Hạng của nữa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự

TRẦN XUÂN KHANG HẠNG CỦA NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN THỨ TỰ luËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc Vinh 2010... TRẦN XUÂN KHANGHẠNG CỦA NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN THỨ TỰ... Nửa nhóm

TRẦN XUÂN KHANG

HẠNG CỦA NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN THỨ TỰ

luËn v¨n th¹c sÜ To¸n häc

Vinh 2010

TRẦN XUÂN KHANG

HẠNG CỦA NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN THỨ TỰ

Vinh 2010

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ 3

1.1 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ 3

1.2 Các quan hệ Green trên nửa nhóm 5

1.3 Các quan hệ Green trên nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ 10

Chương 2 Hạng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự 16

2.1 Nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự 16

2.2 Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự 19

2.3 Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự chặt 24

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

MỞ ĐẦU

Giả sử X n ={1, 2, ,n} , giả sử T n là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên

Sing gồm tất cả các tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự của X n Nửa nhóm

này đã được nghiên cứu trong [6], trong đó đã chứng minh rằng 2 1 1

1

n

n O

Giả sử S là nửa nhóm hữu hạn, khi đó hạng của S xác định bởi :

Mục đích của luận văn này là dựa trên bài báo On the ranks of certain

semigroups of order-preserving transformations của các tác giả Gomes và

Howie đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 1992, để tìm hiểu hạng và hạng luỹ đẳng của O n và nửa nhóm

cũng quan tâm đến nửa nhóm SPO n =PO O n\ n các ánh xạ bảo toàn thứ tự bộ

phận chặt của X n và hạng của nó bằng 2n− 2 Nửa nhóm này không được sinh bởi các luỹ đẳng và do đó vấn đề về hạng luỹ đẳng không được đặt ra.Luận văn được trình bày thành hai chương:

Chương 1 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ Trình bày các khái niệm

và tính chất cơ bản của nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ và các quan hệ Green trên nửa nhóm, nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ

Chương 2 Hạng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự Trình

bày về hạng, hạng luỹ đẳng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự

n

O , PO n và SPO n

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Lê Quốc Hán, người đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số và Seminar chuyên ngành đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế

và thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những sự đóng góp từ các thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẦY ĐỦ

Trong chương này chúng tôi nhắc lại các khái niệm và các tính chất cơ bản trong Lý thuyết nửa nhóm liên quan đến chương sau

1.1 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ

Giả sử S là một tập hợp tuỳ ý Khi đó mỗi ánh xạ f S S: × →S được gọi là

một phép toán hai ngôi trên miền xác định S Với mỗi cặp thứ tự (x y, )∈ ×S S,

ảnh f x y( , ) được gọi là tích của hai phần tử x và y Chúng ta ký hiệu đơn giản xy thay cho f x y( , )

1.1.1 Định nghĩa Cặp ( , )S f (hay ( ,.)S , hoặc chỉ đơn giản S nếu không gây

nhầm lẫn) được gọi là một phỏng nhóm Một phỏng nhóm S được gọi là một

S





trong đó 1 là một phần tử đơn vị (mới), 1 S∉

Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý Phần tử z S∈ được gọi là phần tử không

nếu yz z y S= ∀ ∈ , và được gọi là phần tử không nếu nó vừa là phần tử không

bên trái vừa là phần tử không bên phải của S

Phần tử e S∈ được gọi là một luỹ đẳng nếu e2 =e Tập tất cả các luỹ đẳng của S được ký hiệu là E E= S.

nếu S là một vị nhómnếu S không phải là vị nhóm

1.1.3 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm và A là tập con không rỗng của

S Khi đó A được gọi là nửa nhóm con của S nếu A đóng kín dưới phép lấy tích, nghĩa là với mọi x y A, ∈ có xy A∈ .

1.1.4 Bổ đề Giả sử {A i I i| ∈ } là một họ các nửa nhóm con tuỳ ý của S sao

i I

∈

của S, ∀ ∈i I Do đó xy A∈ nên A là nửa nhóm con của S W

Đối với mỗi tập con không rỗng X của nửa nhóm S, ký hiệu X S là giao của tất cả các nhóm con của S chứa X Theo Bổ đề 1.1.4, X S là một nửa nhóm con của S gọi là nửa nhóm con sinh bởi X, và nó là nửa nhóm con bé nhất của S chứa X Trong trường hợp nửa nhóm S đã được xác định rõ ràng trong ngữ cảnh đang xét, thì ta sẽ viết X thay cho X S

Nếu X ={x x1 , , 2 } là một tập hữu hạn hay vô hạn đếm được, thì ta sẽ ký hiệu x x1 , , 2 thay cho x x1 , , 2 s Nói riêng, nếu X là tập đơn tử, X ={ }x thì

ta sẽ viết X thay cho X S

1.1.5 Định lý Giả sử X là tập con không rỗng của nửa nhóm con S Thế thì

Nếu S được sinh bởi tập hợp các luỹ đẳng E của nó, thì hạng luỹ đẳng của

S được xác định bởi: idrank S min A A= { : ⊆E A, =S} .

1.2 Các quan hệ Green trên nửa nhóm

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Ta định nghĩa các quan hệ L, R,

J sau đây trên S: aLb ⇔ S a S b1 = 1

Với mỗi x S∈ , ta ký hiệu L x là L - lớp tương đương chứa x: L x ={y S∈ |x L y

}

Tương tự, R x và J x là các ký hiệu lớp tương đương theo R và J tương ứng chứa x

1.2.2 Định lý Các quan hệ L và R giao hoán: L oR = Ro L

y Do đó tồn tại các phần tử , ', r, r' Ss s ∈ sao cho:

, z = s'x, z = yr, y = zr'

Ký hiệu t szr = ' Thế thì t szr= '=xr', x = sz = syr =szr r tr' = nên x Rt

Ta lại có: t szr= '= sy, y=zr' = s'xr'=s szr' '=s t' nên y L t Suy ra (x y, )∈ L oR

nên L o R⊆Ro L Tương tự, có Ro L ⊆L oR nên L oR = Ro L

1.2.3 Định nghĩa Giả sử L và R là các quan hệ tương đương đã được xác định theo Định nghĩa 1.2.1 Ta xác định các quan hệ trên S bởi:

D =L oR = Ro L và H = R∩L

Khi đóH là quan hệ tương đương lớn nhất của S được chức trong L và R theo

Lý thuyết tập hợp Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé nhất chứa L

và R

Thật vậy, vì L và R là các quan hệ tương đương nên D =L oR là các quan hệ

tương đương Hơn nữa, x L x và x R x với mọi x S∈ 1 nên L ⊆D và R⊆L Nếu

C là một quan hệ tương đương trên S chứa L ∪ R thì D⊂C, nên D là quan

hệ tương đương bé nhất chứa L và R

Biểu đồ bao hàm của các quan hệ Green được cho bởi hình sau với chú ý D

Chứng minh Theo định nghĩa của D, có: x D y ⇔ ∃ ∈z S: x L z và z R y

:

z S

⇔ ∃ ∈ x R s và s L y Từ đó suy ra khẳng định thứ nhất của Bổ đề Khẳng định thứ hai được suy ra từ L ⊆D và R⊆D

Tình huống này có thể hình dung bằng bức tranh "hộp trứng" dưới đây Ở đây các dòng là R- lớp và các cột là các L- lớp, giao của chúng là các H - lớp nếu

không rỗng (giao L y∩R x ≠ ∅ nếu y D x) Thực tế, nếu u L∈ ∩y R x thì L y =L u và

x u

R =R Do đó L y∩R x =H u W

Bây giờ, ta nêu bổ đề Green và các hệ quả của nó

Giả sử S là một nửa nhóm, với mỗi s S∈ chúng ta xác định một ánh xạ:

(iii) ρs bảo toàn các H - lớp, nghĩa là đối với mọi: u v R u, ∈ x: H v⇔ ρs( )u Hρs( )v

giả sử z R∈ x, nghĩa là 1 1

zS =xS Thế thì szS1 =sxS1 =yS1 Do đó ρs( )z = ∈sz R y

Lập luận tương tự ta có ρs' ánh xạ R y vào R x

Nếu z R∈ x thì z R x và do đó có các phần tử u u, ' ∈S1 sao cho z xu= và

Từ đó ρ ρs' s( )z = ρs'( )sz =s sz z' = và bởi vậy ρ ρs', s là ánh xạ đồng nhất của R x Tương tự, ρ ρs' s là ánh xạ của R y Từ đó suy ra tính đúng đắn của các khẳng

Nói riêng, ρs ánh xạ mỗi H - lớp H z (với z R∈ x) song ánh vào H -lớp Hρs( )x Dạng đối ngẫu của Bổ đề 1.2.5 được chứng minh tương tự Ở đây

(iii) λr bảo toàn các R - lớp, nghĩa là w R (w)λy đối với mọi w L∈ y .

1.2.7 Hệ quả (i) Giả sử e E∈ S là một lũy đẳng Nếu x Le thì xe x= Nếu x Re

thì ex x= .

2 ee

x se se= = =s =xe Chứng minh khẳng định còn lại tương tự

(ii) Giả sử e f, ∈E S và e H f Khi đó eL f và e R f nên f Re (vì R đối xứng)

Do đó (i) có ef=e, ef=f W

1.2.8 Hệ quả Các H - lớp nằm trong một D - lớp có cùng lực lượng, nghĩa là

L y , y R z với sx=y s y x, ' = , yr =z, zr'=y theo các Bổ đề trên, ρs:H x→H y và

:

r H y H z

λ → là các song ánh, do đó λ ρro s:H x →H z là một song ánh

W

Kết quả sau đây là Định lý định vị của Miller và Clifford (1956)

1.2.9 Định lý Giả sử x y S, ∈ Thế thì xy R∈ ∩x L y ⇔R y∩L x chứa một luỹ

đẳng duy nhất.

chọn s x= trong Bổ đề 1.2.5, và như vậy ρx:R y→R xy là một song ánh Vì xy R

x nên R xy =R x, do đó ρx:R y →R x là một song ánh Ánh xạ ρx bảo toàn các L -

lớp và do đó ρx ánh xạ R y∩L x vào R x∩L x =H x Do đó tồn tại z R∈ y∩L x sao

Trong Định lý Green sau đây, G được gọi là một nhóm con của nửa nhóm

S nếu G là một nửa nhóm con mà bản thân G là một nhóm

1.2.10 Bổ đề Giả sử e f, ∈E S Thế thì với mọi x R∈ ∩e L f tồn tại y R∈ f ∩L e

sao cho xy e= và yx = f .

Chứng minh Giả sử x R∈ ∩e L f Từ Hệ quả 1.2.7 có x= ex =xf , do đó tồn tại

(ii) Tồn tại x y H, ∈ sao cho xy H∈ .

Hơn nữa, H là vị nhóm con với đơn vị là e theo Hệ quả 1.2.7 Rồi áp dụng

Bổ đề 1.2.10 với e= f Điều này suy ra H là một nhóm

( )iii ⇒ ( )i .Vì phần tử đơn vị của một nhóm con H là một luỹ đẳng của S W

1.3 Các quan hệ Green trên nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý Ký hiệu T X là tập hợp tất

cả các ánh xạ từ X lên X Khi đó T X cùng với phép nhân ánh xạ là nửa

nhóm Nửa nhóm T X được gọi là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ của X

1.3.2 Định nghĩa Giả sử T X là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ của X

Ta gắn mỗi phần tử α thuộc T X với hai khái niệm:

( )1 Miền giá trị X của phép biến đổi α .

( )2 Phân hoạch 1

α

π = α α o − của tập X liên kết với α, tức là quan hệ tương

đương trên X xác định như sau: xπαy x y X ,( ∈ ) nếu xα = yα .

Giả sử π α W là một ánh xạ tự nhiên từ X lên tập X / πα các lớp tương đương

của X theo mod πα Khi đó ánh xạ xπαW →xα

1.3.3 Bổ đề Với α β ∈ , T X tồn tại phép biến đổi ξ ∈T X sao cho αξ β = khi và

chỉ khi Xα ⊇Xβ Do đó α Lβ khi và chỉ khi Xα =Xβ.

Chứng minh Nếu ξα β = thì Xβ =( )Xξ α ⊆ Xα Đảo lại, giả thiết rằng

Xα ⊂Xβ Ta xác định phép biến đổi ξ của tập X như sau: với mỗi y X∈ β

phép biến đổi ξ biến mọi phần tử thuộc tập yβ − 1 thành một phần tử cố định thuộc tập yα − 1 Khi đó ξα β = W

1.3.4 Bổ đề Với α β ∈ , T X tồn tại ξ ∈T X sao cho αξ β = khi và chỉ khi πα ⊆ πβ

Do đó α Rβ khi và chỉ khi π α = π β.

Chứng minh Nếu αξ β = và xπαy thì xβ =xαξ = yαξ = yβ và vì vậy xπβy

Như thế αξ β = kéo theo πα ⊆ πβ Đảo lại, giả thiết rằng πα ⊆ πβ Ta xác định

phép biến đổi ξ bằng cách đặt xαξ =xβ đối với các phần tử thuộc Xα và xem rằng trên X X\ α nó tác dụng một cách đồng nhất Tính đơn trị của ξ là hiển

nhiên, vì đẳng thức xα = yα kéo theo xβ = yβ theo giả thiết Rõ ràng rằng

αξ β = W

1.3.5 Bổ đề Giả sử π là một phân hoạch của tập X và giả sử Y là một tập

α

π = π và Xα =Y

Chứng minh Vì rằng X / π = Y nên tồn tại ánh xạ một - một ϕ từ X / π lên

Y Khi đó ánh xạ α π ϕ = W , có tính chất đòi hỏi W

1.3.6 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm T X là D -lớp tương đương khi và

chỉ khi chúng có cùng một hạng

thuộc T X Theo Bổ đề 1.3.3 các miền giá trị của α và γ trùng nhau Do đó α

và γ cùng hạng Theo Bổ đề 1.3.4 các phân hoạch ứng với γ và β trùng

nhau Do đó γ và β cùng hạng Đảo lại, giả thiết rằng α và β có cùng hạng

Khi đó Xα = X / πβ Theo Bổ đề 1.3.5 tồn tại γ ∈T X sao cho Xγ =Xα và

γ β

π = π Theo Bổ đề 1.3.1 và 1.3.4, α Lγ và γ Rβ , từ đó α Dβ W

1.3.7 Định lý Giả sử T X là nửa nhóm toàn thể các phép biến đổi trên tập X

( )i Trong T X các quan hệ D và L trùng nhau.

miền giá trị.

khi hạng của β không vượt quá hạng cuả α Nếu β ∈J( ) α thì β ξαη = đối

với ξ η , nào đó thuộc T X và vì vậy Xβ = Xξαη ≤ Xαη ≤ Xα Đảo lại, giả

thiết rằng hạng của β không vượt quá hạng của α Giả sử Y là một tập con

bất kỳ của X lực lượng Xα chứa Xβ và giả sử γ là một phần tử tuỳ ý thuộc

X

T mà Y là miền giá trị Vì Xα =Y = Xγ nên từ Bổ đề 1.3.6 suy ra γ Dα

Vì D⊆J nên J( ) α =J( )β Theo Bổ đề 1.3.3 và từ Xγ ⊇ Xβ suy ra tồn tại

X

T

ξ ∈ sao cho ξγ β = Do đó β ∈J( )γ =J( )α

Từ điều vừa chứng minh suy ra rằng J( ) α =J( )β , tức là αLβ, khi và chỉ

khi α và β có cùng hạng Theo Bổ đề 1.3.6, α Lβ khi và chỉ khi α Dβ, điều

Tương tự, từ Bổ đề 1.3.6 suy ra rằng ánh xạ Dα →{hạng của α}, trong đó

X

T

α ∈ , là ánh xạ một - một từ tập các D -lớp của T X lên tập tất cả các bản số

X

≤ , ngoài ra các tính chất nêu trong ( )iii đều thoả mãn

Bây giờ, giả sử r là một bản số không vượt quá X và D r là D -lớp của T X

gồm tất cả các phần tử hạng r

Nếu Y là một tập con của X mà X =r thì rõ ràng T X chứa phần tử α mà

Xα =Y và α ∈D r Tương tự, nếu π là một phân hoạch của X mà X / π =r thì r

D chứa phần tử β mà πβ = π Từ các chú ý đó và từ các Bổ đề 1.3.3, 1.3.4,

1.3.5 ta suy ngay ra các điều khẳng định ( ) ( ) ( )iv , v , vi của định lý W

Bây giờ ta chuyển sang mô tả các luỹ đẳng của T X Mệnh đề ( )ii của định

lý sau đây chứng tỏ rằng một H - lớp của T X là một nhóm khi nó có luỹ đẳng

Về sau ta sẽ thấy tính chất đó thoả mãn đối với một nửa nhóm bất kỳ Do đó một H - lớp không chứa quá một luỹ đẳng Mệnh đề ( )i của định lý sau đây chứng tỏ rằng H - lớp nào chứa luỹ đẳng

1.3.8 Định lý Giả sử Y là một tập con của tập X và giả sử π là một phân

Ánh xạ e giữ nguyên mỗi phần tử thuộc Y và biến mỗi phần tử thuộc X Y\

Giả sử x X∈ Vì xe= ( )xe e nên từ π π = e suy ra x xeπ ( ) Mặt khác nếu y và

y' là các phần tử thuôc Y sao cho y yπ ', thì y= ye y e y= ' = ' Do đó mỗi lớp

tương đương của Xmod π chứa đúng một phần tử thuộc tập Y và e ánh xạ mỗi phần tử thuộc yπ x (y Y∈ ) thành y

Đảo lại, giả thiết rằng Y "cắt ngang" phân hoạch π Khi đó phần tử thuộc

X

T chuyển mỗi phần tử x X∈ thành phần tử y Y∈ mà x yπ rõ ràng là luỹ đẳng

thuộc H

có xα ∈Xα = =Y Xe, vì vậy x e xα = α Từ đó suy ra rằng αe= α Với mỗi

x X∈ ta có x xeπ ( ) (đã chứng tỏ ở trên) và vì π α = = π πe nên xα =( )xe α Từ đó

suy ra eα α = .

Bây giờ ta chứng tỏ rằng α cảm sinh một phép thế trên Y Nếu yα = y' α (, '

y y ∈Y) thì y yπ ' và do đó y= y' Với y đã cho thuộc Y = Xα tồn tại x X∈

sao cho xα = y Khi đó xe Y∈ và ( )xeα =xα = y Do đó (α |Y)∈G Y.

Mỗi phép thế ϕ ∈G Y được cảm sinh bởi một phép biến đổi nào đó thuộc H,

cụ thể là phép biến đổi sau: xα = ( )xeϕ Hơn nữa, α xác định một cách duy

nhất bởi ϕ Thật vậy, nếu yα = yβ với mọi y Y∈ , trong đó α β ∈ , H ,thì

xeα =xeβ với mọi x X∈ , từ đó α =eα =eβ β = Do đó ánh xạ α → = ϕ α| Y là

ánh xạ một - một từ Hlên G Y và rõ ràng là đẳng cấu Vậy H là nhóm con của

X

T đẳng cấu với G Y W

CHƯƠNG 2 HẠNG CỦA NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN THỨ TỰ 2.1 Nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự

2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử X n ={1, 2, ,n}

Ký hiệu T n là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên X n

Ký hiệu Sing n ={α ∈T im n: α ≤ −n 1} là nửa nhóm tất cả các tự ánh xạ suy biến của X n

Ký hiệu O n ={α ∈Sing n:(∀x y X x y, ∈ n) ≤ ⇒xα ≤ yα} là nửa nhóm con của

n

Sing gồm tất cả các tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự của X n

Rõ ràng O n là nửa nhóm chính quy của T n Chúng ta có trong O n:

α Lβ nếu và chỉ nếu im α =imβ

α Rβ nếu và chỉ nếu ker α =ker β

α J β nếu và chỉ nếu |im | | α =im | β

Như vậy O n, giống như bản thân T n, là hợp của các J -lớp J J1, , ,2 J n−1 trong

đó J r ={α ∈O im n: α =r} Chúng tôi dành sự quan tâm đặc biệt đối với J - lớp

1

n

J − tại chóp đỉnh của nửa nhóm này

Đối lập với Sing n, nửa nhóm O n không tuần hoàn (nghĩa là các H - lớp tầm

thường); chỉ trong lần này thôi chúng ta cố định imα và ker α có đúng một ánh xạ bảo toàn thứ tự với ảnh và hạt nhân cho trước Dễ dàng thấy rằng các (ker α)-lớp là các tập con lồi C của X n, theo nghĩa nếu x y C x z, ∈ , ≤ ≤ y kéo

theo z C∈ Như vậy, bằng cách ký hiệu , i j là tương đương trên X n mà lớp không chứa thì một phần tử duy nhất là { , i j } , chúng ta thấy rằng các R- lớp trong J -lớp J n−1 được đánh số bởi n− 1 tương đương 1, 2 ,| 2,3 |, ,|n− 1, |n Các