Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác

Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác nhằm tìm ra giải đáp cho vấn đề đã nêu và điều quan trọng là đề cập đến những áp dụng của nó trong chương trình toán Trung học phổ thông.

Mët sè ph²p chuyºn êi b£o to n c¤nh v  gâc cõa tam gi¡c

TS Trành  o Chi¸n Tr÷íng Cao ¯ng S÷ Ph¤m Gia Lai

Trong qu¡ tr¼nh s¡ng t¡c ho°c t¼m tái líi gi£i cho nhúng b i to¡n li¶n quan ¸n c¡c y¸u tè gâc v  c¤nh cõa tam gi¡c, mët v§n · tü nhi¶n sau ¥y ÷ñc n£y sinh: Nhúng ph²p bi¸n êi n o m  £nh cõa ba gâc (c¤nh) cõa mët tam gi¡c công lªp th nh ba gâc (c¤nh) cõa mët tam gi¡c? B i vi¸t n y ph¦n n o t¼m c¥u gi£i ¡p cho v§n · ¢ n¶u

v  i·u quan trång l , · cªp ¸n nhúng ¡p döng cõa nâ trong ch÷ìng tr¼nh to¡n Trung håc phê thæng L÷u þ r¬ng, trong khuæn khê câ h¤n, b i vi¸t ch÷a · cªp ¸n nhúng

¡p döng s¥u s­c hìn, li¶n quan ¸n kh¡i ni»m "ë g¦n ·u" cõa mët d¢y c¡c tam gi¡c x¡c ành

1 Ph²p chuyºn êi b£o to n gâc cõa tam gi¡c

1.1 Ph²p chuyºn êi

Trong t i li»u [1], b i to¡n cì b£n sau ¥y ¢ ÷ñc · cªp

B i to¡n 1.1 X¡c ành c¡c h m sè f (x) li¶n töc trong o¤n [0; π], sao cho f (A),

f (B) , f (C) luæn t¤o th nh sè o c¡c gâc cõa mët tam gi¡c n o â ùng vîi måi tam gi¡c ABC cho tr÷îc

Gi£i Tr÷îc h¸t ta câ nhªn x²t r¬ng, hai h m sè f (x) = x v  f (x) = π

3 thäa m¢n b i to¡n

Ta ph¡t biºu b i to¡n d÷îi d¤ng sau:

X¡c ành c¡c h m sè f (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] v 

f (x) > 0, f (x) + f (y) + f (π − x − y) = π, ∀x, y ∈ (0; π) , x + y < π (1) Cho y → 0+, ta thu ÷ñc

f (x) + f (0) + f (π − x) = π, ∀x ∈ (0; π)

f (π − x) = π − f (0) − f (x) , ∀x ∈ (0; π) Thay v o (1), ta thu ÷ñc

f (x) + f (y) + (π − f (0) − f (x + y)) = π, ∀x, y ∈ (0; π) , x + y ≤ π

hay

f (x) + f (y) = f (x + y) + f (0) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π (2)

°t f (x) = f (0) + g (x) Khi â g (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] v  (2) câ d¤ng

f (0) + g (x) + f (0) + g (y) = f (0) + g (x + y) + f (0) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π

⇔ g (x) + g (y) = g (x + y) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π (3)

Do g (x) li¶n töc trong o¤n [0; π] n¶n (3) l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, mët d¤ng ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n, câ nghi»m g (x) = αx Suy ra f (x) = f (0) + αx

°t f (0) = β, ta ÷ñc f (x) = αx + β

Ta c¦n x¡c ành α, β º f (x) > 0, ∀x ∈ (0; π), x+y < π v  f (A)+f (B)+f (C) = π hay

(

αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ;

αA + β + αB + β + αC + β = π

⇔

(

αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ;

α (A + B + C) + 3β = π

⇔

(

αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ;

απ + 3β = π

⇔







αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ;

β = (1 − α) π

Do â

f (x) = αx +(1 − α) π

Cho x → 0+, tø (4), suy ra

(1 − α) π

Cho x → π−, tø (4), suy ra

απ +(1 − α) π

hay α ≥ −1

2 Vªy −1

2 ≤ α ≤ 1 Vîi −1

2 < α < 1, th¼ f (x) x¡c ành bði (4) hiºn nhi¶n thäa m¢n b i to¡n

X²t α = −1

2 th¼ f (x) = −1

2x +

π

2 thäa m¢n i·u ki»n b i ra

Thªt vªy, vîi 0 < x < π th¼ f (x) > f (π) = 0 Suy ra f (x) > 0, ∀x ∈ (0; π) X²t α = 1 th¼ f (x) = x hiºn nhi¶n thäa m¢n i·u ki»n b i ra Vªy c¡c h m sè c¦n t¼m ·u câ d¤ng

f (x) = αx +(1 − α) π

1

2 ≤ α ≤ 1

Nh÷ vªy, líi gi£i tr¶n ¥y ¢ v²t h¸t t§t c£ c¡c nghi»m, l  c¡c h m sè f (x), thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa b i to¡n

B¥y gií, ta ti¸p töc t¼m ki¸m nhúng ¡p döng cö thº cõa b i to¡n tr¶n v  x²t nhúng tr÷íng hñp kh¡c m  b i to¡n ch÷a · cªp

Tø B i to¡n 1.1, ta câ

2 ≤ α ≤ 1, n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼

A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = αA + (1 − α) π

(1 − α) π

(1 − α) π

công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

M»nh · 1.2 Vîi α < −1

2, n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < (α − 1) π

3α , th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = αA + (1 − α) π

(1 − α) π

(1 − α) π

công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

Chùng minh Thªt vªy, vîi α < −1

2, ta câ

max {A, B, C} < (α − 1) π

3α ⇒ A < (α − 1) π

3α

⇒ 3αA + (1 − α) π > 0 ⇒ αA + (1 − α) π

3 > 0 ⇒ A1 > 0.

T÷ìng tü B1 > 0 v  C1 > 0 Hìn núa, A1+ B1+ C1 = π, n¶n ta câ i·u ph£i chùng minh

M»nh · 1.3 Vîi α > 1, n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n min {A, B, C} > (α − 1) π

3α , th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = αA + (1 − α) π

(1 − α) π

(1 − α) π

công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

Chùng minh Thªt vªy, vîi α > 1, ta câ

min {A, B, C} > (α − 1) π

3α ⇒ A > (α − 1) π

3α

⇒ 3αA + (1 − α) π > 0 ⇒ αA + (1 − α) π

3 > 0 ⇒ A1 > 0.

T÷ìng tü B1 > 0 v  C1 > 0 Hìn núa, A1+ B1+ C1 = π, n¶n ta câ i·u ph£i chùng minh

D÷îi ¥y l  mët sè tr÷íng hñp ri¶ng, minh håa cho c¡c m»nh · tr¶n

- Tø M»nh · 1.1, vîi α = −1

2, ta câ H» qu£ 1.1 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = π − A

π − B

π − C 2 hay

A1 = B + C

C + A

A + B 2 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

- Tø M»nh · 1.1, vîi α = 1

2, ta câ H» qu£ 1.2 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = π + 3A

π + 3B

π + 3C 6 hay

A1 = 4A + B + C

4B + C + A

4C + A + B 6 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

- Tø M»nh · 1.2, vîi α = −2

3, ta câ H» qu£ 1.3 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < 5π

6 , th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = 5π − 6A

5π − 6B

5π − 6C 9 hay

A1 = 5B + 5C − A

5C + 5A − B

5A + 5B − C 9 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

- Tø M»nh · 1.2, vîi α = −4

5, ta câ H» qu£ 1.4 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < 3π

4 , th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = 3π − 4A

3π − 4B

3π − 4C 5 hay

A1 = 3B + 3C − A

3C + 3A − B

3A + 3B − C 5 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

- Tø M»nh · 1.2, vîi α = −1, ta câ

H» qu£ 1.5 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < 2π

3 , th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = 2π

3 − A, B1 = 2π

3 − B, C1 = 2π

hay

A1 = 2B + 2C − A

2C + 2A − B

2A + 2B − C 3 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

- Tø M»nh · 1.2, vîi α = −2, ta câ

H» qu£ 1.6 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n max {A, B, C} < π

2, tùc l  tam gi¡c ABC nhån, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = π − 2A, B1 = π − 2B, C1 = π − 2C

A1 = B + C − A, B1 = C + A − B, C1 = A + B − C công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

- Tø M»nh · 1.3, vîi α = 2, ta câ

H» qu£ 1.7 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n min {A, B, C} > π

6, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = 2A −π

3, B1 = 2B −

π

3, C1 = 2C −

π 3 hay

A1 = 5A − B − C

5B − C − A

5C − A − B 3 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

- Tø M»nh · 1.3, vîi α = 4, ta câ

H» qu£ 1.8 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c thäa m¢n min {A, B, C} > π

4, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = 4A − π, B1 = 4B − π, C1 = 4C − π hay

A1 = 3A − B − C, B1 = 3B − C − A, C1 = 3C − A − B công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

B¥y gií, nhªn x²t r¬ng, vîi −1

2 ≤ α ≤ 1, ta câ

A1 = αA + (1 − α) π

(1 − α) (A + B + C)

3

= (1 + 2α)

(1 − α)

(1 − α)

T÷ìng tü nh÷ biºu di¹n tr¶n èi vîi B1 v  C1

°t α1 = 1 + 2α

3 , β1 = γ1 = 1 − α

3 Th¸ th¼ α1, β1, γ1 ≥ 0v  α1+ β1+ γ1 = 1 Khi

â

A1 = α1A + β1B + γ1C, B1 = α1B + β1C + γ1A, C1 = α1C + β1A + γ1B

công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.

Nhªn x²t tr¶n gñi þ cho ta k¸t qu£ sau

M»nh · 1.4 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷









A1 = αA + βB + γC;

B1 = αB + βC + γA;

C1 = αC + βA + γB,

(5) trong â α, β, γ ≥ 0 v  α + β + γ = 1, công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

Chùng minh D¹ d ng kiºm tra ÷ñc r¬ng A1, B1, C1 > 0 v  A1 + B1 + C1 = (α + β + γ) (A + B + C) = 1.π = π

B¥y gií, gi£ sû ng÷ñc l¤i, A1, B1, C1 l  ba gâc cõa mët tam gi¡c cho tr÷îc Ta c¦n x¡c ành c¡c gâc A, B, C cõa tam gi¡c ABC thäa m¢n h» ph÷ìng tr¼nh (5) n¶u tr¶n Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh n y (câ thº b¬ng ph÷ìng ph¡p sû döng ành thùc),

ta ֖c

A = (α

2− βγ) A1+ (γ2− αβ) B1+ (β2− γα) C1

B = (α

2− βγ) B1+ (γ2− αβ) C1+ (β2− γα) A1

C = (α

2− βγ) C1 + (γ2− αβ) A1+ (β2− γα) B1

vîi i·u ki»n ph¡t sinh l  α, β, γ khæng çng thíi b¬ng nhau (b¬ng 1

3)

º thèng nh§t trong vi»c tr¼nh b y nëi dung c¡c m»nh ·, ta thay êi k½ hi»u c¡c gâc cõa hai tam gi¡c cho nhau v  thu ÷ñc k¸t qu£ sau

M»nh · 1.5 Cho c¡c sè α, β, γ ≥ 0, khæng çng thíi b¬ng nhau (b¬ng 1

3) v 

α + β + γ = 1 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷









A1 = α1A + β1B + γ1C;

B1 = α1B + β1C + γ1A;

C1 = α1C + β1A + γ1B,

(6)

trong â

2 − βγ

α3+ β3+ γ3− 3αβγ;

2− αβ

α3+ β3+ γ3− 3αβγ;

γ1 = β

2− γα

α3+ β3+ γ3− 3αβγ, công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

Ch¯ng h¤n, c¡c sè α, β, γ sau ¥y thäa m¢n M»nh · 1.5

α = sin2ϕ, β = cos2ϕ, γ = 0

Do â, n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A1, B1, C1 x¡c ành nh÷ sau

A1 = α1A + β1B + γ1C;

B1 = α1B + β1C + γ1A;

C1 = α1C + β1A + γ1B, trong â

4ϕ sin6ϕ + cos6ϕ;

β1 = − sin2ϕ.cos2ϕ sin6ϕ + cos6ϕ;

4ϕ sin6ϕ + cos6ϕ, công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

B¥y gií, ta ti¸p töc c¡c h÷îng khai th¡c kh¡c º c¡c k¸t qu£ t¼m ÷ñc phong phó hìn

Nhªn x²t r¬ng, trong c¡c k¸t qu£ ð c¡c ph¦n tr¶n ¥y, c¡ch thi¸t lªp c¡c gâc A1,

B1, C1 tø c¡c gâc A, B, C câ t½nh ho¡n và váng quanh Do â, vai trá cõa c¡c gâc A1,

B1, C1 l  nh÷ nhau Trong ph¦n ti¸p theo, ta s³ thi¸t lªp c¡c gâc cõa mët tam gi¡c m  vai trá cõa chóng khæng nh÷ nhau, v¼ t½nh ho¡n và váng quanh khæng thüc hi»n ÷ñc Ch¯ng h¤n, tø M»nh · 1.1 ta th§y r¬ng, vîi α l  sè thüc b§t k¼, n¸u °t

A2 = αA, B2 = αB, C2 = αC + (1 − α) π, th¼ A2+ B2+ C2 = π Do â, n¸u A2 > 0, B2 > 0, C2 > 0 th¼ A2, B2, C2 l  ba gâc cõa mët tam gi¡c Ta câ c¡c k¸t qu£ sau

M»nh · 1.6 Vîi 0 < α ≤ 1, n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A2, B2,

C2 x¡c ành nh÷ sau

A2 = αA, B2 = αB, C2 = αC + (1 − α) π,

công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c.

Chùng minh Rã r ng A2 > 0, B2 > 0, C2 > 0 Suy ra i·u ph£i chùng minh

- Tø M»nh · 1.6, vîi α = 1

2, ta câ H» qu£ 1.10 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A2, B2, C2 x¡c ành nh÷ sau

A2 = A

2, B2 =

B

2, C2 =

π + C 2 công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, trong â C2 l  gâc tò

M»nh · 1.7 Vîi 0 < α ≤ 2, n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, trong

â C l  gâc tò, th¼ A2, B2, C2 x¡c ành nh÷ sau

A2 = αA, B2 = αB, C2 = αC + (1 − α) π, công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

Chùng minh Rã r ng A2 > 0, B2 > 0 Ngo i ta, ta câ

C > π

2 ⇒ C2 = αC + (1 − α) π > απ

2 + (1 − α) π =

(2 − α) π

2 ≥ 0 ⇒ C2 > 0 Suy ra i·u ph£i chùng minh

- Tø M»nh · 1.7, vîi α = 2, ta câ

H» qu£ 1.11 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, trong â C l  gâc tò, th¼ A2, B2, C2 x¡c ành nh÷ sau

A2 = 2A, B2 = 2B, C2 = 2π − C công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

2 ≤ α < 0, n¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼

A3, B3, C3 x¡c ành nh÷ sau

A3 = αA + mπ, B3 = αB + nπ, C3 = αC + pπ,

trong â

m ≥ −α, n ≥ −α, p ≥ −α, m + n + p = 1 − α, công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

Chùng minh Ta câ

A3+ B3+ C3 = α (A + B + C) + (m + n + p) π = απ + (1 − α) π = π

Ngo i ra, ta câ

A < π ⇒ −αA < −απ ⇒ −α > −αA

Theo gi£ thi¸t, ta câ m ≥ −α Dâ â

m > −αA

π ⇒ αA + mπ > 0 ⇒ A3 > 0

T÷ìng tü, ta câ B3 > 0 v  C3 > 0

Cuèi còng, v¼ m ≥ −α , n ≥ −α , p ≥ −α, n¶n 1 − α = m + n + p ≥ −3α

Nh÷ vªy, gi£ thi¸t α ≥ −1

2 s³ £m b£o ÷ñc r¬ng 1 − α ≥ −3α

Ta câ i·u ph£i chùng minh

- Tø M»nh · 1.8, vîi α = −1

4, m = 1

4, n = 1

4, p = 3

4, ta câ H» qu£ 1.12 N¸u A, B, C l  ba gâc cõa mët tam gi¡c, th¼ A3, B3, C3 x¡c ành nh÷ sau

A3 = −A

π

4, B3 = −

B

π

4, C3 = −

C

3π

4 , công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c

Ti¸p theo, d¹ d ng chùng minh ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau ¥y

M»nh · 1.9 N¸u tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån (ho°c vuæng t¤i C), th¼ A3, B3, C3

x¡c ành nh÷ sau

A3 = π

2 − A, B3 = π

2 − B, C3 = π − C, công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c tò (ho°c vuæng t¤i C3)

M»nh · 1.10 N¸u tam gi¡c ABC câ gâc C tò (ho°c vuæng), th¼ A3, B3, C3 x¡c

ành nh÷ sau

A3 = π

2 − A, B3 = π

2 − B, C3 = π − C, công l  ba gâc cõa mët tam gi¡c nhån (ho°c vuæng t¤i C3)

1.2 p döng

Tø nhúng k¸t qu£ ð ph¦n 1.1 ta th§y r¬ng, vîi ba gâc cõa mët tam gi¡c cho tr÷îc,

câ thº t¤o ra ÷ñc ba gâc cõa mët tam gi¡c mîi v  do â câ thº suy ra ÷ñc nhi·u h» thùc l÷ñng gi¡c li¶n quan ¸n c¡c gâc cõa tam gi¡c â Hìn núa, b¬ng c¡ch phèi hñp nhúng ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau, ta cán câ thº t¤o ra ÷ñc nhi·u ¯ng thùc v  b§t

¯ng thùc l÷ñng gi¡c kh¡c, væ còng phong phó

Sau ¥y l  mët v i v½ dö

Gi£ sû r¬ng, ta ¢ chùng minh ÷ñc c¡c h» thùc sau ¥y v  xem chóng l  nhúng h» thùc "gèc" ban ¦u

sin A + sin B + sin C ≤ 3

√ 3

cos A cos B cos C ≤ 1

0 < sin A sin B sin C ≤ 3

√ 3

p döng H» qu£ 1.1 v o (7), ta câ

sin π − A

2

 + sin π − B

2

 + sin π − C

2



≤ 3

√ 3

2 . Nh÷ vªy, ta ¢ t¤o ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

2 + cos

B

2 + cos

C

2 ≤ 3

√ 3

2 .

p döng H» qu£ 1.1 v o (8), ta câ

cos π − A

2

 cos π − B

2

 cos π − C

2



≤ 1

8. Nh÷ vªy, ta ¢ t¤o ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

2 sin

B

2 sin

C

2 ≤ 1

8

p döng H» qu£ 1.1 v o (10), ta câ

sin 2 π − A

2

 + sin 2 π − B

2

 + sin 2 π − C

2



= 4 sinπ − A

π − B

π − C

hay

sin (π − A) + sin (π − B) + sin (π − C) = 4 sinπ − A

π − B

π − C

Nh÷ vªy, ta ¢ t¤o ÷ñc ¯ng thùc sau

¯ng thùc 1.1 sin A + sin B + sin C = 4cosA

2cos

B

2cos

C

2 B¥y gií, º s¡ng t¡c th¶m nhúng h» thùc a d¤ng hìn, ta ti¸p töc khai th¡c nhúng k¸t qu£ tr¶n, ch¯ng h¤n tø B§t ¯ng thùc 1.2 ta câ

8 sinA

2 sin

B

2 sin

C

2 ≤ 1 ⇔ 32 sinA

2 sin

B

2 sin

C

2.cos

A

2cos

B

2cos

C

2 ≤ 4cosA

2cos

B

2cos

C 2

⇔ 4



2 sinA

2cos

A 2

 

2 sinB

2cos

B 2

 

2 sinC

2cos

C 2



≤ 4cosA

2cos

B

2cos

C 2

⇔ 4 sin A sin B sin C ≤ 4cosA

2cos

B

2cos

C

Nh÷ vªy, ta ¢ t¤o ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

B§t ¯ng thùc 1.3 sin A sin B sin C ≤ cosA

2cos

B

2cos

C

2 Bði (10) v  ¯ng thùc 1.1, tø (11), ta câ b§t ¯ng thùc sau

B§t ¯ng thùc 1.4 sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C

Ta ti¸p töc khai th¡c B§t ¯ng thùc 1.4 Nhªn x²t r¬ng, n¸u tam gi¡c ABC l  tam gi¡c nhån th¼, ¡p döng H» qu£ 1.6 v o B§t ¯ng thùc 1.4, ta câ

sin 2 (π − 2A) + sin 2 (π − 2B) + sin 2 (π − 2C)

≤ sin (π − 2A) + sin (π − 2B) + sin (π − 2C)

⇔ − sin 4A − sin 4B − sin 4C ≤ sin 2A + sin 2B + sin 2C

Nh÷ vªy, ta ti¸p töc t¤o ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

B§t ¯ng thùc 1.5 sin 2A + sin 2B + sin 2C + sin 4A + sin 4B + sin 4C ≥ 0 B¥y gií, ¡p döng H» qu£ 1.10 v o B§t ¯ng thùc 1.4, ta câ

sin



2.A

2

 + sin



2.B 2

 + sin



2.π + C 2



≤ sinA

2 + sin

B

2 + sin

π + C

Ta t¤o ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

B§t ¯ng thùc 1.6 sin A + sin B − sin C ≤ sinA

2 + sin

B

2 + cos

C

2 B¥y gií, gi£ sû tam gi¡c ABC câ gâc C tò p döng H» qu£ 1.11 v o B§t ¯ng thùc 1.1, ta câ

cos2A

2 + cos

2B

2 + cos

2C − π

√ 3

2 .

Ta t¤o ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

B§t ¯ng thùc 1.7 cos A + cos B + sin C ≤ 3

√ 3 2



C > π

2

Ti¸p theo, gi£ sû tam gi¡c ABC nhån (ho°c vuæng t¤i C) p döng M»nh · 1.9

v o (9), ta câ

0 < sinπ

2 − Asinπ

2 − Bsin (π − C) ≤ 3

√ 3 8

Ta ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

B§t ¯ng thùc 1.8 0 < cos A cos B sin C ≤ 3

√ 3 8



2

B¥y gií, gi£ sû tam gi¡c ABC câ gâc C tò (ho°c vuæng) p döng M»nh · 1.10

v o (7), ta câ

0 < sinπ

2 − A+ sinπ

2 − B+ sin (π − C) ≤ 3

√ 3 2

Ta ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

B§t ¯ng thùc 1.9 0 < cos A + cos B + sin C ≤ 3

√ 3 2



2

2 Ph²p chuyºn êi b£o to n c¤nh cõa tam gi¡c

2.1 Ph²p chuyºn êi

Hai b i to¡n sau công ¢ ÷ñc t i li»u [1] · cªp

B i to¡n 2.1 X¡c ành c¡c c°p sè α, β º h m sè f (x) = αx + β câ t½nh ch§t

l  f (a), f (b), f (c) luæn lªp th nh ë d i c¡c c¤nh cõa mët tam gi¡c ùng vîi måi tam gi¡c ABC cho tr÷îc

Gi£i º f (a), f (b), f (c) l  ë d i c¡c c¤nh cõa mët tam gi¡c, tr÷îc h¸t ta ph£i câ

f (a) > 0, f (b) > 0, f (c) > 0, ∀∆ABC

Suy ra

αa + β > 0, αb + β > 0, αc + β > 0, ∀∆ABC (12)

Do â α ≥ 0 Thªt vªy, n¸u α < 0, β tòy þ th¼ ta chån tam gi¡c ABC câ a õ lîn Khi â, theo t½nh ch§t cõa nhà thùc bªc nh§t, ta công s³ nhªn ÷ñc αa + β < 0 Tr÷íng hñp khi çng thíi x£y ra α = 0, β = 0 th¼ f (x) ≡ 0 khæng thäa m¢n b i to¡n

Ng÷ñc l¤i, vîi α ≥ 0, β ≥ 0, α + β > 0 th¼ ta th§y f (a), f (b), f (c) l  ë d i c¡c c¤nh cõa mët tam gi¡c, do a, b, c l  ë d i ba c¤nh cõa tam gi¡c ABC Thªt vªy, ta câ

f (a) + f (b) > f (c) , f (b) + f (c) > f (a) , f (c) + f (a) > f (b) ,









αa + β + αb + β > αc + β

αb + β + αc + β > αa + β

αc + β + αa + β > αb + β hay











α (a + b) + β > αc

α (b + c) + β > αa

α (c + a) + β > αb

i·u n y hiºn nhi¶n v¼ α ≥ 0, β ≥ 0, α + β > 0

Vªy vîi α ≥ 0, β ≥ 0, α + β > 0 th¼ h m sè f (x) = αx + β câ t½nh ch§t l  f (a),

f (b), f (c) luæn lªp th nh ë d i c¡c c¤nh cõa mët tam gi¡c ùng vîi måi tam gi¡c ABC cho tr÷îc

B i to¡n 2.2 X¡c ành c¡c c°p sè α, β º h m sè f (x) = 1

αx + β câ t½nh ch§t

l  f (a), f (b), f (c) luæn lªp th nh ë d i c¡c c¤nh cõa mët tam gi¡c ùng vîi måi tam gi¡c ABC cho tr÷îc

Gi£i Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta luæn gi£ thi¸t a ≥ b ≥ c

Nhªn x²t r¬ng, h m sè g (x) = 1

x (ph²p nghàch £o) khæng câ t½nh ch§t g (a), g (b),

g (c) l  ë d i c¡c c¤nh cõa mët tam gi¡c ùng vîi måi tam gi¡c ABC cho tr÷îc Thªt