Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị

Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính trong lân c¾n cúa điem kỳ d%" đưoc hoàn thành theo sn nh¾n thúc van đe cna riêng tác giá, k

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LÊ TH± HUYEN MY

NGHIfiCHUOI CÚA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYEN TÍNH TRONG LÂN

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC

Chuyên ngành: Toán Giái tích

Hà N®i-2011

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LÊ TH± HUYEN MY

NGHIfiCHUOI CÚA PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUYEN TÍNH TRONG LÂN C¾N CÚA ĐIEM KỲ D±

Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Nguyen Văn Hào

Hà N®i-2011

Lài cám ơn

Em xin chân thành cám ơn các thay giáo, cô giáo và các ban sinh viênkhoa Toán Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã đ®ng viên, giúp đõ đe

em có đieu ki¾n tot nhat trong suot quá trình thnc hi¾n khóa lu¾n tot

nghi¾p Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình chí báo, giúp đõ em

hoàn thành tot khóa lu¾n này

Do thòi gian và kien thúc có han nên khóa lu¾n không tránh khói nhunghan che và còn có thieu sót nhat đ%nh Em xin chân thành cám ơn vàtiep thu nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các bansinh viên

Hà N®i, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Lê Th% Huyen My

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa

lu¾n tot nghi¾p đai hoc "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính trong lân c¾n cúa điem kỳ d%" đưoc hoàn thành theo

sn nh¾n thúc van đe cna riêng tác giá, không trùng vói bat kỳ khóa lu¾nnào khác

Trong quá trình nghiên cúu và thnc hi¾n khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhungthành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn!

Hà N®i, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Lê Th% Huyen My

Mnc lnc

Má

đau 3

Chương 1 M®t so kien th Nc c huan b% 6

1.1 Đai cương v e phương trình vi phân 6

1.1.1 M®t so khái ni¾m 6

1.1.2 Bài toán Cauc h y 7

1.1.3 V an đe ton tai v à duy nhat nghi¾m cna phương trình vi phân 7

1.2 Phương trình vi phân tuy en tính cap n 8

1.2.1 M®t so khái ni¾m 8

1.2.2 Sn phu th u® c tuy en tính v à đ®c l¾p tuy e n tính cna các hàm 8

1.2.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuy en tính 10

1.3 Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 11 1.3.1 Nghi¾m riêng cna phương trình vi phân tuy en tính thuan nhat h¾ so hang so 11 1.3.2 Cau trúc h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình vi phân tuy en tính thuan nhat h¾ so hang so 12

1.3.3 Phương pháp giái phương trình vi phân tuy en tính thuan nhat h¾ so hang so 13 1.4 Nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat h¾ so hang so 13

1.4.1 Dang thú nhat 14

1.4.2 Dang thú hai 15

1.4.3 Dang thú ba 16

1.5 Chuoi lũy thùa 17

1.5.1 Sn h®i tu v à bán kính h®i tu cna c h uoi lũy thùa 17

1.5.2 M®t so tính chat cna tong cna ch uoi lũy thùa 20

Chương 2 Điem kỳ d% và ph ương trình Euler 22

2.1 Điem thưòng và điem kỳ d% cna phương trình vi phân 23

2.1.1 M®t so khái ni¾m 23

2.1.2 Phân loai điem kỳ d% 24

2.2 Phương trình Euler 26

2.2.1 Phương trình chí so có hai nghi¾m thnc phân bi¾t 27

5

2.2.2 Phương trình chí so có hai nghi¾m thnc bang nhau 28

2.2.3 Phương trình chí so có c¾p nghi¾m phúc liên hop 29

2.2.4 Đ%nh lý 31

Chương 3 Nghi ¾ m c huoi cúa ph ương trình vi phân tuyen tính trong lân c¾n cúa điem kỳ d% 33

3.1 Ý tưóng cna phương pháp tìm nghi¾m c h uoi 33

3.2 Phương pháp tìm nghi¾m c h uoi cna ph ương trình vi phân trong lân

c¾n cna m®t điem kỳ d% c hính quy 40

3.2.1 Các nghi¾ m bang nhau 45

3.2.2 Các nghi¾ m sai khác nhau m®t so nguy ên 46

3.2.3 Đ%nh lý 47

3.3 Phương trình Bessel 49

3.3.1 Phương trình Bessel cap 0 49

3.3.2 Phương trình Bessel cap 1/2 53

3.3.3 Phương trình Bessel cap 1 56

Ket lu¾n 60

T ài li¾u tham kháo 61

6

Má đau

1 Lý do chon đe tài

Như ta đã biet vi¾c tìm nghi¾m tong quát cna phương trình vi phântuyen tính đưoc dna trên cơ só xác đ%nh m®t h¾ nghi¾m cơ bán cnaphương trình vi phân thuan nhat cùng vói vi¾c tìm m®t nghi¾m riêngcna phương trình đó Nghi¾m tong quát cna phương trình này là tongnghi¾m riêng cna phương trình vói nghi¾m tong quát cna phương trình

vi phân tuyen tính thuan nhat tương úng Nhưng cho đen nay, ngưòi tacũng chí đưa ra đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tongquát cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đoi vóiphương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so không phái là hang so, vi¾ctìm nghi¾m ó dang to hop cna các hàm so sơ cap cna m®t so phươngtrình vi phân khá khó khăn (neu không muon nói là không the) Đieunày cũng xáy ra ngay cá khi phương trình vi phân có dang rat đơn gián.Chang han, như phương trình dưói đây

sao cho nó nghi¾m đúng phương trình vi phân đã cho Sau khiđong nhat các h¾ so trong h¾ thúc nh¾n đưoc, ta thu đưocnghi¾m cna phương trình đã cho.

Tuy nhiên, cơ só cna phương pháp này như đã nói ó trên chí cógiá tr% khi chuoi lũy thùa úng vói các h¾ so tìm đưoc phái làchuoi h®i tu Như ta đã biet, chuoi lũy thùa có nhieu tính chatđep đe, đieu đó cho phép ngưòi ta có the thnc hi¾n nhieu quátrình tính toán thu¾n loi Dĩ nhiên, mien h®i tu cna chuoi lũythùa thu đưoc là m®t t¾p hop khác rong và neu chuoi

lũy thùa có bán kính h®i tu R thì trong khoáng h®i tu cna chuoi

(−R, R),

ta có the lay đao hàm và tích phân tùng so hang cna chuoi.Chuoi mói nh¾n đưoc (sau khi lay đao hàm ho¾c tích phân)cũng có bán kính h®i tu như chuoi ban đau Đieu đó dan tói

ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân dưói dang chuoilũy thùa Vì v¾y đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan,

em chon đe tài "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính trong lân c¾n cúa điem kỳ d%" đe

hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c đào tao cú nhân Toánhoc

Đe có the giái quyet đưoc van đe đ¾t ra, chúng tôi bo cuckhóa lu¾n thành ba chương

Chương 1 Trong chương này, chúng tôi đưa ra m®t so

kien thúc chuan b% can thiet cho muc đích cna khóa lu¾n Đó

là m®t so van đe cơ bán ve phương trình vi phân; Phươngtrình vi phân tuyen tính; Phương trình vi phân tuyen tính

chúng tôi đưa ra cách tìm nghi¾m cna phương trình Euler - m®t ví duđien hình cna phương trình vi phân có m®t điem kỳ d% chính quy.

Chương 3 Đây là phan chính cna khóa lu¾n, chúng tôi trình bày

ve phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tínhtrong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy, cũng đưa ra m®t ví du minh hoađien hình cho phương pháp này là phương trình Bessel - bài toán cna v¾tlý

2.Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu

Trình bày phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phântuyen tính trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu m®t phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình viphân tuyen tính Tuy nhiên, do khuôn kho yêu cau đoi vói m®t khóalu¾n tot nghi¾p b¾c cú nhân Toán hoc, nên chúng tôi chí trình bày van

đe này trong pham vi tìm nghi¾m chuoi trong lân c¾n cna điem kỳ d%chính quy Vi¾c nghiên cúu nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tainhung điem kỳ d% không chính quy khá phúc tap nên chúng tôi xin dànhlai cho nhung nghiên cúu ve sau

4 Phương pháp nghiên cNu

Tra mang, tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop và xin ý kien đ%nhhưóng cna ngưòi hưóng dan

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

1.1 Đai cương ve phương trình vi phân

1.1.1 M®t so khái ni¾m

Phương trình vi phân là m®t phương trình chúa hàm can tìm và cácđao hàm cna nó Neu hàm can tìm chí phu thu®c m®t bien đ®c l¾p, thìphương trình đó goi là phương trình vi phân thưòng Neu hàm can tìmphu thu®c hai ho¾c nhieu bien đ®c l¾p thì phương trình đó goi là phươngtrình vi phân đao hàm riêng

Trong khóa lu¾n này, chúng tôi chí xét phương trình vi phân thưòng.Như v¾y phương trình vi phân thưòng có dang tong quát

trong đó F là hàm xác đ%nh trong m®t mien nào đó cna không gian R n+2

gom bien đ®c l¾p x và y là hàm cna bien đ®c l¾p cùng các đao hàm cap

m®t đen cap n cna nó Cap cna m®t phương trình vi phân thưòng đưoc

xác đ%nh bói cap cao nhat cna đao hàm xuat hi¾n trong phương trình.Nghi¾m cna phương trình (1.1) là hàm y = y(x) khá vi n lan trên khoáng

(a, b) nào đó thóa mãn phương trình đã cho, túc là

vói moi x thu®c (a, b) Đo th% cna hàm y = y(x), x ∈ (a, b) đưoc goi

là đưòng cong tích phân cna phương trình Khi giái phương trình viphân

ta cũng dùng thu¾t ngu "Tích phân phương trình vi phân" vì lí do này.Neu tù phương trình (1.1) ta tìm đưoc bieu dien cna đao hàm cap caonhat y (n) qua các bien còn lai thì ta nói phương trình giái ra đưoc đoi

vói y (n) ho¾c ta còn goi là phương trình dang chính tac, túc là phương

trình

(1.1) có dang y (n) = f .x, y, y r , , y (n−1) . (1.2)

1.1.2 Bài toán Cauchy

Bài toán tìm nghi¾m y = y(x) vói bien đ®c l¾p

x thu®c khoáng (a, b)

nào đó, cna phương trình (1.2) thóa mãn đieu ki¾n

(1.3)

đưoc goi là bài toán Cauchy Đieu ki¾n (1.3) đưoc

goi là đieu ki¾n đau

cna bài toán Cauchy

1.1.3 Van đe ton tai và duy nhat nghi¾m

cúa phương trình vi phân

é đây, chúng tôi chí giói thi¾u ve van đe tontai và duy nhat nghi¾m cna phương trình vi phân.Vi¾c chúng minh đ%nh lý này, chúng ta có thetham kháo trong [2]

Đ%nh lý 1 (Ton tai duy nhat nghi¾m) Cho

phương trình vi phân cap n dang chính tac

y (n) = f .x, y, y r , , y (n−1) Neu ve phái cúa phương trình trên là m®t hàm liên

tnc cúa n + 1 bien

y0, y r , , y (n−1) và các

đao hàm riêng

o

o

trên khoáng này ton tai

1.2 Phương trình vi phân tuyen tính cap n

Tù đ%nh lý ton tai duy nhat nghi¾m, ta suy ra phương trình vi phân

tuyen tính cap n luôn ton tai m®t nghi¾m duy nhat thóa mãn đieu ki¾n

đau (1.3) Ve phái cna (1.4) thưòng đưoc ký hi¾u là L n [y] và goi là toán

tú vi phân tuyen tính cap n Khi đó phương trình (1.4) đưoc viet dưóidang

L n [y] = f (x).

Phương trình L n [y] = 0 goi là phương trình vi phân tuyen tính thuan

nhat tương úng cna phương trình L n [y] = f (x) Trong trưòng hop

p i (x), i =

0, , n − 1, là các hang so thì phương trình (1.4) đưoc goi là phươngtrình

vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so

Đe xây dnng nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tínhchúng ta can đen m®t so khái ni¾m và ket quá liên quan đen hàm so dưóiđây

1.2.2 SN phn thu®c tuyen tính và đ®c l¾p tuyen tính cúa các

hàm

Các hàm y1(x), y2(x), , y m (x) xác đ%nh trên khoáng (a, b) đưoc goi

là phn thu®c tuyen tính trên khoáng đó neu ton tai các hang so c1, c2,

−

k=1

vói moi x ∈ (a, b) Các hàm so đó đưoc goi là đ®c l¾p tuyen tính trên

khoáng (a, b) neu nó không phu thu®c tuyen tính, túc là h¾ thúc (1.5)

ChNng minh Vì các hàm y1, y2, , y m phu thu®c tuyen tính nên ton tai các hang so λ1, λ2, , λ m không đong thòi bang không đe

vói moi x ∈ (a, b) Vì h¾ thuan nhat này có nghi¾m không tam thưòng

Bo đe 2 Cho các hàm y1, y2, ., y m xác đ%nh trên khoáng (a, b) là

nghi¾m

b) ChNng minh Theo bo đe 1, neu ton tai x ∈ (a, b) đe W (x)

y1, y2, , y m đ®c l¾p tuyen tính, bat lu¾n các hàm này có là nghi¾mcna phương trình L n [y] = 0 hay không.

Ngưoc lai, giá sú các hàm y1, y2, , y m đ®c l¾p tuyen tính nhưng tontai

nghi¾m cna phương trình L n [y] = 0 Theo h¾ trên thì nghi¾m này thóa

mãn đieu ki¾n đau (1.3) Hien nhiên y = 0 cũng thóa mãn đieu ki¾n này

nên theo đ%nh lý 1 m

y = λ k y k (x) = 0

k=1

trên khoáng (a, b) Đieu này mâu thuan vói tính đ®c l¾p tuyen tính cna

1.2.3 Cau trúc nghi¾m cúa phương trình vi phân tuyen tính Đ

%nh nghĩa H¾ gom n nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna phương

trình

L n [y] = 0 goi là h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình đó.

Như chúng ta đã nghiên cúu trong các giáo trình b¾c đai hoc, các ketquá dưói đây cho phép ta xây dnng đưoc nghi¾m tong quát cna phươngtrình phân tuyen tính

Đ%nh lý 2 Neu y1, y2, ., y m là các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cúa

quát cúa phương trình có dang

m

0

y = c k y k (x), (1.6)

k=1

trong đó c1, c2, , c m là các hang so tùy ý.

Đ%nh lý 3 Giá

tuyen

y = 0, (1.8)

trong đó p0, p1, , p n−1 là các hang so thnc Ta tìm nghi¾m riêngcna

phương trình (1.8) dưói dang y = e λx, trong đó hang so λ đưoc xác đ

%nh sao cho y là nghi¾m cna phương trình đó Các đao hàm cna

nghi¾m trên đưoc tính toán đơn gián là

Đieu đó cho thay, neu λ là m®t nghi¾m cna phương trình (1.9) thì y = e λx

là m®t nghi¾m cna phương trình (1.8) Phương trình (1.9) đưoc goi là

−

−

phương trình đ¾c trưng cna phương trình (1.8) Đa thúc P n (λ) goi là đa

1.3.2 Cau trúc h¾ nghi¾m cơ bán cúa phương trình vi phân

tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so

Như v¾y, h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình (1.8) đưoc xây dnngtrên cơ só các nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng Đe xây dnng đưoc h¾nghi¾m cơ bán cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so, tacan m®t so bo đe sau trong vi¾c xú lý các nghi¾m cna phương trình đ¾ctrưng Chúng minh chi tiet các bo đe này ta có the tham kháo trong [3]

Bo đe 3 Neu λ1, λ2, , λ m là các nghi¾m khác nhau cúa phương trình đ¾c trưng (1.9), thì

e αx sin βx, xe αx sin βx, , x m−1 e αx sin βx

là 2m nghi¾m riêng đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình vi phân

1.3.3 Phương pháp giái phương trình vi phân tuyen tính thuan

nhat h¾ so hang so

Tù "đ%nh lý cơ bán cna đai so", đa thúc đ¾c trưng P n (λ) có đúng

n nghi¾m ke cá nghi¾m b®i Do đó, tù các bo đe trên cho phép ta xây

dnng đưoc đúng n nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna phương trình (1.8)

Tù đó, ta nh¾n đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình đã cho

Ví dn 1 Giái phương trình

Phương trình trên đây có phương trình đ¾c trưng là

Các nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng là λ = 0 (b®i 2), λ = 2

(nghi¾m đơn) và c¾p nghi¾m phúc đơn liên hop λ = −1 ± 2i Do đó,

trong đó c i , i = 1, 5 là các hang so.

1.4 Nghi¾m tong quát cúa phương trình vi phân tuyen

tính không thuan nhat h¾ so hang so

Trong phan này chúng ta xét các phương trình có dang

Đe nh¾n đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình (1.10), ta lay m®t

nghi¾m riêng cna phương trình không thuan nhat c®ng vói nghi¾m tongquát cna phương trình thuan nhat tương úng Van đe này đã đưoc trìnhbày trong phan cau trúc nghi¾m tong quát cna nó Tuy nhiên vi¾c tìmm®t nghi¾m riêng cna phương trình này cũng không han đơn gián Dưóiđây, chúng tôi đưa ra m®t so trưòng hop cna f (x) mà ta có the tìm

đưoc nghi¾m riêng cna phương trình này m®t cách đơn gián

1.4.1 Dang thN nhat

Ve phái cna phương trình (1.10) có dang f (x) = e αx P k (x) trong

đó

P k (x) là m®t đa thúc b¾c k cna x Ta phân bi¾t hai trưòng hop sau

+ Neu α không là nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng, thì ta có the

tìm nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang

+ Neu α làm nghi¾m b®i m cna phương trình đ¾c trưng, thì ta có

the tìm nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang

trong đó Q k (x) là đa thúc b¾c k cna x.

Ví dn 2 Giái phương trình

Phương trình đ¾c trưng cna phương trình này là λ2 + 3λ − 4 = 0 và

nó có hai nghi¾m phân bi¾t λ1 = 1, λ2 = −4 Do đó y1 = e x và y2

= e −4x

là h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình tuyen tính thuan nhat tương úng

Ve phái cna phương trình tuyen tính thuan nhat có dang e αx P1(x) vói

trình đ¾c trưng, nên ta tìm nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang

Khi đó y˜ r (x) = A, y˜ rr (x) = 0.

Thay vào phương trình đã cho, ta đưoc h¾ thúc 3A − 4(Ax + B) = x.

Đong nhat các h¾ so cna lũy thùa cùng b¾c cna x ta

Ve phái cna phương trình (1.10) có dang f (x) = e αx

[P (x) cos βx + Q(x) sin βx], trong đó P (x), Q(x)

là nhung đa thúc và α, β là các hang so Ta cũng

xét hai khá năng+ Neu α + iβ không là nghi¾m cna

phương trình đ¾c trưng, thì ta tìm nghi¾m riêng

y˜(x) cna phương trình dưói dang

[R(x) cos βx + S(x) sin

βx] ;

ương trình đ¾c trưng, thì ta tìm nghi¾m riêng

y˜(x) cna phương trình dưói dang

[R(x) cos βx + S(x) sin

Phương trình đ¾c trưng cna phương trình đã cho là λ2 + λ − 2 = 0 và

nó có hai nghi¾m phân bi¾t λ1 = 1, λ2 = −2 Do đó y1 = e x và y2

y˜ r (x) = e x [(A + B) cos x + (B − A) sin x] , y˜ rr (x) = e x (2B cos x − 2A

sin x).

Thay vào phương trình đã cho ta đưoc

e x [(−A + 3B) cos x − (3A + B) sin x] = e x (cos x − 7 sin x).

Đong nhat các h¾ so cna cos x và sin x ta đưoc A = 2, B = 1 Do đó, m®t

nghi¾m riêng cna phương trình là

tong quát là y˜(x) = e x (2 cos x + sin x), và

đây Trưóc het, ta tìm nghi¾m riêng y˜ k cna tùng phương trình L n [y]

=

f k (x); k = 1, 2, m Khi đó nghi¾m riêng cna phương trình L n [y] = f (x)

là

y˜(x) = y˜1(x) + y˜2(x) + · · · + y˜ m (x).

cos 2x Đây là

phương2

trình có dang thú hai, nên ta tìm đưoc nghi¾m riêng cna phương trình

có dang thú nhat, nên ta đưoc nghi¾m riêng cna phương trình này là

vói c1, c2 là các hang so

1.5 Chuoi lũy thNa

1

x cos 2x

+10

sin 2x +

1.5.1 SN h®i tn và bán kính h®i tn cúa chuoi lũy thNa

Chuoi lũy thùa là chuoi có dang

∞

a0 + a1 (x − x0) + · · · + a n (x − x0)n + · · · = a n (x −

n=0

trong đó x0, a0, a1, a2, là nhung so thnc Bang phép đoi bien x − x0

= t, ta có the chuyen chuoi trên ve dang

∞

−

−

a0 + a1x + · · · + a n x n + · · · = a n x n (1.12)

n=0

Đieu đó, cho phép ta chí can nghiên cúu chuoi (1.12) Hien nhiên, chuoinày h®i tu ít nhat tai điem x = 0 Tuy nhiên, mien h®i tu cna chuoi

lũy thùa có tính chat khá hay Đieu đó trưóc het đưoc khang đ%nh qua đ

%nh lý dưói đây

Đ%nh lý 4 (Đ%nh lý Abel) Neu chuoi (1.12) h®i tn tai điem x0 ƒ= 0,

ChNng minh Bói vì chuoi so a n x n h®i tu, nên

Chuoi lũy thùa (1.12) luôn có điem h®i tu x = 0, nên R ton tai.

Đ%nh nghĩa So R đưoc goi là bán kính cna chuoi (1.12) neu vói moi x

0

0

mà |x| < R thì chuoi h®i tu, |x| > R thì chuoi phân kỳ.

Đe tìm bán kính h®i tu cna chuoi lũy thùa, ta dna vào đ%nh lý sau

Đ%nh lý 5 (Công thúc Cauchy-Hadamard) Cho chuoi lũy thùa (1.12).

ChNng minh Neu lim

>

a n+1x n+1

, thì ρ

lim = lim

ρ = 1, nên chuoi h®i tu vói moi x, túc là R = +∞.

Ví dn 5 Xét sn h®i tu cna chuoi

x n

n!

Đieu đó chúng tó rang R = +∞ và chuoi h®i tu tai moi x ∈ R.

Ví dn 6 Xét sn h®i tu cna chuoi

nên bán kính h®i tu cna chuoi đã cho là R = 2 Theo đ%nh lý Abel,

chuoi h®i tu neu |x + 1| < 2 hay −3 < x < 1 Tai x = 1, chuoi tró

1.5.2 M®t so tính chat cúa tong cúa chuoi lũy thNa

Đ%nh lý 6 (Tính liên tuc) Giá sú chuoi lũy thùa (1.12) có bán kính h®i

tnc

ChNng minh Lay x0 bat kỳ thu®c khoáng (−R, R) Khi đó, ton tai

m®t so r > 0 sao cho x0 ∈ [−r, r] ⊂ (−R, R) Theo đ%nh lý Abel,

chuoi lũy thùa h®i tu đeu trên [−r, r], và vì các so hang cna nó đeu là

các hàm liên tuc nên tong S(x) cna chuoi lũy thùa là hàm liên tuc trên

[−r, r] Do

điem thu®c (−R, R)

Đ%nh lý 7 (Tích phân tùng so hang) Giá sú chuoi lũy thùa (1.12) có

m®t

b b

S(x)dx = a n

a n=0 a

Đ¾c bi¾t, vói moi x ∈ (−R, R) ta có

(ii) Tong cúa chuoi lũy thùa là m®t hàm so khá vi trong khoáng h®i tn (−R,

(ii) Lay x0 bat kỳ thu®c (−R, R) Khi đó ton tai so r > 0 sao cho

Chương 2 Điem kỳ d% và phương trình Euler

Phan đau cna chương này, chúng tôi se trình bày van đe ve điemthưòng, điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính Đó là nhungđiem liên quan trnc tiep đen vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trìnhnày Khái ni¾m ve các điem này cũng có the mó r®ng cho phương trình

vi phân tuyen tính cap cao Tuy nhiên đe đơn gián trong vi¾c trình bày,chúng tôi chí trình bày van đe cho phương trình vi phân tuyen tính caphai

Trưóc het, giá sú P (x), Q(x) và R(x) là các đa thúc và chúng không

có nhân tú chung Nghi¾m cna phương trình này trong m®t khoángchúa điem x0 liên quan m¾t thiet vói dáng đi¾u cna hàm P (x) trong

khoáng

đó

M®t điem x0 mà tai đó P (x0) ƒ= 0 đưoc goi là điem thưòng

cna

phương trình vi phân ó trên Bói vì P (x) là hàm liên tuc, nên ton

tai m®t khoáng chúa x0 mà trong đó giá tr% cna P (x) khác 0 Khi đó,

chia hai ve cna phương trình trên cho P (x) ta nh¾n đưoc phương trình

tương đương dưói đây

là các hàm liên tuc Theo đ%nh lý ton

tai duy nhat nghi¾m, ton tai trong khoáng trên m®t nghi¾m duy nhatcna phương trình đã cho thóa mãn đieu ki¾n đau

y (x0) = y0, y r (x0) = y r

0

Trong vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tai các điemthưòng, ngưòi ta cũng có the mó r®ng phương pháp cho các điem x0

mà