Một số vấn đề của lý thuyết xác suất trên không gian Banach

Một số vấn đề của lý thuyết xác suất trên không gian Banach.

tingale 91.4 Bất đẳng thức đẳng chu của tích độ đo 12

2.1 Đối xứng hoá và một số bất đẳng thức của tổng các biến

ngẫu nhiên độc lập 142.2 Tính khả tích của tổng đại lượng ngẫu nhiên độc lập 232.3 Sự tập trung và dáng điệu đuôi 43

Lời nói đầu

Lý thuyết xác suất ra đời vào thế kỷ 17 bởi các nhà toán học Pháp.Tuy nhiên, phải đến nửa đầu thế kỷ 20 mới thực sự có một cơ sở vữngchắc Kể từ đó môn khoa học này không ngừng phát triển Ngày nay nó

đã trở thành một ngành toán học lớn chiếm vị trí quan trọng, không chỉ

có nhiều ứng dụng mà còn là một ngành toán có tầm lý thuyết ở trình

Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn Trong chươngnày, tác giả nêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên trong khônggian Banach, chuổi biến Rademacher và bất đẳng thức đẳng chu Đây lànhững kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiêntrong không gian Banach ở các chương sau

Chương 2 Trình bày về tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập Đây

là một trong hai chương chính của luận văn Trong chương này, đượcchia thành ba phần: Phần đầu xem xét phương pháp đối xứng hoá trong

nghiên cứu các tính chất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập, với cácbất đẳng thức quan trọng như bất đẳng thức co Phần hai nghiên cứutính khả tích của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập với các định lý quantrọng là định lý 2.11 và 2.11 Phần cuối, quan trọng nhất với việc sửdụng bất đẳng thức đẳng chu để đánh giá biến cố đuôi, ở định lí 2.29.Chương 3 Trình bày về luât mạnh số lớn của tổng các biến ngẫunhiên trong không gian Banach Nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn củatổng các biến ngẫu nhiên độc lập Chương này được chia làm hai phần:Phần đầu nêu phát biểu chung của định lý giới hạn với kết quả quantrọng nhất là định lý 3.5; phần hai là áp dụng phát biểu chung đưa racác luật số lớn cụ thể.

Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, ngườihướng dẫn khoa học của mình là GS TSKH Đặng Hùng Thắng Người

đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình nghiên cứucủa tác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trongkhoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại họcQuốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về kiến thức, tài liệu

và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, năm 2009

Học viên

Tạ Công Sơn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Phần này, ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả cần dùng trong phầntiếp theo như: Các khái niệm, tính chất cơ bản liên quan tới biến ngẫunhiên với giá trị trong không gian Banach; bất đẳng thức đẳng chu; bấtđẳng thức co; và dãy biến Rademacher với các tính chất của nó

Với mục tiêu chính của luân văn là nghiên cứu về tổng các biến ngẫunhiên trong không gian Banach Vì vậy, chương này chỉ chứng minh haibất đẳng thức về dãy tổng riêng là bất đẳng thức Levy và bất đẳng thứcOttavani-Kolmogorov

1.1 Biến ngẫu nhiên với giá trị trong không

gian Banach

Ở đây, trình bày một số khái niệm và tính chất liên quan tới biến ngẫunhiên nhận giá trị trong không gian Banach như: Khái niệm về biếnngẫu nhiên với giá trị trong không gian Banach, các sự hội tụ trong củabiến ngẫu nhiên trong không gian Banach, tính khả tích

Ký hiệu B là không gian Banach trên R với chuẩn k.k, B0 là khônggian liên hợp của B

Giả thiết không gian xác suất (Ω, A, P) là đầy đủ, và không gian Bthoả mãn điều kiện: tồn tại tập đếm được D là tập con của hình cầu

đơn vị trong không gian liên hợp B0 sao cho :

Biến ngẫu nhiên X với giá trị trong B được gọi là Radon, nếu mỗi

ε > 0, tồn tại tập compac K(ε) trong B sao cho

P{X ∈ K} ≥ 1 − ε

Nói cách khác, độ đo ảnh của P qua X là một độ đo Radon trên (B, B).Hay tương đương với X nhận hầu hết các giá trị trong một không giantuyến tính đóng, tách được Hơn nữa, điều này lại tương đương với tínhchất: X là giới hạn hầu chắc chắn của dãy hàm đơn giản:

X

i

xiIAi với xi ∈ B, Ai ∈ A

Đối với biến ngẫu nhiên X, khi đó độ đo xác suất ảnh trên B µ = µX

của P qua X được gọi là phân phối xác suất của X

Khi đó phân phối của biến ngẫu nhiên Radon là hoàn toàn được xácđịnh bởi hình chiếu của nó; chính xác hơn, nếu X,Y là các biến ngẫunhiên Radon sao cho mọi f ∈ B0: f (X) và f (Y ) (như là biến ngẫu nhiênthực) có cùng phân phối thì µX = µY

Kết hợp với định lý trong trường hợp thực, thì ta có : các phiếm hàmđặc trưng trên B0:

E exp{if (X)} =

Z

B

exp{if (x)}dµ(x) f ∈ B0

xác định hoàn toàn phân phối của X

Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối thoả mãn µX = µ(−X) thì tanói biến ngẫu nhiên X là đối xứng

Ta nói, µn hội tụ yếu tới µ và ký hiệu µn ⇒ µ nếu và chỉ nếu

lim

n→∞

Zϕdµn =

Zϕdµ

với mọi ϕ liên tục và bị chặn trên B.

Không gian tất cả các độ đo xác suất Radon trên (B, P(B)) cùngvới tô pô yếu xác định từ sự hôi tụ yếu ở trên là không gian metric đủ

Vì vậy để kiểm tra dãy µn hội tụ yếu ta cần chỉ ra (µn) compac yếu đồngthời tất cả các giới hạn có thể là như nhau

Đối với điều kiện đầu, một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra là định

lý Prokhonov:

Tập (µi)i∈I trong P(B) là compac tương đối với tô pô yếu khi và chỉ khimọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B để

µi(K) ≥ 1 − ε với mọi i ∈ I

Dãy (Xn) các biến ngẫu nhiên Radon với giá trị trong B gọi là hội

tụ đến X nếu dãy phân phối µXn ⇒ µX Để kiểm tra (Xn) hội tụ yếuđến X ta cần kiển tra f (Xn) hôi tụ yếu tới f (X) với mọi f ∈ B0 và dãy(Xn) là chặt theo nghĩa:

Mọi ε > 0, tồn tại tập compac K trong B với

P(kXnk > ε) ≥ 1 − εvới mọi n hoặc n đủ lớn

Dãy (Xn) gọi là hội tụ theo xác suất tới X nếu với mọi ε > 0

Dãy (Xn) hội tụ hầu chắc chắn tới X nếu

B00 Nếu phần tử này thực sự thuộc B thì ta ký hiệu phần tử đó là EX

và khi đó ta nói X là khả tích yếu (hay khả tích Pettis) Nói cách khác,nếu tồn tại a ∈ B sao cho với mọi f ∈ B0, ta có Ef (X) = f (a) thì X làkhả tích yếu, và viết EX = a

Nếu biến ngẫu nhiên Radon X khả tích mạnh thì khả tích yếu Đồngthời ta có

kEXk ≤ EkXk

Ở đây ta cũng nhắc lại một tính chất quan trọng được thiết lập từbất đẳng thức Jensen và tính độc lập Nếu X là biến ngẫu nhiên Radonvới giá tri trong B mà EX = 0 ( tức Ef (X) = 0 với mọi f ∈ D) ta nói

X có kỳ vọng không hay X là quy tâm

Với F là một hàm lồi trong R+, X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lậplấy giá trị trong B sao cho EF (kXk) < ∞ và nếu Y có kì vọng 0

Ta có:

Tiếp theo ta sẽ chứng minh hai bất đẳng thức quan trọng của dãytổng riêng của dãy biến ngẫu nhiên độc lập (có thể tham khảo các chứngminh này trong [1])

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Levy) Cho(Xi) là biến ngẫu nhiên đối xứngnhận giá trị trong B Với mọi k, đặt Sk =

và tương tự, khi thay Si bởi Xi

Hơn nữa, nếu tính khả tích đươc đảm bảo thì với mỗi p: 0 < p < ∞

E max

k≤N kSkkp ≤ 2EkSNkp

và tương tự, khi thay Sk bởi Xk

Chứng minh Ta chỉ chứng minh khẳng định đầu, các khẳng định khácchứng minh tương tự

Đặt

τ = inf{k ≤ N : kSkk > t}

Được điều phải chứng minh.

Bất đẳng thức tiếp theo được đề cập tới là bất đẳng thức Kolmogorov Chứng minh của nó được suy ra theo kiểu chứng minh củabất đẳng thức Levy

Ottavani-Định lý 1.2 Cho {Xi}i≤N là dãy biến ngẫu nhiên Borel độc lập với cácgiá trị trong không gian Banach tách được B Xét Sk =

k

P

i=1

Xi (k ≤ N )thì với mọi s, t > 0

P{max

k≤N kSkk > s + t} ≤ P{kSNk > t}

1 − max

k≤N P(kSN − Skk > s)Chứng minh Xét

Khi đó {τ = k} chỉ phụ thuộc vào X1, X2, , Xk và

Vậy nên, khi τ = k và kSN − Skk ≤ s thì kSNk > t

Cùng với tính độc lập của {τ = k} và SN − Sk nên:

1.2 Biến Rademacher, nguyên lý Co

Việc nghiên cứu trực tiếp chuỗi ngẫu nhiên trong không gian Banach làkhó khăn Vì vậy, như một bước trung gian ta sẽ nghiên cứu các kết quảcho trường hợp chuỗi đặc biệt dạng P

i

xiεi, với εi là các biến ngẫu nhiênthực nào đó Như là một phép nhúng biến ngẫu nhiên thực vào khônggian các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Dướiđây, ta xem xét các tính chất của chuổi dạng trên

Ta gọi dãy (εi) các biến ngẫu nhiên Bernulli độc lập nhận giá trị

±1với xác suất bằng nhau và bằng 1/2 là dãy Rademacher, và chuỗidạng P εiαi (với αi ∈ B) là chuỗi Rademacher

Cho (Xi) là một dãy các biến ngẫu nhiên trong B, gọi (εi) là dãyRademacher độc lâp của (Xi), khi đó: (Xi) là đối xứng nếu và chỉ nếu(Xi) cùng phân phối với (εiXi)

Ở đây, ta nêu một số tính chất (chứng minh được trình bày ở [5] và[7]) của chuỗi Rademacher

Định lý 1.3 Với 0 < p < ∞ khi đó tồn tại các hằng số dương Ap và

Bp phụ thuộc vào p sao cho với mọi dãy số thực hữu hạn (αi) Ta có

Ap(Xα2i)1/2 ≤ kXεiαikp ≤ Bp(Xα2i)1/2.Đặc biệt, p = 1 thì

(Xα2i)1/2 ≤ √2kXεiαik1

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Co) Cho F : R+ → R+ là lồi, không giảm.Mỗi dãy hữu hạn (xi) trong không gian Banach B và mỗi dãy số thực(αi) sao cho với mọi i, kαik ≤ 1 với mọi i Ta có:

là ánh xạ co, sao cho ϕi(0) = 0 Thì với mọi tập T trong RN

1

2.đánh giá thứ hai là hiển nhiên)

1.3 Các bất đẳng thức đối với biến ngẫu

nhiên thực và Martingale

Mục tiêu của ta là nghiên cứu các tính chất của tổng các biến ngẫu nhiênvới giá trị trong không gian Banach Tuy nhiên, hầu hết đều dẫn đếnviệc đánh giá các biến cố đuôi dạng:

{|kSNk − EkSNk| > t}

Mặt khác, nếu đặt

di = E(kSNk|Ai)

Ω sao cho E|f | < ∞ giả sử ta xét họ các σ đại số:

{∅, Ω} = Ao ⊂ A1 ⊂ ⊂ AN = A

và E(f |Ai) là kì vong có điều kiện đối với Ai cho f trong L1 đặt

di = E(f |Ai) − E(f |Ai−1)gọi là hiệu martingale (vì E(di|Ai−1) = 0) ta có:

P{|f − Ef | > t} ≤ 2exp{−t2/Cqa2}

Cp > 0 chỉ phụ thuộc vào q

Định lý 1.9 Cho (Xi) là dãy hữu hạn của các biến ngẫu nhiên thực độclập có kì vọng không, sao cho kXik∞ ≤ a ∀i Thì mọi ν > 0 , tồn tại sốthực dương K(ν)(đủ lớn), và ε(ν)sao cho mọi t thoả mãn: t ≥ K(ν)b,

1.4 Bất đẳng thức đẳng chu của tích độ đo

Phần cuối của chương này, ta đề cập đến một bất đẳng thức rất quantrọng để nghiên cứu tổng đại lượng ngẫu nhiên Đó là bất đẳng thứcđẳng chu cho tích độ đo

Cho một không gian xác suất (E, Σ, µ) và một số nguyên N > 1

Ký hiệu P là tích độ đo µ⊗N trên EN một điểm x trong EN có hệ số

x = (x1, , xN) với xi ∈ E, A là một tập con của EN Chúng ta đặt:

H(A, q, k) ={x ∈ EN : ∃x1, , xq ∈ A sao cho card{i ≤ N : xi ∈ {x/ 1i, , xqi}} ≤ k}Khi đó, ta có bất đẳng thức đẳng chu để ước lượng cỡ của H(A, q, k) với

độ đo P (Chứng minh có trong [6])

Định lý 1.11 Với A là tập đo được với độ đo tích trong không gian EN.Khi đó, có hằng số K để:

P∗(H(A, q, k)) ≥ 1 − [K(ln(

1 P(A))

1

q)]

k

với P∗ là độ đo xác suất ngoài

Đặc biệt, với P(A) ≥ 1

Ở chương sau, ta sẽ áp dụng nhận xét quan trọng này để đánh giá biến

cố đuôi của tổng biến ngẫu nhiên độc lập

Tuy nhiên, chúng ta cần nhấn mạnh rằng trong không gian Banachtổng quát, thiếu hẳn giả thiết trực giao E(P Xi)2 = P

EXi2; với (Xi) làdãy các biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng không Vì vậy việc mở rộngnày sẽ là công việc tương đối khó khăn Do đó ta cần có những phươngpháp khác để nghiên cứu Phương pháp đầu tiên được nói đến là phươngpháp đối xứng hoá, được trình bày trong phần một; phương pháp thứhai là phương pháp dùng dãy Rademacher cũng được trình bày ở phầnmột và phần ba; phương pháp thứ ba là phương pháp nghiên cứu thôngqua dãy martigale thực ở phần ba; và cuối cùng và cũng là quan trọngnhất là sử dụng bất đẳng thức đẳng chu, được chỉ rõ ở phần ba

Với ý tưởng như trên, chương này được chia làm ba phần: Phần mộtnghiên cứu phương pháp đối xứng hoá, và áp dụng nó để chứng minhđịnh lí Lévy- Itô-Nisio, bất đẳng thức co Phần hai nghiên cứu tính khảtích của tổng các đại lượng ngẫu nhiên, bất đầu bằng bất đẳng thứcHoffmana-Jorgensen, sau đó là bất đẳng thức momen của tổng các biếnngẫu nhiên độc lập, và nhưng kết luận về tính khả tích Phần ba với áp

dụng của bất đẳng thức đẳng chu, để đánh giá ước lượng đuôi của tổngcác biến ngẫu nhiên độc lập và định lí mở rộng về tính khả tích.

Các kết quả ở chương này dùng để nghiên cứu chương sau về cácđịnh lí giới hạn

2.1 Đối xứng hoá và một số bất đẳng thức

của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

Ý tưởng cơ bản trong nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiên độc lập làkhái niệm đối xứng hoá Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ xác định trên(Ω, A, P); ta có thể xây dựng một biến ngẫu nhiên đối xứng theo nghĩae

X = X − X0, xác định trên (Ω × Ω0, A × A0, P × P0) và được gọi là đốixứng hoá của X Với X’ là bản sao độc lập với X (xây dựng trên khônggian xác suất khác (Ω0, A0, P0)) Phân phối của X và X-X’ là thực sự liênquan; chẳng hạn, ta có một số bất đẳng thức sau:

Định lý 2.1 Với mọi t; a > 0; ta có

P{kXk ≤ a}P{kXk > t + a} ≤ P{k eXk > t}

Chứng minh Từ kX − X0k ≥ kXk − kX0k suy ra

{kX0k ≤ a} ∩ {kXk > t + a} ⊂ {kX − X0k > t}

cùng với tính độc lập, và cùng phân phối của X và X0 ta có đpcm

Đặc biệt, khi ta chon a sao cho P(kXk ≤ a) ≥ 1

2 thì ta cóP{kXk > t + a} ≤ 2P{k eXk > t}

Điều này cũng suy ra một kết luận quan trọng về mối liên hệ củatính khả tích giữa X và eX rằng:

Hệ quả 2.2

với mọi p > 0

(theo bất đẳng thức trên) Vậy ta được điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.3 Ta có thể tổng quát khẳng định trên (với việc chứng minhtương tự) cho hàm f là hàm khả vi, lồi, tăng thì

h ∈ D để cho: |h(X(ω))| > t + a (do trong B thì kxk = sup

Chứng minh Thật vậy, với ω sao cho kX(ω)k > t + a thì tồn tại h ∈ D

để h(X(ω)) > t + a, từ đó suy ra với ω0 mà kX(ω) − X0(ω0)k < t thì vớimọi f ∈ D ta có f (X(ω) − X0(ω0)) < t Vậy

Định lý 2.6 Cho {Xi} là dãy biến ngẫu nhiên Borel độc lập với các giátrị trong không gian Banach tách được B Xét Sn =

n

P

i=1

Xi (n ≥ 1) Cácđiều sau là tương đương

i) (Sn) hội tụ h.c.c

ii) (Sn) hội tụ theo xác suất

iii) (Sn) hội tụ yếu

Chứng minh Trước hết ta chứng minh cho trường hợp đối xứng:

Ta thấy (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) là hiển nhiên

Ta sẽ chứng minh (iii) ⇒ (ii) Để chứng minh điều này ta chứng minh

Xi −→ 0.P

Do (Xi) là compắc tương đối yếu, nên tồn tại dãy con (Xik) để Xik −yếu→ X

vì vậy suy ra mọi hàm tuyến tính f thì f (Xik) −yếu→ f (X) Nhưng f (Sn)hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên thực, nên với mọi ε > 0 vàtôn tại M > 0 sao cho

Ta chứng minh (ii) ⇒ (i)

Do Sn −→ S, khi đó tồn tại dãy con (nP k) sao cho

Theo bổ đề Borel-Cantelli ta có, dãy (Sn) là dãy cơ bản hầu chắc chắnnên cũng hội tụ hầu chắc chắn, vậy ta có (i)

Tiếp theo ta chứng minh cho trường hợp tổng quát

Tất nhiên ta chỉ cần chứng minh (iii) suy ra (i) là đủ

Giả sử (Sn) hội tụ yếu tới biến ngẫu nhiên S, trên không gian xácsuất khác (Ω0, A0, P0); ta xét bản sao (Xi0) của (Xi) và xét Sn0 = Pn

i=1Xn0.Khi đó (Sn0) hội tụ yếu tới S0, là biến ngẫu nhiên có cùng phân phối vớiS

Đặt eSn = Sn− Sn0 ; eS = S − S0 định nghĩa trên Ω × Ω, vậy ( eSn) là đốixứng Lại do tính liên tục của tích chập nên eSn −yếu→ eS, theo chứng minh

trên thì eSn −−→ eh.c.c S Khi đó tồn tại ω0 trong Ω0 sao cho

Sn − Sn0(ω0) −−→ S − Sh.c.c 0(ω0) (∗)

(vì nếu ngược lại thì tồn tại  < 1 để Pω 0(A) > 1/2 với

Aε = {ω0 : Pω{Sn− Sn0(ω0)hội tụ } < }

nhưng theo định lí Fubini thì P{Sn − Sn0hội tụ } < 1)

Ta thấy rằng (Sn0(ω0)) là dãy compact tương đối trong B, hơn nữa cóhàm đặc trưng , với mỗi f trong B0 thoả mãn:

exp{if (Sn0(ω0))} −→ exp{if (S0(ω0))}

Suy ra f (Sn0(ω0)) −→ f (S0(ω0)) và vì vậy Sn0(ω0) hội tụ trong B đến

S0(ω0), cùng với (*) ta có điều phải chứng minh

Phương pháp đối xứng hoá được minh hoạ rõ hơn trong mệnh đề sauđây

Định lý 2.7 Cho F : R+ −→ R+ là lồi, thì mọi dãy hữu hạn (Xi) cácbnn độc lập có kì vọng 0 trong B, sao cho EF (kXik) < ∞ ∀i :

với (εi) là dãy Rademecher độc lập của (Xi)

Chứng minh Xét eX = X − X0 và lấy (εi) là dãy Rademecher độc lập từ(Xi) và (Xi0) Khi đó vì P

i

Xi với kì vọng 0, theo bất đẳng thức (1.1) tacó

Phần tiếp theo, ta sử dụng các kết quả đã biết của tổng các biếnRademecher để thu được các kết quả cho tổng các biến ngẫu nhiên độclập tổng quát Với tư tưởng tổng quát như sau:

Xuất phát từ kết quả của dãy Rademecher, chẳng han dạng

Ef (x1ε1, , xNεN) ≤ Eg(x1ε1, , xNεN) với mọi x1, , xN ∈ B

suy ra

Eεf (X1(ω)ε1, , XN(ω)εN) ≤ Eεg(X1(ω)ε1, , XN(ω)εN) với mọi ω ∈ Ω

Vì vậy, lấy kỳ vọng hai vế ta được

Ef (X1ε1, , XNεN) ≤ Eg(X1ε1, , XNεN)Khi đó, nếu thêm giả thiết (Xi) đối xứng thì ta được kết quả đối với cácbiến (Xi):

ξi = ϕi(Xi) với ϕi : R −→ R là đối xứng, và tương tự đối với

ζi Khi đó, nếu |ξi| ≤ |ζi| a.s với mọi i, cho mọi hàm lồi, không giảm

Chúng ta cũng có, với ∀ t > 0

P(kX

i

ξiXik > t) ≤ 2P(kX

i

ζiXik > t)

Bất đẳng thức trong trường hơp đặc biệt áp dụng khi ξi = 1{Xi∈Ai} ≤

1 ≡ ζi với Ai độc lập, đối xứng trong B ( trong trường hợp cụ thể

Cùng với hai đẳng thức trên, ta có bất đẳng thức đầu

Bất đẳng thức thứ hai đựợc thiết lập tương tự với việc áp dụng bất đẳngthức (1.3)

Thật vậy, do tính chất cùng phân phối và định lý Fubini ta có

P(kX

Với mỗi ω, theo bất đẳng thức (1.3) thì

Sau đó lấy tích phân hai vế theo ω ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 2.9 Với X, Y là hai biến ngẫu nhiên đối xứng, độc lập và hàm

F là hàm lồi, tăng; áp dụng với ξ1 = 1, ξ2 = 0 và ζ1 = 1, ζ2 = 1 thì ta có:

i

εi|f (Xi)|

!

≤ EF (kX

i

εiXik) (2.3)Khi Xi là biến ngẫu nhiên đối xứng và độc lập trong L2(B), chúng ta có:

Chứng minh (2.3) là đơn giản khi áp dụng Định lý 1.5, với

i

εi|f (Xi)|

... tổng kết tính khả tích cho tổng biến ngẫunhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach, dựa bấtđẳng thức lập luận

Định lý 2.17 Cho (Xi)i∈N dãy biến ngẫu nhiên độc lập... ap < ∞).Thứ hai: Từ định lý 2.17 ta có P

Hệ 2.19 Cho dãy (Xn) biến ngẫu nhiên độc lập thuộc Lp(Ω)với giá trị không gian Banach, đặt Sn =

n... đưa vài ý tưởng đơn giản,đặc biệt bất đẳng thức quan trọng J.Hoffmann- Jorgensen v? ?một số hệ nó.

Định lý 2.11 Cho (Xi)i≤N biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá