Ứng dụng tính đối xứng trong hạ cấp phương trình vi phân thường cấp cao

Dựa trên đặc điểm đó mà người ta đã nghiên cứu những phương pháp nhằm tìm ra nghiệm của phương trình vi phân thường cấp cao, và trong khóa luận này chúng ta sẽ nghiên cứu và trình bày ha

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ BÌNH

ỨNG DỤNG TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG HẠ CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ BÌNH

ỨNG DỤNG TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG HẠ CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Hoàng Ngự Huấn

HÀ NỘI, 2017

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Phương pháp lý thuyết nhóm giải tích 4

1.1 Nhóm 5

1.2 Nhóm các phép biến đổi điểm 5

1.3 Ví dụ giảm cấp của phương trình vi phân 15

1.4 Sơ lược về thuật toán giảm nhiều cấp của lý thuyết nhóm 17

1.5 Tìm toán tử của phương trình vi phân y(IV )= y−5/3 20

Chương 2 Phương pháp tích phân đầu 25

2.1 Lý thuyết tích phân đầu 26

2.1.1 Phương trình vi phân thường cấp một 28

2.1.2 Phương trình vi phân thường cấp hai 34

2.1.3 Phương trình vi phân thường cấp n 43

2.2 Phương pháp giảm cấp bằng tích phân đầu 57

2.3 Tìm tích phân đầu của phương trình vi phân y(IV )= y−5/3 57

Chương 3 Mối liên hệ giữa toán tử đối xứng và tích phân đầu 63

3.1 Biến đổi của tích phân đầu dưới tác động của toán tử đối xứng 63

3.2 Phối hợp hai phương pháp để hạ toàn bộ 4 cấp, giải phương trình vi phân y4= y−5/3 67 Kết luận 71

Tài liệu tham khảo 71

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

giáo hướng dẫn TS Hoàng Ngự Huấn đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong

suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo giảng dạylớp cao học K19 chuyên ngành Toán giải tích nói riêng, các thầy cô giáo trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn

bè và đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên tôi trong quá trình học tập và hoàn

thành luận văn

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Bình

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướngdẫn của thầy giáo TS Hoàng Ngự Huấn

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận của mình, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trong luận

văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc và đưa vào mục tài liệu tham khảo

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Bình

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta có một khái niệm mà khi nhắc tới cho

ta một cảm giác tỷ lệ vô cùng hài hòa và cân đối Đó là khái niệm về tính đối xứng.

Trong toán học “đối xứng” được định nghĩa chính xác hơn, đó là tính bất biến của

đối tượng qua các phép biến đổi Hiểu dưới góc độ đó thì tính đối xứng là rất phổ

biến trong tự nhiên và trong khoa học Hơn nữa chúng có ứng dụng trong đời sống với

nhiều lĩnh vực khác nhau như âm nhạc, kiến trúc hay nghệ thuật

Mặt khác, như chúng ta đã biết, các hiện tượng trong tự nhiên lại được mô tả bằngnhững phương trình vi phân thường Do đó, các phương trình vi phân thường cũng

mang tính đối xứng Dựa trên đặc điểm đó mà người ta đã nghiên cứu những phương

pháp nhằm tìm ra nghiệm của phương trình vi phân thường cấp cao, và trong khóa

luận này chúng ta sẽ nghiên cứu và trình bày hai phương pháp dựa trên tích chất đối

xứng để hạ cấp phương trình vi phân thường cấp cao, đó là phương pháp lý thuyết

nhóm giải tích và phương pháp tích phân đầu

Lý thuyết nhóm giải tích dựa trên cơ sở nền tảng của lý thuyết nhóm Galois, sau đóđược nhà toán học người Na Uy (1842 - 1899) có tên là Sophus Lie phát triển và cho

ra đời lý thuyết về các nhóm biến đổi liên tục (bây giờ được gọi theo tên ông là nhóm

Lie) làm nền tảng cho việc hạ thấp cấp của phương trình vi phân thường sau này

Đối với phương pháp tích phân đầu chúng ta có hai cách đó là phương pháp trực tiếp

và phương pháp toán tử Euler (là khái niệm quen thuộc trong phép tính biến phân).

Phương pháp trực tiếp đã được nghiên cứu trước đó và trong khóa luận này chúng ta

sẽ nghiên cứu việc tìm ra nó bằng toán tử Euler

Với mong muốn trình bày cụ thể lý thuyết nhóm Lie, lý thuyết tích phân đầu vàcông cụ tìm kiếm tích phân đầu bằng toán tử Euler để hạ cấp phương trình vi phân

thường cấp cao, được sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngự Huấn tôi đã chọn đề tài “Ứng

dụng tính đối xứng trong việc hạ cấp phương trình vi phân thường cấp cao” để thực

hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích Các

bài toán và ví dụ trong khóa luận được trích dẫn từ cuốn “Symmetry and Integration

Methods for Differential Equations” của George W Bluman Stephen C Anco Đây là

tài liệu chính được sử dụng trong khóa luận này

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hai phương pháp hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao là: Lýthuyết nhóm giải tích và tích phân đầu Từ đó áp dụng cụ thể vào giải lớp các phương

trình vi phân thường cấp 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu phương trình vi phân thường cấp cao

• Tìm hiểu phương pháp lý thuyết nhóm giải tích, phương pháp tích phân đầu vàđịnh lý về sự kết hợp hai phương pháp này

• Áp dụng giải phương trình vi phân thường cấp 4

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vi phân thường cấp cao và tính chất đốixứng của nó

• Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết nhóm Lie cổ điển và lớp các phương trình viphân thường cấp 4

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp của lý thuyết phương trình vi phân thường, lý thuyết nhóm giảitích cổ điển, lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và các công cụ của lý

thuyết tích phân đầu

6 Đóng góp của luận văn

• Hệ thống hóa nội dung lý thuyết nhóm giải tích

• Xây dựng lý thuyết về phương pháp tích phân đầu dựa trên toán tử Euler để hạthấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao và ứng dụng vào giải lớp cácphương trình vi phân thường cấp 4

• Đưa ra cách kết hợp hai phương pháp tìm nghiệm chính xác của phương trình

đã cho

Chương 1

Phương pháp lý thuyết nhóm giải tích

Như chúng ta đã biết, cách giải phổ biến và hữu dụng nhất đối với phương trình viphân thường cấp cao đó là hạ thấp cấp của chúng

Xét phương trình vi phân cấp cao không chứa x sau:

Bây giờ ta tiến hành giảm bậc như sau:

Đặt y0= u, khi đó tất cả các đạo hàm bậc cao đều biểu diễn được qua u nhưng vớibậc nhỏ hơn một đơn vị và tương đương với phương trình:

tên là Sophus Lie cũng đã đặt ra câu hỏi như vậy Và trong chương này chúng ta sẽ

tìm hiểu phương pháp dựa trên lý thuyết nhóm giải tích do ông sáng lập ra

1.1 Nhóm

Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Một nhóm G là một tập hợp các phần tử với qui tắc hợp thành

φ giữa các phần tử thỏa mãn các tiên đề sau:

(i) Tính chất đóng Với bất kì các phần tử a và b của G:

(iv) Phần tử nghịch đảo Với bất kì phần tử a của G tồn tại duy nhất một phần tử

nghịch đảo a−1 trong G sao cho: φ (a, a−1) = φ (a−1, a) = e

1.2 Nhóm các phép biến đổi điểm

Định nghĩa 1.2.1 ([5]) (Phép biến đổi Lie) Xét phép biến đổi một tham số Ta:

Trong đó, ϕ, ψ liên tục với biến x, y khả vi đến cấp vô hạn với tham số a.

2, Tích của hai phép biến đổi chính là phép toán hợp Rõ ràng (1.2.4) cũng là một

phép biến đổi điểm.

3, Phần tử nghịch đảo là phép biến đổi ngược:

Lie (Bài toán Cauchy hệ phương trình vi phân cấp 1) với điều kiện ban đầu:

da = η(ϕ, ψ), ψ (a = 0) = y

Định nghĩa 1.2.2 Hàm F(x, y) được gọi là bất biến của phép biến đổi điểm ¯x =

ϕ , ¯y= ψ nếu thỏa mãn điều kiện F( ¯x, ¯y) = F(x, y) với mọi x, y.

Ví dụ 1.3 Dễ thấy hàm F(x, y) = x − y là bất biến của nhóm các phép biến đổi (1.2.3)

vì

F( ¯x, ¯y) = ¯x− ¯y = (x + a) − (y + a) = x − y = F(x, y)

Định lý 1.2.1 F(x, y) được gọi là bất biến với phép biến đổi ¯x, ¯y khi và chỉ khi nó thỏa

mãn phương trình đạo hàm riêng sau:

Giả sử F( ¯x, ¯y) = F(x, y) với mọi x, y Theo (1.2.6) ta có:

Từ phương trình Lie và đẳng thức trên ta thu được:

= ξ ( ¯x, ¯y).∂ F ( ¯x, ¯y)

∂ ¯x + η( ¯x, ¯y).∂ F ( ¯x, ¯y)

∂ ¯y = 0

Từ đó dễ thấy F(ϕ, ψ) là hàm bất biến với một tham số a thỏa mãn phương trình

vi phân với điều kiện biên:

Định nghĩa 1.2.3 Phương trình F(x, y) = 0 gọi là bất biến với nhóm các phép biến

đổi T nếu F(x, ¯¯ y) = 0 trên miền (x, y) ∈ R2 thỏa mãn F(x, y) = 0 Hay phép biến đổi

này biến mỗi điểm của đường cong F(x, y) = 0 thành một điểm khác của đường cong

này, tức là F(x, ¯¯ y) = F(x, y)

Định lý 1.2.2 Phương trình F(x, y) = 0 gọi là bất biến với nhóm các phép biến đổi

G nếu và chỉ nếu thỏa mãn phương trình:

X F|F=0≡ 0,

giả sử I(x, y) là bất biến của toán tử X , tức là X I = ξ∂ I

= x và η(x, y) = ∂ ψ (x, y, a)

∂ a

a=0

Mặt khác, phương trình đại số F(x, y) = 0 có dạng x + y = 0 cũng có phép biến

đổi điểm trên, theo định nghĩa (1.2.3) thì

bằng cách đổi biến thích hợp đều có thể qui về nhóm tịnh tiến ¯t = t + a với toán tử

Hai định lí (1.2.3) và (1.2.4) là nền tảng cho cách giảm cấp của phương trình viphân sau này.

Những kết quả trên là nhóm các phép biến đổi một tham số của (x, y) Chúng cóthể mở rộng cho phương trình vi phân (x, y, y0, y00, y000 , y(k)) Đầu tiên, ta phải kéo dài

toán tử ở trên có chứa các biến đạo hàm

Định nghĩa 1.2.4 Toán tử đạo hàm toàn phần được định nghĩa bởi

DF(x, y, y0, y00, , y(l)) = Fx+ y0Fy+ y00Fy1+ + y(l+1)Fyl

Định lý 1.2.5 Phương trình vi phân F(x, y, y0) = 0 có nhóm đối xứng G với toán tử

X = ξ (x, y)∂ x + η(x, y)∂ y nếu và chỉ nếu nó bất biến với nhóm mở rộng G

1

của G, tức là

Định lý 1.2.6 Bất biến cấp 2 và cấp cao hơn được tìm như sau

1.3 Ví dụ giảm cấp của phương trình vi phân

Giảm cấp của phương trình vi phân y0+ y2= 2

Giảm cấp của phương trình vi phân cấp 2

Giả sử phương trình vi phân cấp hai

2(w) ≡ 0 với w = dv

du.Theo định lí qui tắc vị tự, phương trình (1.3.10) có thể viết lại dưới dạng:

Rõ ràng hai phương trình (1.3.12) và (1.3.13) tương đương nhau nhưng phương

trình sau đã được giảm một cấp.

1.4 Sơ lược về thuật toán giảm nhiều cấp của lý thuyết nhóm

Một toán tử X = ξ ∂ x + η∂ y cho phép giảm một cấp của phương trình vi phânthường Giả sử phương trình vi phân

có m toán tử

Câu hỏi đặt ra là có thể giảm m cấp của phương trình hay không Để trả lời, ta thiết

lập phép toán với các toán tử sau (gọi là móc Lie)

[X1, X2] = [X1(ξ2) − X2(ξ1)] ∂

∂ x+ [X1(η2) − X2(η1)] ∂

∂ y.tức là từ hai toán tử ta lập được một toán tử mới

Móc Lie thoả mãn các tính chất sau

Không gian véc tơ m chiều các toán tử cùng với móc Lie (cấu trúc Lie) tạo thành

cấu trúc đại số mới tên là Đại số Lie Bắt đầu, đại số Lie Lm có cơ sở là m toán tử

(1.4.15) Bằng cách thiết lập móc Lie tất cả các toán tử cơ sở ta thu được Đại số Lie

con mới có số chiều không lớn hơn m gọi là Đại số đạo hàm Lie L0m1: L0m1 ⊆ Lm

Cứ tiếp tục thành lập đạo hàm của L0m

1, ta được một dãy các Đại số Lie như sau

Lm⊇ L0m

1 ⊇ L00m

Chỉ khi nào Đại số Lie cuối cùng L(m)mk ≡ 0 thì ta mới kết luận được rằng từ m toán

tử (1.4.15) ta có thể giảm m cấp của phương trình (1.4.14)

Chuỗi (1.4.17) cũng chỉ ra thứ tự của việc giảm bậc của phương trình vi phânthường vì thực tế, nếu không giảm cấp theo một trật tự thì ta không thể giảm cấp

Trong hệ tọa độ (u, v) toán tử X2 trở thành

Phương trình (1.4.19) có toán tử Y nên có thể giảm thêm một cấp nữa.

1.5 Tìm toán tử của phương trình vi phân y(IV ) = y−5/3

∂ y3

+ η(4)(x, y, y1, y2, y3, y4) ∂

∂ y4

Tương tự, từ phương trình trên ta thu được hệ số của y2 là

− 10ξyyy(y1)3+ (y1)2(−24ξxyy+ 6ηyyy) + y1(12ηxyy

− 18ξxxy) + 6ηxxy− 4ξxxx= 0

Cuối cùng, ta bóc tách các hệ số theo số mũ của đạo hàm cấp 1: y14, y13, y12, y1 và

hệ số tự do từ phương trình ta được lần lượt như sau

Với η và ξ đã tìm được thế vào 6 phương trình đầu thấy thỏa mãn, phương trìnhcuối trở thành

Chương 2

Phương pháp tích phân đầu

Như chúng ta đã biết, phương trình vi phân có rất nhiều ứng dụng trong đời sống

và khoa học, đặc biệt là trong vật lý Hãy cùng xem xét ví dụ dưới đây để thấy được

mối liên hệ thú vị giữa tích phân đầu và định luật bảo toàn trong vật lý

Giả sử ta có một con lắc lò xo nằm ngang trên bề mặt phẳng như hình dưới đây

Khi chúng ta kéo căng hoặc nén lò xo x đơn vị chiều dài tự nhiên thì xuất hiện lực đàn

hồi: Fđàn hồi= −kx Trong đó k là độ cứng của lò xo

Theo định luật 2 Newton ta có:

Nhân cả hai vế với ˙xvà nguyên hàm hai vế ta được:

1

2x˙

2+12

Như vậy bằng lý thuyết về tích phân đầu chúng ta đã giảm cấp của phương trình

vi phân Nhưng vấn đề đặt ra là nếu cho trước một phương trình vi phân bất kì có cấp

cao hơn thì làm thế nào để tìm tích phân thứ nhất Và người ta đã tìm ra được phương

pháp dựa trên toán tử Euler để tìm ra tích phân thứ nhất Sau đây chúng ta sẽ đi tìm

hiểu nội dung về nó

2.1 Lý thuyết tích phân đầu

Định nghĩa 2.1.1 ([3]) Cho phương trình vi phân thường cấp n

và R(x, y, y0, , y(l)) 6= 0 với 0 6 l 6 n − 1 được gọi là nhân tử tích phân tương ứng

với tích phân đầu.

2.1.1 Phương trình vi phân thường cấp một

Định lý 2.1.1 ([3]) Cho phương trình vi phân thường cấp một sau:

Ở đó C là một đường cong bất kì trong mặt phẳng nối từ điểm (x, ˜˜ y) tới điểm (x, y)

Khi (x, ˜˜ y) thay đổi dẫn đến tích phân đường (2.1.1.3) cũng thay đổi với sai khác là một

hằng số Hơn nữa, nếu f (x, y) và R(x, y) không suy biến thì tích phân đường (2.1.1.3)

không phụ thuộc vào đường cong C.

Chứng minh. Theo định nghĩa, tích phân đầu của phương trình vi phân thường cấp

Bây giờ giả sử rằng R(x, y) là một nghiệm của phương trình nhân tử tích phân xácđịnh 2.1.1.2 Từ điều kiện khả tích của 2.1.1.8 dẫn đến 2.1.1.3:

Hơn nữa, từ phương trình nhân tử tích phân xác định (2.1.1.2) dẫn tới tích phân đường

trên không phụ thuộc vào đường cong C khi f (x, y) và R(x, y) không suy biến

Tồn tại một cách trình bày khác dành cho định lý nêu trên và nó thuận tiện hơn khichúng ta khái quát định lý đó đối với trường hợp phương trình vi phân thường cấp n

Ta sẽ trình bày dựa trên toán tử Euler

Đầu tiên, ta viết lại phương trình nhân tử tích phân:

Rx+ ( f R)y= 0

Hay Rx+ f Ry+ fyR= 0Sau đó biến đổi thành:

E1là toán tử Euler ngặt và ta sẽ trình bày một tính chất đặc biệt của nó đó là: “triệttiêu” đạo hàm toàn phần, tức là nếu ta tác động nó lên một hàm số mà hàm số này

bằng đạo hàm toàn phần của một hàm số khác thì kết quả thu được bằng 0

Từ 2.1.1.13 ta có:

Ψ0= θy− DΨ1 = 0 hay θy− Dθy1 = 0

Do đó: Ax− By= 0

Từ điều kiện khả tích và Rxy− Rxy = 0 nên tồn tại hàm P(x, y) sao cho A = Ry và

B= Rx Thay vào (2.1.1.14) ta được:

θ = Px+ Pyy1= DP

Khi đó: θy1 = Py và θ − y1θy1 = PxNhư vậy, chúng ta có:

C

[ − R f dx + Rdy]

Phương trình nhân tử tích phân xác định (2.1.1.2) là một phương trình vi phântừng phần tuyến tính thuần nhất bậc 1 có vô số nghiệm Nếu R(x, y) là một nhân tử

tích phân của phương trình vi phân cấp một và có tích phân đầu tương ứng là P(x, y)

thì hàm bất kì F(P) tự động là một tích phân đầu của phương trình (2.1.3), dẫn tới

F0(P)R cũng là một nhân tử tích phân thu được từ (2.1.1.3) Hơn nữa, hàm này còn

đại diện cho nghiệm tổng quát của phương trình nhân tử tích phân xác định (2.1.1.2)

Từ (2.1.1.3), chúng ta thấy rằng với nghiệm riêng bất kì R = R1(x, y) của (2.1.1.2)

tương ứng với tích phân thứ nhất P = P1(x, y) và giảm bậc của phương trình (2.1.1.1)

bằng phép cầu phương P1(x, y) = c1 = const Tuy nhiên, một cách tổng quát không thể

nhận được nghiệm tùy ý của phương trình nhân tử tích phân (2.1.1.2) mà không biết

nghiệm tổng quát của phương trình (2.1.1.1)

Do đó, đối với một phương trình vi phân thường (2.1.1.1), người ta thường tìmcách xác định dạng đặc biệt của nhân tử tích phân bằng hai cách đặc biệt hóa dựa trên

sự triệt tiêu của biến số

Thứ nhất, nếu ta cho R = α(x) thì từ phương trình (2.1.1.2) ta có α0+ α fy= 0 dẫn

đến f (x, y) phải thỏa mãn fy = −α0

αy+ β , với β = β (x)

Từ đó phương trình (2.1.1.1) nhận một nhân tử tích phân chỉ phụ thuộc vào x khi

và chỉ khi f (x, y) tuyến tính đối với y Khi đó R = e−RA(x)dx là nhân tử tích phân, ở đó

y1 = f (x, y) = A(x)y + B(x)

Thứ hai, nếu ta cho R = α(y) thì phương trình (2.1.1.1) trở thành α0f + α fy= 0

Vì vậy mà f (x, y) phải thỏa mãn ffy = −α0

α.Điều này dẫn tới f = βα, với β = β (x)

Do đó phương trình (2.1.1.1) nhận nhân tử tích phân chỉ phụ thuộc vào y khi và chỉkhi f (x, y) là tách được đối với x và y Khi đó R = B(y)1 , ở đó y1= f (x, y) = A(x)B(y)

Một cách đặc biệt hóa chung hiệu quả hơn là dựa trên sự tách biến

Xét R = α(x)β (y) Khi đó từ (2.1.1.2), ta có α0

α +β0

β f + fy= 0Suy ra f β = −α0

Phương trình nhân tử tích phân xác định (2.1.1.2) phương trình vi phântừng phần tuyến tính bậc có vơ số nghiệm Nếu R(x, y) nhân tử

tích phân phương trình vi phân cấp có tích phân. ..

Như lý thuyết tích phân đầu giảm cấp phương trình

vi phân Nhưng vấn đề đặt cho trước phương trình vi phân có cấp

cao làm để tìm tích phân thứ Và người ta tìm phương

pháp... data-page="21">

Giảm cấp phương trình vi phân cấp 2

Giả sử phương trình vi phân cấp hai

2(w) ≡ với w = dv

du.Theo định lí qui tắc vị tự, phương trình (1.3.10) vi? ??t