Cho phép biến đổi bảo toàn độ đo trong không gian ergodic

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của cácthầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy giáo cô giáo trong khoa toán, các thầy giáo côgiáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên..

LỜI CẢM ƠN

Em xin cảm ơn bố mẹ và những người thân trong gia đình đã luôn bên cạnh độngviên em trong suốt quá trình học tập Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của cácthầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy giáo cô giáo trong khoa toán, các thầy giáo côgiáo trong trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc của mình tới T.S Tạ Ngọc Trí người đã tận tình giúp đỡ em trong suốtquá trình hoàn thành khóa luận này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa trong mộtthời gian ngắn và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù rất cố gắng nhưng chắcchắn không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiếncủa các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn và bản thân

em có thêm nhiều kiến thức

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viênNguyễn Thị Lanh

LỜI CAM ĐOANKhóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu,bên cạnh đó em được sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy giáo cô giáo trongkhoa toán Trường ĐHSP Hà Nội 2, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của T.S Tạ NgọcTrí.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu

đã ghi trong phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trungthực, không sao chép từ các tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với bất cứ tên

đề tài nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viênNguyễn Thị Lanh

Mục lục

1.1 Không gian độ đo 6

1.1.1 Các định nghĩa 6

1.1.2 Các ví dụ của không gian độ đo 7

1.2 Tích phân 8

1.2.1 Các định nghĩa 8

1.2.2 Các không gian Lp 9

1.2.3 Các định lí hội tụ 9

1.2.4 Định lý biểu diễn Riesz 10

2 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO 11 2.1 Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục 11

2.1.1 Độ đo bất biến 11

2.1.2 Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục 12

2.2 Không gian của các độ đo bất biến 14

2.2.1 Sự tồn tại của các độ đo bất biến 14

2.2.2 Các tính chất của M(X,T) 15

2.3 Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo 16

2.3.1 Sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov 16

2.3.2 Sử dụng chuỗi Fouries 19

3 ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC 21 3.1 Định nghĩa của Ergodic 21

3.2 Đặc trưng của Ergodic 22

3.3 Các ví dụ 23

3.4 Sự tồn tại của các độ đo Ergodic 25

3.5 Phép truy toán và Ergodic đơn trị 28

3.5.1 Định lý phép truy toán của Poincare 28

3.5.2 Ergodic đơn trị 29

3.5.3 Ví dụ 31

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một trong những môn học có vị trí quan trọng trong nhà trường, dạytoán là dạy phương pháp suy luận khoa học Học toán là rèn luyện khả năng tư duylôgic, còn giải toán là một phương tiện rất tốt trong việc nắm vững tri thức, phát triển

tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo Giải tích hàm là một ngành toán học được xâydựng đầu thế kỉ XX và đến nay vẫn được xem là một ngành toán học cổ điển Trongquá trình phát triển giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phongphú, những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cảcác ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ.Chính điều đó đã mở rộng không gian nghiên cứu cho các ngành toán học

Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và bước đầu tiếpcận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của T.S Tạ Ngọc Trí, em

đã chọn đề tài:” Các phép biến đổi bảo toàn độ đo trong không gian Ergodic ”

2 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận này gồm 3 chương

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Chương 2: Các phép biến đổi bảo toàn độ đo

Chương 3: Độ đo trong không gian Ergodic

3 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giảitích hàm, đặc biệt là lý thuyết Ergodic

Nghiên cứu về các phép biến đổi bảo toàn độ đo, độ đo Ergodic

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp

ii Nếu E ∈ B thì phần bù của nó X\E ∈ β;

iii Nếu En ∈ β, n=1,2,3 là dãy đếm được các tập hợp trong β thì

Cho X là một tập và β là một σ-đại số các tập con của X, ta có:

Định nghĩa 1.4: Một hàm số µ : β → R+∪ {∞} được gọi là một độ đo nếu:

i µ(∅) = 0;

ii Nếu En là các tập hợp đếm được, đôi một phân biệt trong β thì:

Ta gọi (X, β, µ) là không gian độ đo

Nếu µ(X) < ∞ thì µ là độ đo hữu hạn

Nếu µ (X) = 1 thì µ là độ đo xác suất và (X, β, µ) tương ứng là không gian xác suất.Đặt M (X) = {µ|µ (X) = 1} là tập hợp tất cả các độ đo xác suất trên (X, β)

Định nghĩa 1.5: Một dãy các độ đo xác suất µn hội tụ yếu đến µ khi n → ∞ nếu vớimỗi f ∈ C (X, R)

Định nghĩa 1.6: Ta nói một tính chất đúng hầu khắp nơi trên X nếu tập hợp cácđiểm mà không có tính chất đó có độ đo 0

Chẳng hạn f=g h.k.n nếu µ ({x ∈ X|f (x) 6= g (x)}) = 0

1.1.2 Các ví dụ của không gian độ đo

Độ đo Lebesgue trên [0,1] Lấy X=[0,1] và lấy M là lớp của các hợp hữu hạntất cả các khoảng con của [0,1] Với mỗi đoạn con [a,b], định nghĩa:

là độ đo Lebesgue trên đường tròn

Độ đo Dirac Cho X là không gian xác suất và β là một σ -đại số bất kì Cho

x ∈ X Định nghĩa độ đo δx bởi:

Thì δx là độ đo xác suất Nó được gọi là độ đo Dirac tại x.

Định nghĩa 1.8: Một hàm số f : X → R là đơn giản trên X nếu nó có thể viết như

tổ hợp tuyến tính các hàm đặc trưng của các tập trong β, nghĩa là

Định nghĩa 1.11: Với một hàm đo được f : X → R, nếu f có dấu bất kì, ta đặt

f = f+− f−, với f+ = max {f, 0} ≥ 0 và f− = max {−f, 0} ≥ 0

Khi đó tích phân của hàm đo được có dấu bất kì xác định bởi:

Định nghĩa 1.12: f được gọi là khả tích trên X nếu:

Z

X

f dµ < +∞

1.2.2 Các không gian Lp

Định nghĩa 1.13: ( Không gian L1 )

Hai hàm đo được f, g : X → C tương đương nếu f = g − h.k.n Ta viết L1(X) ={f : X → C} sao cho R

Khi đó, đặt: d(f, g) = kf − gk1 thì d (f, g) là metric trên L1(X)

Định nghĩa 1.14: ( Không gian Lp)

Với p > 1, ta viết Lp(X) = {f : X → C} sao cho R

X

|f |p < +∞ Lp là không gian định

chuẩn với chuẩn kf kp =

R

X

|f |pdµ

1/p.Khi đó, đặt: d (f, g) = kf − gkp thì d (f, g) là metric trên Lp(X)

Nếu (X, β, µ) là không gian độ đo hữu hạn và nếu 1 ≤ p < q thì

Lq(X, β, µ) ⊂ Lp(X, β, µ)

1.2.3 Các định lí hội tụ

Định lí 1.1: (Định lí hội tụ đơn điệu)

Giả sử fn : X → R là một dãy tăng các hàm khả tích trên (X, β, µ) Nếu R fndµ

là dãy bị chặn của các số thực thì lim

n→∞ fn tồn tại h.k.n và khả tích vàZ

1.2.4 Định lý biểu diễn Riesz

Cho X là một không gian metric compact và C (X, R) = {f : X → R} cho sao cho fliên tục - biểu thị không gian của tất cả các hàm số liên tục trên X Trang bị C (X, R)với một metric

d (f, g) = kf − gk∞ = sup

x∈X

|f (x) − g (x)| Cho β là σ - đại số Borel trên X và cho µ là một độ đo xác suất trên (X, β) thì có thểcoi µ là hàm số tác động trên C (X, R), cụ thể

Định lý biểu diễn Riesz

Cho ω : C (X, R) → R là hàm số sao cho

i ω là bị chặn: nghĩa là, nếu f ∈ C (X, R) thì |ω (f )| ≤ kf k∞;

ii ω là tuyến tính: ω (λ1f1+ λ2f2) = λ1ω (f1) + λ2ω (f2);

iii ω là dương: nghĩa là nếu f ≥ 0 thì ω (f ) ≥ 0;

iv ω là tầm thường: nghĩa là: 1 (x) ≡ 1

Thì tồn tại duy nhất độ đo xác suất Borel µ ∈ M (X) sao cho

ω (f ) =

Z

X

f dµ

Cho (X, β, µ) là một không gian xác suất Một phép biến đổi T : X → X được gọi

là đo được nếu T−1B ∈ β với ∀B ∈ β

Định nghĩa 2.1: Ta nói rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo hay µ được gọi

là độ đo T-bất biến nếu µ(T−1B) = µ(B) với ∀B ∈ β

Bổ đề 2.1

Cho T : X → X Các mệnh đề sau tương đương:

i T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo;

ii Với mỗi f ∈ L1(X, β, µ), ta có

X

χT−1 Bdµ = µ T−1B

Vậy µ là độ đo T- bất biến

(i) ⇒ (ii) Ngược lại, giả sử rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo Với hàmđặc trưng bất kì χB, B ∈ β,

Suy ra đẳng thức đúng cho hàm đơn giản bất kì Cho bất kì f ∈ L1(X, β, µ) với f ≥ 0,

ta có thể tìm được một dãy tăng của các hàm số đơn giản fn với fn → f khi n → ∞.Với mỗi n ta có

2.1.2 Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục

Cho X là một không gian metric compact, β là σ - đại số Borel và T là một ánh xạliên tục (T đo được) thì T cảm sinh ra một ánh xạ trên M (X) như sau:

Định nghĩa 2.2 Định nghĩa độ đo cảm sinh T∗ : M (X) → M (X) bởi:

(T∗µ) (B) = µ T−1B
Nhận xét: µ được gọi là T - bất biến nếu và chỉ nếu T∗µ = µ Viết

M (X, T ) = {µ ∈ M (X) |T∗µ = µ}

i ⇒ ii Hiển nhiên theo bổ đề 2.1 và vì C (X) ∈ L1(X, β, µ).

ii ⇒ i Xây dựng 2 hàm số tuyến tính ω1, ω2 : C (X, R) → R như sau:

Ta thấy cả ω1 và ω2 là các hàm tuyến tính, bị chặn dương trên C (X, R) Hơn nữa,theo bổ đề 2.2

2.2.1 Sự tồn tại của các độ đo bất biến

Định lý 2.4 Cho T : X → X là một ánh xạ liên tục của một không gian metriccompact thì tồn tại ít nhất một độ đo xác suất T-bất biến

Chứng minh

Cho σ ∈ M (X) là một độ đo xác suất Định nghĩa dãy µn∈ M (X) bởi

µn= 1n

= lim

k→∞

Z

= lim

k→∞

2.3 Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo

Phần này chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đobằng cách sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov và sử dụng chuỗi Fourier

T∗µ (a, b) = µT−1(a, b) = µ (a, b) Một số ví dụ:

i)Phép quay của đường tròn

∗ Đặt

X = R/Z = {x + Z|x ∈ R}

= [0, 1) mod 1

∗ Phép biến đổi được xác định như sau T : R/Z → R/Z

x 7→ x + α mod 1

là phép quay đường tròn theo góc α

Đồng thời T bảo toàn độ đo Lebesgue trên X

Do đó T∗µ = µ trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con Vì đại số này tạo ra σ

- đại số Borel, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov ta thấy rằng

T∗µ = µ, nghĩa là độ đo Lebesgue là T -bất biến



∪ a + 1

2 ,

b + 12





∪ a + 1

2 ,

b + 12

= b − a = µ (b, a)

Do đó T∗µ = µ trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con Khi nửa đại số này tạo

ra σ -đại số, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov, ta thấy T∗µ = µ,nghĩa là độ đo Lebesgue là T- bất biến

iii)Ánh xạ liên phân số

Ánh xạ liên phân số T : [0, 1) → [0, 1) được xác định bởi:

Dễ dàng thấy rằng ánh xạ liên phân số không bảo toàn độ đo Lebesgue vì tồn tại

B ∈ β sao cho T−1B và B có độ đo khác nhau

Mặc dù ánh xạ liên phân số không bảo toàn độ đo Lebesgue nhưng nó bảo toàn độ

đo Gauss’ được xác định bởi

µ (B) = 1

ln 2Z

b + n,

1

a + n



1 1+xdx



= ln 21 (ln (b + 1) − ln (a + 1))

Định lý 2.9

i Nếu f ∈ L2(R/Z, β, µ) thì sn hội tụ đến f trong L2, nghĩa là: R |sn− f |2dµ → 0khi n → ∞

ii Nếu f ∈ C (R/Z) thì δn hội tụ đều đến f khi n → ∞, nghĩa là: kδn− f k∞ → 0khi n → ∞.

Một số ví dụ:

i)Phép quay một đường tròn

Cho T (x) = x + α mod 1 là phép quay đường tròn Ta sẽ chỉ ra µ là T-bất biếnbằng sử dụng chuỗi Fourier Ta đã biết: µ là T-bất biến nếu và chỉ nếu

Cho T : X → X xác định bởi T (x) = 2x mod 1

Ta sẽ chỉ ra rằng µ là T-bất biến bằng sử dụng chuỗi Fourier

Nếu f có chuỗi Fourier P

n

cne2πinx thì f ◦ T có chuỗi FourierP

n

cne2πi2nx Do đóZ

Chương 3

ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC

Định nghĩa 3.1: Cho (X, β, µ) là một không gian xác suất và cho T : X → X làmột phép biến đổi bảo toàn độ đo Ta nói rằng T là một phép biến đổi Ergodic( hoặc

µ là một độ đo Ergodic) nếu, với B ∈ β, có T−1B = B ⇒ µ (B) = 0 hoặc 1

Chú ý: Nếu T−1A = A với 0 < µ (A) < 1 thì có thể cắt T : X → X thành T : A → A

và T : (X\A) → (X\A) với các độ đo xác suất bất biến tương ứng µ(A)1 µ ( ∩ A) và

Vì T bảo toàn độ đo µ, ta có:

Nếu T là Ergodic và µ (B∆B∞) = 0 thì µ (B) = 0 hoặc 1

(i) ⇒ (ii) Giả sử rằng T là Ergodic và f ∈ L1(X, β, µ) với f ◦ T = f µ -h.k.n Với

µ T−1X (k, n) ∆X (k, n)
= 0

Do đó µ (X (k, n)) = 0 hoặc µ (X (k, n)) = 1

Với mỗi n cố định, ta có

µ

X∆ ∪

µ - h.k.n

(ii) ⇒ (i) Giả sử B ∈ β với T−1B = B thì ta có χB ∈ L1(X, β, µ) và χB◦ T (x) =

χB(x) ∀x ∈ X Mà χB là hàm hằng µ - h.k.n Vì vậy µ (B) = RBχBdµ = 0 hoặc 1Vậy T là Ergodic

a)Các phép quay một đường tròn

Cố định α ∈ R và định nghĩa T : R/Z → R/Z bởi T (x) = x + α mod 1

Ta đã biết rằng T bảo toàn độ đo Lebesgue

Định lý 3.4

Cho T (x) = x + α mod 1

i Nếu α ∈ Q thì T không là Ergodic

ii Nếu α /∈ Q thì T là Ergodic

Chứng minh

(i) Giả sử α ∈ Q và viết α = pq với p, q ∈ Z và q 6= 0 Định nghĩa

f (x) = e2πiqx∈ L2(X, β, µ)

Giả sử T là Ergodic Khi đó ta có

f (T x) = e2πiq

 x+p/q



= e2πi(qx+p)= e2πiqx= f (x)

Mà f không là hàm hằng Điều này mâu thuẫn với mệnh đề 3.2

Vậy T không là Ergodic

(ii) Giả sử rằng α /∈ Q Giả sử f ∈ L2(X, β, µ) sao cho f ◦ T = f h.k.n Giả sử f

Vậy T là Ergodic

b)Ánh xạ kép

Cho X = R/Z và định nghĩa T : X → X bởi T (x) = 2x mod 1

Tính chất 3.5

Ánh xạ kép T là Ergodic đối với độ đo Lebesgue µ

Chứng minh Cho f ∈ L2(X, β, µ) và giả sử rằng f ◦ T = f µ -h.k.n

Giả sử f có chuỗi Fourier

với ∀m ∈ Z, j=0,1,2, Bổ đề Riemann-Lebesgue nói rằng an → 0 khi |n| → ∞ Do đó,nếu m 6= 0, ta có am = a2j m → 0 khi j → ∞ Do đó với m 6= 0 ta có am = 0 Tức f cóchuỗi Fourier là a0 và phải là một hằng số h.k.n.

B

1

1 + xdx.

3.4 Sự tồn tại của các độ đo Ergodic

Định nghĩa 3.2: µ ∈ M (X, T ) được gọi là điểm cực trị nếu có

µ = αµ1+ (1 − α) µ2với µ1, µ2 ∈ M (X, T ), 0 < α < 1 thì ta có µ = µ1 = µ2

Định lý 3.7

Các mệnh đề sau đây là tương đương:

i Độ đo xác suất T- bất biến µ là Ergodic;

ii µ là một điểm cực trị của M (X, T )

Chứng minh

i ⇒ ii Hiển nhiên

ii ⇒ i Giả sử µ không là Ergodic

Khi đó tồn tại B ∈ β sao cho T−1B = B và 0 < µ (B) < 1 Ta định nghĩa độ đo xácsuất µ1 và µ2 trên X bởi

µ1(A) = µ (A ∩ B)

µ (B) , µ2(A) =

µ (A ∩ (X\B))

µ (X\B) .

µ2 T−1A
= µ (T

−1A ∩ (X\B))

µ (X\B) = µ2(A)nghĩa là µ1 và µ2 cùng thuộc M (X, T )

Tuy nhiên, chúng ta có thể viết µ như tổ hợp lồi không tầm thường

Chúng ta xét hàm số tiếp theo f1 và định nghĩa

Lập luận như trên M1 là một tập con không rỗng đóng của M0

Tiếp tục quy nạp, chúng ta định nghĩa

với mỗi Mj không rỗng và đóng

Bây giờ chúng ta xét các giao

M∞ =j=∞∩

j=0 Mj.Nhận thấy M∞ không rỗng nên có thể chọn được µ∞ ∈ M∞ Ta sẽ chỉ ra rằng µ∞ làcực trị

Giả sử có thể viết µ∞= αµ1+ (1 − α) µ2 với µ1, µ2 ∈ M (X, T ) , 0 < α < 1

Ta phải chỉ ra rằng µ1 = µ2 Vì {f i}∞i=0 là trù mật trong C (X, R) nên ta chỉ cần chỉ ra

f0dµ1,Z

3.5 Phép truy toán và Ergodic đơn trị

3.5.1 Định lý phép truy toán của Poincare

Cho (X, β, µ) là không gian xác suất

Định lý 3.9 (Định lý phép truy toán của poincare)

Cho T : X → X là phép biến đổi bảo toàn độ đo của (X, β, µ) và cho A ∈ β có

µ (A) > 0 thì với x ∈ A µ -h.k.n, quỹ đạo {Tnx}∞n=0 quay lại A vô hạn lần

Chứng minh Đặt E = {x ∈ A|Tnx ∈ A} với vô hạn n thì ta phải chỉ ra rằng

µ (A\E) = 0

Nếu ta viết

F = {x ∈ A|Tnx /∈ A∀n ≥ 1}

Bây giờ ta giả sử rằng n>m và T−mF ∩ T−nF 6= ∅ Nếu y nằm trong giao này thì

Tmy ∈ F ; Tn−m(Tmy) = TnF ∈ F ⊂ A Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của F

Vì vậy T−mF ; T−nF là rời nhau Vì {T−kF }∞n=0 là họ rời nhau nên ta có

Định lí 3.10 Cho X là không gian metric compact và cho T : X → X là một phépbiến đổi liên tục Các mệnh đề sau đây là tương đương:

Chứng minh

(ii) → (i): Giả sử rằng µ, v là các độ đo xác suất T-bất biến, ta sẽ chỉ ra rằng µ=v.Lấy tích phân biểu thức trong (ii) ta có

X

f dv

và vì vậy µ= v (theo định lí biểu diễn Riesz)

(i) → (ii) Cho M (X, T ) = {µ} Nếu (ii) là đúng thì theo định lí hội tụ Dominated

Giả sử α /∈ Q Bằng cách sử dụng chuỗi Fourier, chứng minh T là Ergodic bảo toàn độ

c(n+jm,m) = = c(n+m,m) = c(n,m) với |e2πinα| = 1 Nếu m 6= 0 thì (n + jm, m) → ∞ khi j → ∞ Sử dụng bổ đềRiemann-Lebesgue ta có c(n,m) = 0 nếu m 6= 0 Khi đó f có chuỗi Fourier:

c(0,0)

Vậy T là Ergodic bảo toàn độ đo Lebesgue

ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC< /h2>

Định nghĩa 3.1: Cho (X, β, µ) khơng gian xác suất cho T : X → X làmột phép biến đổi bảo tồn độ đo Ta nói T phép biến đổi Ergodic(

µ độ đo Ergodic) ... class="page_container" data-page="17">

2.3 Các ví dụ phép biến đổi bảo toàn độ đo< /h3>

Phần đưa số ví dụ phép biến đổi bảo toàn độ đobằng cách sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov sử dụng... bảo tồn độ đo Lebesgue tồn

B ∈ β cho T−1B B có độ đo khác

Mặc dù ánh xạ liên phân số khơng bảo tồn độ đo Lebesgue bảo tồn độ

đo Gauss’ xác định

µ (B) = 1