán biên trên nNa trnc

Mnc đích cúa mnc này là chúng minh rang tính chính quy cúa

bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là can và đú đe nó có duy nhat nghi¾m trong tích Descartes cúa không gian Sobolev W l (R+) vói

t¾p hop C J Chúng tôi cung cap m®t so đ%nh nghĩa tương

đươ cúa tính chính quy và chúng minh rang moi bài toán biênng

và liên hop hình thúc cúa nó là đong thòi chính quy

1.2.1 Không gian Sobolev trên nNa trnc

Cho C∞(R+),C∞(R+) là t¾p hop tat cá các hàm khá vi vô han trên

Tươ tn vói Wng 2 (R+), ta có đ%nh nghĩa cúa không gian W2

(R) L uư ý rang moi hàm u ∈ W l (R+) đeu có the thác trien liên

trong đó χ là m®t hàm tr nơ tuỳ ý có giá compact ,bang m®t

trong khoáng (−1, +1), là m®t thác trien cúa u Thác trien này

Vói c là m®t hang so đ®c l¾p vói u M®t chuan tươ đng ươ ngtrong

2 (R) vói l là so nguyên tuỳ ý là :

6 đây F t→τ là bien đoi

1.2.2 Tính chính quy cúa bài toán biên trên nNa trnc

Chúng tôi muon nghiên cúu tính giái đ ocư cúa bài toán biên (1.1.2),

(1.1.3) trong không gian W l (R+) × C J 6 đây, khái ni¾m tính chính

quy cúa bài toán biên đóng m®t vai trò quan trong Đe đ aư ra khái

ni¾m này, ta kí hi¾u M + là t¾p tat cá các nghi¾m on đ%nh cúa

trong núa m¾t phang trên Imτ > 0 và r j là b®i cúa τ j Không

gian M + cũng có the đ ocư mô tá là t¾p hop tat cá các nghi¾mcúa phươ trình L(Dng t )u(t) = 0 thu®c không gian Sobolev W l

(ii) H¾ thong các đieu ki¾n biên thuan nhat (1.1.3)

B (D t )u(t)| t=0 + Cu = 0

2

2

chí có nghi¾m tam th òngư (u, u) = 0 trong M + × C J .

Chú ý 1.2.1 Nói riêng, tù đieu ki¾n (ii) ta suy ra phương trình Cu =

0 chí có nghi¾m tam thưòng ho¾c tương đương, cap cúa ma tr¾n

C bang J.

1.2.3 Các đ%nh nghĩa tương đương cúa tính chính quy

Bo đe 1.2.1 Giá sú có đieu ki¾n (i) Kí hi¾u τ1 , , τ µ là các không điem cúa L(τ) nam trong núa m¾t phang trên Imτ > 0 và r1, , r µ tương úng là b®i cúa chúng Khi đó các khang đ%nh sau là tương đương:

1, Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy.

2, Vói moi g ∈ C m +J có đúng m®t hàm u ∈ M + và m®t vectơ

u ∈ C J thoá mãn đieu ki¾n biên (1.1.3).

m +J

∑

k=1

β k.B k (τ), c k,1 , , c k,J = P(τ).L+(τ), 0, , 0.

Vói m®t đa thúc P nào đó thì β1 = = β m +J = 0.

Chúng minh Tù (i) ta suy ra τ1 + + τ µ = m T¾p M + baogom tat cá các hàm có dang :

τ =τ j + Cu = g (1.2.4)

j =1 s=0

L uư ý rang các h¾ so cúa đa thúc L+ phn thu®c m®t cách giái

vói η > 0, a = (a1, , a J+1), b = (b1, , b J+1) ∈ C J+1 là chính quy

chia het cho L+(τ) Do (1.2.9) là m®t đa thúc b¾c ≤ m − 1 cúa

q (τ), nên ta có the viet bieu thúc đó thành tích cúa ít nhat m − 1 nhân tú có dang q(τ) − c Do đó đa thúc (1.2.9) ho¾c bang không ho¾c ton tai m®t hang so c sao cho q(τ) − c là ócư cúa m®t

tích (τ − τ j )(τ − τ k)

Khá năng thú hai mâu thuan vói giá đ%nh ve q Do đó, chúng ta

nh¾n đ ocư β1 = = β m +J = 0 Chúng tó bài toán biên nàychính quy.□

Trong tr òngư hop đ¾c bi¾t p(τ) = 1, q(τ) = τ, p k (τ) = τ k−1, chúng

ta nh¾n đ ocư tính chính quy cúa các đieu ki¾n biên Dirichlet

t u (t)| t=0 = g k , k = 1, , m cho toán tú L(D t )

1.2.4 Tính giái đưec cúa bài toán biên chính quy trên nNa trnc

trong không gian Sobolev.

Cho l là so nguyên tuỳ ý , l ≥ 2m, l ≥ maxµ k + 1 Rõ ràng toán tú

(u, u) → ( f , g) cúa bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) xác đinh m®t

ánh xa

tuyen tính liên tnc

A : W l (R+) × C J → W l−2m(R+) × C m +J (1.2.10)

Neu bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy, thì toán tú (1.2.10)

là m®t đ nơ ánh Chúng tôi chúng minh rang toán tú A cúa bài

toán biên chính quy là m®t đang cau

Đ%nh lý 1.2.1 Các khang đ%nh sau đây là tương

đương: 1, Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy.

2, Cho moi f ∈ W l−2m(R+), g ∈ C m +J , l ≥ max(2m, µ1

(1.1.2), (1.1.3) Nói cách khác toán tú (1.2.10) là m®t đang cau.

Chúng minh Đau tiên chúng ta chúng minh 1) ⇒ 2).Cho f là

m®t

hàm tuỳ ý thu®c W l−2m(R+) và goi f1 ∈ W l−2m(R) là m®t tháctrien

cúa f lên toàn b® trnc t Khi đó

Do đó (u, u) vói u = v+ω là m®t nghi¾m cúa bài toán biên (1.1.2),

(1.1.3) Tính duy nhat nghi¾m đ ocư suy ra tù Đ%nh nghĩa (1.1.1)

Bây giò chúng ta chúng minh 2) ⇒ 1) Chúng ta bat đau vói đieu

ki¾n (i) cúa tính chính quy Tù 2), ta suy ra

thnc dươ nhó h nng ơ 1 Ta chúng minh rang:

vói hang so dươ cng 1, c2 chí phn thu®c vào l, τ0 và ζ Rõ ràng:

vói h¾ so c j chí phn thu®c vào τ0 và các h¾ so cúa toán tú vi phân

L Tù bieu dien này suy ra chuan cúa Lu ε trong W l−2m(R+) có c¾n trên

đ®c l¾p vói ε Đieu này mâu thuan vói (1.2.11) và (1.2.12) Do đó

đa thúc L(τ) không có không điem thnc.

H nơ nua, tù 2) ta có bài toán:

Lu = 0 trên R+

Bu| t=0 + Cu = g

Có m®t nghi¾m duy nhat trong W l (R+) × C J vói moi g ∈ C m +J

Do t¾p nghi¾m cúa phươ trình Lu = 0 trong Wng l (R+) trùng vói

đai so tuyen tính (1.2.4).H¾ này chí có nghi¾m duy nhat khi so

an bang so phươ trình, túc là khi rng 1 + + r µ = m Do đó

đieu ki¾n (i) trong Đ%nh

nghĩa (1.2.1) thoá mãn Đieu ki¾n (ii) rõ ràng cũng thoá mãn □

20

Bo đe 1.2.2 Giá sú bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy Khi

đó vói moi u ∈ W l (R+), l ≥ 2m, l ≥ maxµ k + 1, u ∈ C J bat

Chúng minh Đánh giá (1.2.14) đ ocư suy ra tù đ%nh lí (1.2.1)

và tù đ%nh lí đo th% đóng Giá sú các hi¾u giua các h¾ so cúa

toán tú A và các h¾ so t ươ úng cúa toán tú A ng r nhó h nơ ε Khi

đúng vói moi u ∈ W l (R+), u ∈ C J 6 đây hang so c1 chí phn

thu®c vào l, m, µ k và J Giá sú c là hang so cúa toán tú A và c r là

hang so tot nhat cúa toán tú A r Tù (1.2.15), chúng ta nh¾n

V¾y bo đe đ ocư chúng minh □

1.2.5 Tính giái đưec cúa bài toán liên hep hình thNc

Như đã thay, tính chính quy cúa bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là can và đú đe bài toán đó có nghi¾m duy nhat trong W l (R+) ×

CJ Chúng

34

2

tôi se chúng minh tính rang tính chính quy cũng là can và đú đe

bài toán liên hop hình thúc có nghi¾m duy nhat

Đ%nh lý 1.2.2 Bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) là chính quy neu và

chí neu bài toán liên hop hình thúc (1.1.21), (1.1.22) theo công

thúc Green (1.1.20) là chính quy Đ¾c bi¾t trong trưòng hop maxµ k

< 2m các bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) và (1.1.15), (1.1.16) đong

thòi chính quy.

Chúng minh Vì L+(τ) = L(τ), nên đieu ki¾n (i) trong Đ%nh

nghĩa (1.2.1) đ ocư thoá mãn đông thòi bói L và L+ T se chúng

minh rang neu (ii) đúng đoi vói bài toán biên (1.1.2), (1.1.3) thì cũng

đúng đoi vói

bài toán liên hop hình thúc (1.1.21), (1.1.22) Giá sú (v, ω , v) ∈ M +

×

Cγ−2m ×C m +J là m®t nghi¾m cúa bài toán thuan nhat (1.1.21), (1.1.22).

Khi đó công thúc Green cho ta

Cm +J

Vói moi u ∈ W γ (R+), u ∈ C J Theo Bo đe (1.2.1), ton tai m®t

hàm u ∈ M + và m®t vectơ u ∈ C J sao cho B(D t )u| t=0 + Cu =

v Do đó (1.2.16) kéo theo v = 0 Do γ − 2m thành phan cuoi

cùng cúa vectơ P (γ) bang không và γ − 2m hàng cuoi cùng cúa ma

tr¾n .R (γ).∗ l¾p thành m®t ma tr¾n tam giác vói các so a 2m ƒ=

0 trong đ òngư chéo, nên

tù phươ trình:ng

P (γ) v| t=0 + .R (γ).∗ ω + .Q (γ).∗ v = 0

ta có ω = 0 H nơ nua, theo Đ%nh lí (1.2.1), chúng ta có the chon

hàm u và vectơ u trong (1.2.16) sao cho L(D t )u(t) = v khi t > 0

và

¸

v

2