Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian banach p khả trơn

Trình bày các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên và thiết lập bất đẳng thức

Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

p-khả trơn

Lê Văn Dũng

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận án TS Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số 62 46 15 01 Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến

Năm bảo vệ: 2013

Abstract Trình bày các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu

nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên và thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị cho không gian Banach Thiết lập điều kiện hội tụ đối với chuỗi kép của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên, không chỉ thiết lập luật mạch số lớn mà còn đưa ra tốc độ hội tụ của luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Đưa ra các định lý hội tụ theo trung bình bậc p và luật yếu số lớn gồm các luật yếu số lớn Feller với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên và thiết lập điều kiện khả tích đều là điều kiện đủ để thu được luật yếu số lớn đối với tổng kép các biến ngẫu nhiên

có chỉ số ngẫu nhiên: trình bày khái niệm khả tích đều, trình bày các kết quả về định lý

hội tụ trung bình, trình bày kết quả về luật yếu số lớn

Keywords Biến ngẫu nhiên; Xác suất; Luật số lớn; Không gian Banach; Lý thuyết xác

suất

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật số lớn", và luật số lớn được đánh giá là một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất Ngày nay, luật số lớn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất

1.2 Từ những năm 1950 trở lại đây, luật số lớn đã được nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Ngày nay vấn đề này vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu

1.3 Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị trong không gian Banach đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả có tên tuổi Tuy nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số gặp khó khăn nên các định lí giới hạn đối với mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên không độc lập vẫn chưa được nghiên cứu nhiều

Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận

án của mình là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi kép, luật mạnh số lớn Kol-mogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund đối với mảng biến ngẫu nhiên, hội tụ theo trung bình bậc p, luật yếu số lớn Feller và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng các kĩ thuật của giải tích và xác suất, kĩ thuật martingale để chứng minh các định lí hội tụ Một số bổ đề quan trọng như:

Bổ đề Borel-Cantelli, Bổ đề Toeplitz và Bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, cũng được sử dụng để chứng minh các kết quả

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về sự hội tụ của chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình

và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí giới hạn của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach trong lý thuyết xác suất

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án Các định lí giới hạn trong lý thuyết xác suất nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong phát triển lý thuyết và thực hành xác suất và thống kê Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli được công bố năm 1713 Về sau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm

1909 luật mạnh số lớn mới được E Borel phát hiện Kết quả này của Borel được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926

Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {Xn} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc 2 hữu hạn, {bn} là dãy các hằng số sao cho 0 < bn ↑ ∞ Khi đó, nếu

∞ X

n=1

DXn

b2 n

< ∞

thì

Sn − ESn

bn → 0 h.c.c.,

trong đó Sn = X1 + X2 + + Xn.

Sau khi Day [10] đưa ra khái niệm không gian Banach p-khả trơn, đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn như: Woyczy´nski,

Hoffmann-Jørgensen, Pisier, Assouad [2] đã đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach thực khả ly là không gian p-khả trơn dựa trên dãy biến ngẫu nhiên martingale Hoffmann-Jørgensen và Pisier [22] đã đưa ra được tính chất đặc trưng của không gian p-khả trơn về luật số lớn Kolmogorov Trong những năm gần đây nhiều tác giả vẫn tiếp tục nghiên cứu các định lí giới hạn trên không gian p-khả trơn như: Nguyễn Văn Quảng [33, 34, 35], Volodin, A I.[1], Sung, S H [41, 42], và đã thu được nhiều kết quả quan trọng

Việc nghiên cứu các định lí hội tụ theo trung bình bậc p cũng là một hướng để thu được luật yếu số lớn Các tác giả thu được nhiều kết quả về hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên trong những năm gần đây phải kể đến là Adler, A [1], Cabrera, M O [5], Chandra, T K [6], Lê Văn Thành [45]

Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn Việc mở rộng khái niệm martingale sang mảng nhiều chiều gặp phải khó khăn trong xây dựng quan hệ thứ tự Mặc dù vậy, cũng đã có một số tác giả xây dựng khái niệm martingale đối với mảng nhiều chiều Trong luận

án này thay vì xây dựng khái niệm martingale cho mảng 2 chiều, chúng tôi đã xây dựng mảng σ-đại số ngay trên mảng biến ngẫu nhiên đã cho

để sao cho vẫn thu được bất đẳng thức cực đại đối với mảng nhiều chiều tương tự bất đẳng thức cực đại trong mảng 1 chiều Vì đây là bất đẳng thức quan trọng nhất trong thiết lập luật số lớn Việc mở rộng cho trường hợp d (d > 2) chiều hoàn toàn tương tự trường hợp mảng 2 chiều nên trong luận án này chúng tôi chỉ xét cho mảng biến ngẫu nhiên 2 chiều Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị: Hội nghị toàn quốc lần thứ 4 về Xác suất và thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị

Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Hà Nội, 10/2010), và đã được đăng ở các tạp chí: Acta Mathematica Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the Korean Mathematical Society

7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, Kết luận, Danh mục các bài báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận

án được trình bày trong ba chương

Chương 1 trình bày các khái niệm về kì vọng, kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, một số dạng hội

tụ của mảng biến ngẫu nhiên và thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Chương 2 thiết lập điều kiện hội tụ đối với chuỗi kép của mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên Cũng trong Chương 2 chúng tôi không chỉ thiết lập luật mạnh số lớn mà còn đưa ra được tốc độ hội tụ của luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Chương 3 đưa ra các định lí hội tụ theo trung bình bậc p và luật yếu số lớn gồm luật yếu số lớn Feller với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên

và thiết lập điều kiện khả tích đều là điều kiện đủ để thu được luật yếu số lớn đối với tổng kép các biến ngẫu nhiên có chỉ số ngẫu nhiên Chương 3 gồm 4 mục Mục 3.1 trình bày khái niệm khả tích đều, mục 3.2 trình bày các kết quả về định lí hội tụ trung bình, mục 3.3 và 3.4 trình bày các kết quả về luật yếu số lớn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Adler, A., Rosalsky, A., Volodin, A I (1997), "A mean convergence theorem and weak law for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Probability Letters 32, pp.167-174

[2] Assouad, P (1975), Espaces p-lisses et q-convexes, Inégalités de Burkholder, Séminaire Maruey-Schwartz, Exp ZV

[3] Borovskykh, Yu V and Korolyuk, V S (1997), Martingale Approxi-mation, VSP

[4] Cabrera, M O (1988), "Limit theorems for randomly weighted sums

of random elements in normed linear spaces", Journal of Multivariate Analysis 25 (1), pp.139-145

[5] Cabrera, M O (1994), "Convergence of weighted sums of random variables and uniform integrability concerning the weights", Col-lectanea Mathematica 45 (2), pp.121-132

[6] Chandra, T K (1989), "Uniform integrability in the Cesàro sense and the weak law of large numbers", Sankhyã Ser A 51 (3), pp.309-317 [7] Choi, B.D., Sung, S.H (1985), "On convergence of (Sn −

ESn)/n1/r, 1 < r < 2 for pairwise independent random variables", Bull Korean Math Soc 22 (2), pp.79-82

[8] Chow, Y S., Teicher, H., (1997), Probability Theory Independence, Interchangeability, Martingale, Springer, New York

[9] Czerebak-Mrozowicz, E B., Klesov, O I., Rychlik, Z (2002),

"Marcinkiewicz-type strong laws of large numbers for pairwise inde-pendent random fields", Probability and mathematical statistics 22 (1), pp.127-139

[10] Day, M.M, (1944), "Uniform convexity in factor and conjugate spaces", Ann.of Math 45, pp.375 -385

[11] Le Van Dung, Ngamkham, Th., Nguyen Duy Tien, Volodin, A I (2009), "Marcinkiewicz-type law of large numbers for double arrays of random elements in Banach spaces", Lobachevskii Journal of Mathe-matics 30 (4), pp.337-34

[12] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces" Statistics and Probability letters 80 (9-10), pp.756-763

[13] Le Van Dung (2010), "Weak laws of large numbers for double arrays

of random elements in Banach spaces", Acta Mathematica Vietnamica

35, pp.387-398

[14] Le Van Dung, Nguyen Duy Tien (2010), "Mean convergence theorems and weak laws of large numbers for double arrays of random elements

in Banach spaces", Bull.Math Korean 47, pp.467 - 482

[15] Etemadi, N (1981), "An elementary proof of the strong law of large numbers", Z Wahrsch Verw Gebiete 55 (1), pp.119-122

[16] Edgar,G A., Louis, S (1992), Stopping times and directed processes,

47, Cambridge University, England

[17] Fazekas, I., Tómács, T (1998), "Strong laws of large numbers for pair-wise independent random variables with multidimensional indices", Publ Math Debrecen 53 (1-2), pp.149-161

[18] Feller, W (1971), An introduction to probability theory and its appli-cations, 2, 2nd ed Wiley, New York

[19] Gut, A (2001), "Convergence rates in the central limit theorem for multidimensionally indexed random variables", Studia Sci Math Hungar 37, pp.401-418

[20] Gut, A., Spˇataru, A (2003), "Precise asymptotics in some strong limit theorems for multidimensionally indexed random variables", J Mul-tivariate Anal 86 (2), pp.398-422

[21] Gut, A., Stadtm¨uller, U (2009), "An asymmetric Marcinkiewicz-Zygmund LLN for random fields", Statistics and Probability Letters

79, pp.1016-1020

[22] Hoffmann-Jørgensen, J., Pisier, G (1976), "The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces", Ann.Probability 4(4), pp.587-599

[23] Hong, J I., Tsay, J (2010), "A strong law of large numbers for random elements in Banach spaces", Southest Asian Bulletin of Mathematics

34, pp.257-264

[24] Hong, D H., Cabrera, O M., Sung S H., Volodin, A I (2000), "On the weak law for randomly indexed partial sums for arrays of random elements in martingale type p Banach spaces", Statistics and Proba-bility Letters 46, pp.177-185

[25] Hong, D.H., Hwang, S.Y (1999), "Marcinkiewicz-type strong law of large numbers for double arrays of pairwise independent random vari-ables", Int J Math Math Sci 22 (1), pp.171-177

[26] Hong, D.H., Volodin, A.I (1999), "Marcinkewicz-type law of large numbers for double arrays", J.Korean Math.Soc 36 (6), pp.1133 - 1143 [27] Kwapie´n, S., Woyczy´nski, W.A (1992), Random Series and Stochastic Integrals: Single and Multiple, Birkh¨auser, Boston

[28] Landers, D., Rogge, L (1987), "Laws of large numbers for pairwise independent uniformly integrable random variables", Math Nachr

130, pp.189-192

[29] Lindenstrauss J (1963), "On the modulus of smoothness and diver-gent series in Banach spaces", Michigan Math J 10, pp.241-252 [30] Loève, M (1977), Probability Theory, I, 4th Edition Springer, New York

[31] Pisier, G (1975), "Martingales with values in uniformly convex spaces", Israel J Math 20 (3-4), pp.326-350

[32] Pisier, G (1986), "Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces, in: Probability and Analysis (Varenna, 1985)", Lecture Notes

in Math Springer, Berlin 1206, pp.167-241

[33] Nguyen Van Quang, Le Hong Son (2006), "On the weak law of large numbers for sequences of Banach space valued random elements", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.551-558

[34] Nguyen Van Quang, Nguyen Ngoc Huy (2008), "Weak law of large numbers for adapted double arrays of random variables", J.Korean.Soc 45 (3), pp.795-805

[35] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh (2006), "Marcinkiewicz-Zigmund law of large numbers for blockwise adapted sequence", Bull Korean Math Soc 43 (1), pp.213-223

[36] Nguyen Van Quang, Le Van Thanh, Nguyen Duy Tien (2011), "Al-most sure convergence for double arrays of block-wise M-dependent random elements in Banach spaces", Georgian Mathematical Journal

18, pp.777-800

[37] Rosalsky, A., Le Van Thanh ( 2006), "Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in

Rader-macher type p Banach spaces", Stoch Anal Appl 24 (6), pp.1097-1117

[38] Scalora, F S (1961), "Abstract martingale convergence theorems", Pacific J Math 11, pp.347-374

[39] Shixin, G (2010), "On almost sure convergence of weighted sums

of random element sequences",Acta Mathematica Scientia 30 (4), pp.1021-1028

[40] Su, C., Tong, T J (2004), "Almost Sure Convergence of the Gen-eral Jamison Weighted Sum of B-Valued Random Variables", Acta Mathematica Sinica English Series 20 (1), pp.181-192

[41] Sung, S H (1999), "Weak law of large numbers for arrays of random variables", Statist Probab Lett 42 (3), pp.293-298

[42] Sung, S H., Hu, T.C., Volodin, A.I (2006), "On the weak laws with random indices for partial sums for arrays of random elements in mar-tingale type p Banach spaces", Bull.Korean.Soc 43 (3), pp.543-549 [43] Stadtmulle, U., Le Van Thanh (2011), "On the trong limit theorems for double arrays of blockwise M-dependent random variables", Acta Math Sinica (English Series) 27, pp.1923-1934

[44] Stadtm¨uller, U., Thalmaier, M (2009), "Strong laws for delayed sums

of random fields", Acta Sci Math (Szeged) 75 (3-4), pp.723-737 [45] Le Van Thanh (2006), "Mean convergence theorems and weak laws

of large numbers for double arrays of random variables", Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, pp.1-15

[46] N D Tien (1980), "On Kolmogorov’s three series theorem and mean square convergence of martingales in a Banach space", Theory Probab Appl 24, pp.797-808