Điểm bất động chung cho sáu xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

Năm 1993, Singh giói thi¾u khái ni¾m các ánh xa giaohoán yeu trong không gian metric xác suat qua bài báo “Fixedpoints of weakly commuting mappings on Menger spaces”.Sn dnng khái ni¾m cá

đe tôi hoàn thành Lu¤n văn này.

Tôi bày tó lòng biet ơn đoi vói Ban giám hi¾u, Phòngsau Đai hoc và các thay cô giáo đã t¤n tình quan tâm giángday trong suot quá trình hoc t¤p tai trưòng Đai hoc Sư pham

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¤n văn này do tôi tu làm dưói suhưóng dan cúa TS Hà Đnc Vưong

Trong quá trình nghiên cnu và hoàn thành Lu¤n văn,tôi đã ke thna nhñng thành quá cúa các nhà khoa hoc vói sutrân trong và biet ơn Các ket quá trích dan trong lu¤n văn làtrung thuc và đã đưoc chí rõ nguon goc

Hà N®i, tháng 10 năm 2012

Tác giá

Lai Th% Thanh Hu¾

Mnc lnc

M

N

1

2 Không gian metric xác suat v à điem bat đ®ng 21

2.1 Không gian metric xác suat 222.2 Không gian metric xác suat Menger 312.3 Nguyên lý ánh xa co Banach trong không gian metric

5

1.1 Không gian metric 5

1.2 Không gian metric đay đú

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Cho M là m®t t¤p hop bat kì, T là m®t ánh xa đi tn M

vào chính nó Điem x ∈ M thóa mãn phương trình T x = x

đưoc goi là điem bat đ®ng cúa ánh xa T trên t¤p hop M

Vi¾c nghiên cnu ve điem bat đ®ng cúa m®t ánh xa

đã thu hút nhieu nhà toán hoc quan tâm và các ket quá ve lĩnhvuc này hình thành nên: “Lý thuyet điem bat đ®ng”

Năm 1922, m®t ket quá kinh đien ve điem bat đ®ngđưoc công bo, đó là nguyên lý ánh xa co Banach

Năm 1942, Menger đã đưa ra khái ni¾m “metric xácsuat” Đó là su mó r®ng “xác suat” cúa khái ni¾m metric thôngthưòng: thay cho vi¾c xét khoáng cách d (x, y), ngưòi ta xéthàm phân bo F x,y (t) bieu dien xác suat đe cho d (x, y) < t,vói t là m®t so thuc nào đó Khái ni¾m này đã thu hút su quantâm cúa nhieu nhà toán hoc, đ¤c

bi¾t là Schweizer và Sklar đã xây dung thành lý thuyet ve khônggian metric xác suat và viet thành sách chuyên kháo xuat bánnăm 1983 Nguyên lý ánh xa co Banach đã đưoc mó r®ng sanglóp không gian này

Năm 1993, Singh giói thi¾u khái ni¾m các ánh xa giaohoán yeu trong không gian metric xác suat qua bài báo “Fixedpoints of weakly commuting mappings on Menger spaces”.

Sn dnng khái ni¾m các ánh xa R-giao hoán yeu tnngđiem

(pointwise R-weakly commuting) và các ánh xa liên tnc ngh%chđáo (reciprocally continuous), Kumar và Chugh đã công bo m®t

so ket quá ve điem bat đ®ng chung cho các ánh xa này trongkhông gian metric

Năm 2005, Mihet đã có ket quá mó r®ng ve điem batđ®ng cho lóp ánh xa co xác suat, công bo trong bài báo: “Ageneralization of a contraction principle in probabilistic metricspaces, Part II”

Năm 2010, m®t ket quá ve điem bat đ®ng chung chosáu ánh xa co xác suat vói quan h¾ an cúa các tác giá thu®ctrưòng Đai hoc Delhi cúa An Đ®: J K Kohli, Sachin Vashistha

và Durgesh Kumar đưoc công bo trong bài báo: “A Common Fixed Point Theorem for Six Mappings in Probabilistic Metric Spaces Satisfying Contrac- tive Type Implicit Relations”.

Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, nhò

su hưóng dan t¤n tình cúa TS Hà Đnc Vưong, tôi manh danchon đe tài nghiên cnu:

“Điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa co vái quan h¾

an trong không gian metric xác suat”

Lu¤n văn đưoc trình bày vói 3 chương n®i dung và m®tdanh mnc tài li¾u tham kháo

Chương 1: trình bày ve không gian metric, không gian metric

đay đú và nguyên lý ánh xa co Banach

Chương 2: trình bày ve không gian metric xác suat, không

gian metric xác suat Menger và su mó r®ng nguyên lý ánh xa coBanach trong lóp không gian này

Chương 3: trình bày ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa

co vói quan h¾ an trong không gian metric xác suat, các h¾ quá

và ví dn

2 Mnc đích nghiên cNu

Mnc đích cúa đe tài là nghiên cnu ve điem bat đ®ngchung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an trong không gianmetric xác suat Công trình nghiên cnu dua trên ket quá cúa J

K Kohli, Sachin Vashistha và Durgesh Kumar trong bài báo: “ACommon Fixed Point Theorem for Six Mappings in ProbabilisticMetric Spaces Satisfying Contractive Type Implicit Relations”,đăng trên tap chí Int Journal of Math Analysis, năm 2010

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

H¾ thong các ket quá đã đat đưoc ve điem bat đ®ngchung cho sáu ánh xa co vói quan h¾ an trong không gianmetric xác suat

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cnu ve điem bat đ®ng chung cho sáu ánh xa covói quan h¾ an trong không gian metric xác suat

5 Phương pháp nghiên cNu

- D%ch, đoc, nghiên cnu tài li¾u

- Tong hop kien thnc, v¤n dnng cho mnc đích nghiên cnu

6 DN kien đóng góp

Đây se là m®t bài tong quan ve điem bat đ®ng chungcho sáu ánh xa co vói quan h¾ an trong không gian metric xácsuat Giúp ngưòi đoc hieu nhñng khái ni¾m và tính chat cơ bán

ve không gian metric xác suat, đ¤c bi¾t là điem bat đ®ng chungcho sáu ánh xa co vói quan h¾ an trong không gian metric xácsuat

Chương 1

Kien thNc chuan b%

Cho M là m®t t¤p hop bat kì, T là m®t ánh xa đi tn Mvào chính nó Điem x ∈ M thóa mãn phương trình T x = x

đưoc goi là điem bat đ®ng cúa ánh xa T trên t¤p hop M

Vi¾c tìm điem bat đ®ng cúa m®t ánh xa đã góp phanđac luc cho vi¾c giái quyet hàng loat bài toán quan trong trongToán hoc nói riêng, trong khoa hoc kĩ thu¤t nói chung

Trong chương này chúng tôi h¾ thong lai m®t so kienthnc cơ bán ve không gian metric và ket quá kinh đien ve điembat đ®ng, đó là nguyên lý ánh xa co Banach

1.1 Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là m®t t¤p hop X ƒ=

∅ cùng vói m®t ánh xa d tn tích Descartes X × X vào t¤phop so thuc R thóa mãn các tiên đe sau đây:

1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y

2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X.

3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X

Ánh xa d goi là metric trên X, so d (x, y) goi là khoáng cách giña hai phan tn x và y Các phan tn cúa X goi là các điem

Ví dn 1.1.1 Cho không gian Rn, vói moi x = (x1 , x2 ,

x n), y = (y1 , y2, , y n) thu®c Rn, ta đ¤t:

d (x, y) = max xi y i

1≤i≤n

Ta có d là m®t metric trên Rn

Chúng minh Ta kiem tra 3 tiên đe metric:

Hien nhiên ta có |x i − y i | ≥ 0, ∀i = 1, 2,

| −

|

max |xi − y i | ≤ max |x i − z i | + max |z i − y i |

Do đó d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z

∈ Rn V¤y 3 tiên đe metric đưoc thóa mãn

Suy ra d là m®t metric trên Rn

Ví dn 1.1.2 Cho t¤p hop các hàm so thuc liên tnc trên đoan

[a, b], kí hi¾u C [a,b], vói hai phan tn bat kỳ x (t) , y (t) ∈

C [a,b] ta đ¤t:

d1 (x, y) = max x (t) y (t)

a≤t≤b

Ta có d1 là m®t metric trên C [a,b]

Chúng minh Ta kiem tra 3 tiên đe metric:

Vói hai hàm so bat kì x (t) , y (t) ∈ C[a,b], ta có:

V¤y 3 tiên đe metric đưoc thóa mãn Suy ra d1 là m®t metric trên

C [a,b]

Ví dn 1.1.3 Trong t¤p hop C [a,b] nói trên, neu lay khoáng cách giña hai phan tn x (t) , y (t) ∈ C[a,b] bang:

thì d2 cũng là m®t metric trên C [a,b]

Th¤t v¤y, ta kiem tra ba tiên đe

|x (t) − y (t)| dt =

|y (t) − x (t)| dt.

(|x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)|)dt a

|z (t) − y (t)| dt.

Do đó d2 (x, y) ≤ d2 (x, z) + d2 (z, y) , ∀x, y, z ∈ C[a,b].V¤y 3 tiên đe metric đưoc thóa mãn

Như v¤y d2 cũng là m®t metric trên C [a,b]

T¤p hơp C [a,b] vói metric d2 đưoc kí hi¾u là C L

Nh¾n xét 1.1.1 Trên cùng m®t t¤p hop ta có the xác đ%nh

đưoc các metric khác nhau Chang han như trong các ví dn 1.1.2

Nh¾n xét 1.1.2 Không gian Metric là m®t không gian tôpô.

Vói m®t điem x bat kỳ trong không gian metric X ta đ%nh nghĩa m®t

hình cau mó bán kính r > 0, tâm x là t¤p hop

B (x; r) = {y ∈ X : d (x, y) < r}

Ho hình cau mó này sinh ra m®t tôpô trên X (tôpô sinh bóimetric) Khi đó X tró thành không gian tôpô

1.2 Không gian metric đay đú

Đ%nh nghĩa 1.2.1 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy điem

{x n } ⊂ X, điem x0 ∈ X Dãy điem {x n } goi là h®i tn tóiđiem x0 trong không gian metric X khi n → ∞, neu ∀ε > 0,

∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 ta có d (xn , x ) < ε, kí hi¾u

lim xn = x0 hay

→∞

x n → x0 khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.2.2 [1] Cho không gian metric (X, d) Dãy điem

{x n } ⊂ X goi là dãy cơ bán trong X, neu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao

cho ∀n, m ≥ n0 ta có d (xn , x m) < ε Hay

lim

d (xn , x m) = 0.

m,n→∞

Nh¾n xét 1.2.1 Cho không gian metric (X, d) Moi dãy điem

{x n } ⊂ X h®i tn trong X đeu là dãy cơ bán

Đ%nh nghĩa 1.2.3 [1] Không gian metric (X, d) goi là khônggian metric đay đú, neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn tóim®t phan tn cúa X

n

Ví dn 1.2.1 Trong không gian Rn xét trong ví dn 1.1.1, su h®i tn

cúa dãy điem .x (m)

V¤y su h®i tn trong Rn là su h®i tn theo toa

đ® Ta có không gian Rn là không gian metric

đay đú

Th¤t v¤y, giá sn .x (m) = ,x (m) , x (m) , , x (m), , m = 1, 2,

là

dãy cơ bán tùy ý trong Rn

Theo đ%nh nghĩa dãy cơ bán ∀ε > 0, ∃m0 ∈ N∗, ∀m, p ≥ m0

là dãy so thuc cơ bán, nên ton tai giói han

theo toa đ® tói x trong không gian Rn

Mà su h®i tn trong không gian Rn là su h®i tn theo toa đ®, nêndãy

x

cơ bán x (m) ⊂ Rn đã cho h®i tn tói x trong không gian Rn.V¤y Rn là không gian metric đay đú.

Ví dn 1.2.2 Trong không gian C L su h®i tn cúa dãy x n (t) tói

C L là không gian metric không đay đú

Th¤t v¤y, cho [a, b] = [0, 1] và xét dãy x n (t) như sau:

2 +

2n

¸

1 2

De thay dãy cơ bán này không h®i tn tói phan tn nào trong C L

.Th¤t v¤y, giá sn x n (t) h®i tn tói m®t x (t) nào đó trong

Nhưng ta lai có

1

¸

|x n (t) − 1| dt → 0,

V¤y x (t) và 1 cùng là giói han cúa x n (t) trong C L ; x (t) và0

V¤y không gian C L

là không gian metric không đay đú

Ví dn 1.2.3 Cho X là m®t t¤p hop nào đó và (Y, d) là m®t không gian metric Kí hi¾u B là t¤p tat cá các hàm b% ch¤n f

: X → Y

[a,b

]

Vói các hàm b% ch¤n f và g bat kỳ thu®c B, ta đ¤t

d0 (f, g) = sup d (f (x) , g (x))

x∈X

thì (B, d0) là m®t không gian metric Neu (Y, d) là không gian metric đay đú, thì (B, d0) cũng se là không gian metric đay đú

Chúng minh Trưóc tiên ta chí ra (B, d0) là m®t không gian metric Th¤t v¤y, ta kiem tra 3 tiên đe metric:

Do d là metric trên Y nên d (f (x) , g (x)) ≥ 0, vói moi f, g

x∈X sup d (g (x) , f

=

x∈X

d0 (g, f ) Suy ra d0 (f, g) = d0 (g, f ) , ∀f, g ∈ B

Cuoi cùng ta xét vói moi f, g, h ∈ B, ∀x ∈ X ta có

Như v¤y (B, d0) là không gian metric

Neu Y là không gian metric đay đú, ta chnng minh B cũng làkhông gian metric đay đú

Th¤t v¤y, giá sn {f n } là dãy cơ bán trong không gian B, khi đóvói

moi x ∈ X dãy {f n (x)} là dãy cơ bán trong không gian Y

Do Y là không gian đay đú nên dãy {f n (x)} h®i tn tói hàm f

(x) trong Y , tnc là ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 tacó:

V¤y moi dãy cơ bán {f n } trong không gian B đeu h®i tn tói hàm f

trong B

Do đó B là không gian metric đay đú

1.3 Nguyên lý ánh xa co Banach

Đ%nh nghĩa 1.3.1 [1] Cho hai không gian metric (X, d1) và

(Y, d2) Ánh xa A tn không gian X vào không gian Y goi làánh xa co neu ton tai so k ∈ [0, 1) sao cho:

d2 (Ax, Ay ) ≤ kd1 (x, y) , ∀x, y ∈ X.

Đ%nh lí 1.3.1 [1] (Nguyên lý ánh xa co Banach) Cho không

gian metric đay đú (X, d) và A : X → X là m®t ánh xa co Khi đó A có điem bat đ®ng duy nhat Nghĩa là ton tai x0 ∈ X

∀p ∈ N∗ , nghĩa là dãy {x n } là dãy cơ bán trong không gian metric

đay đú X Tn đó ton tai lim

Cho n → ∞ ta đưoc d (Ax0, x0) = 0 hay Ax0 = x0, nghĩa là

x0 là điem bat đ®ng cúa ánh xa A

Bây giò ta chnng minh tính duy nhat: Giá sn ton tai y0 ∈ X

trong đó a ij , b i là nhñng hang so thuc thóa mãn:

n

a ij < 1,( i = 1, 2, , n) j=1

Chnng minh h¾ phương trình đã cho có nghi¾m duy nhat

Chúng minh Xét không gian R n, vói metric

V¤y f là ánh xa co, nên theo nguyên lý ánh xa co Banach ton tai duy nhat điem bat đ®ng cúa ánh xa f trong Rn.

Suy ra h¾ y = Ax + b có nghi¾m duy nhat

Trong chương này chúng tôi đã trình bày lai các kháini¾m, tính chat cơ bán ve không gian metric, không gianmetric đay đú cùng m®t so ví dn minh hoa và trình bày ketquá kinh đien ve điem bat đ®ng đó là nguyên lý ánh xa coBanach Đây là nhñng kien thnc nen táng phnc vn cho vi¾cnghiên cnu ve không gian metric xác suat và su mó r®ng nguyên

lý ánh xa co Banach sang không gian metric xác suat đưoc trìnhbày ó chương tiep theo

Trong chương này chúng tôi h¾ thong lai m®t so kháini¾m và tính chat cơ bán ve không gian metric xác suat, vàtrình bày su mó r®ng nguyên lý ánh xa co Banach sang lópkhông gian này.

2.1 Không gian metric xác suat

Đ%nh nghĩa 2.1.1 [11] Giá sn X là không gian tôpô, x0 ∈ X,ánh xa F : X → R đưoc goi là nna liên tnc dưói (lowersemicontinuous) tai x0 neu vói moi ε > 0, ton tai lân c¤n U

cúa x0 sao cho vói moi

Khi đó H (t) là hàm phân bo

Chúng minh Trưóc tiên ta chnng minh H (t) là hàm không giám Vói moi t1, t2 ∈ R và t1 < t2 ta có:

Neu t1 < t2 ≤ 0 thì H (t1) = H (t2) =

0 Neu 0 < t1 < t2 thì H (t1) = H (t2)

= 1

0

Neu t1 ≤ 0, t2 > 0 thì H (t1) = 0, và H (t2) = 1, ta suy ra

H (t1) < H (t2)

Như v¤y ∀t1, t2 ∈ R, t1 < t2 ta có H (t1) ≤ H (t2).

Do đó H (t) là hàm không giám

Tiep theo ta chnng minh H (t) là hàm nna liên tnc dưói

Do H (t) liên tnc trên R\ {0} nên H (t) nna liên tnc dưói trên

R\ {0}

Xét tai t = 0, ta có lim

x→0 − H (t) = 0 = H (0)

Suy ra H (t) nna liên tnc dưói tai t = 0

V¤y H (t) nna liên tnc dưói

Cuoi cùng ta tính inf H (t) và sup H (t)

V¤y H (t) là hàm phân bo

Đ%nh nghĩa 2.1.3 [11] Cho t¤p hop X ƒ= ∅ và D là kíhi¾u t¤p hop tat cá các hàm phân bo M®t không gian metricxác suat (probabilistic metric space) là m®t c¤p sap thn tu

(X, F ) trong đó F là ánh xa tn X × X vào D Giá tr% cúa F

tai (x, y) ∈ X × X đưoc bieu dien bói F x,y, và hàm F x,y thóamãn các đieu ki¾n sau:

thu®c X và t, s ≥ 0.

Khi đó F goi là metric xác suat trên X.

thì (X, F ) là không gian metric xác suat

Chúng minh Trưóc tiên ta chnng minh F x,y là hàm phân bo Vói moi t1, t2 ∈ R, giá sn t1 < t2 ta có

Do F x,y (t) liên tnc trên R\ {0} nên F x,y (t) là hàm nna liên tnc dưói trên R\ {0}.

Xét tai t = 0, ta có lim

t→0 − F x,y (t) = 0 = Fx,y (0)

V¤y F x,y (t) nna liên tnc dưói tai t = 0

Như v¤y F x,y (t) nna liên tnc

V¤y F x,y là hàm phân bo

Tiep theo ta kiem tra các đieu ki¾n cúa metric xác suat đoi vóiánh xa F

Vói moi t > 0 , neu x = y, ta có F x,x (t)

V¤y F x,y (t1 + t2) = 1.

Như v¤y 4 đieu ki¾n ve metric xác suat đưoc thóa

mãn Do đó (X, F ) là không gian metric xác suat

Nh¾n xét 2.1.1 Moi không gian metric đeu là không gian

metric xác suat

Chúng minh Cho không gian metric (X, d), xác suat P

Vói moi x, y ∈ X, ∀t ∈ R đ¤t F x,y (t) = P {d (x, y) <

t} Khi đó (X, F ) là m®t không gian metric xác suat

Th¤t v¤y, trưóc tiên ta chnng minh F x,y là hàm phân bo

Chnng tó F x,y (t) là hàm không giám.

Tiep theo ta chnng minh F x,y (t) là hàm nna liên tnc dưói.

Xét t¤p hop {t ∈ R : Fx,y (t) ≤ 1 − λ} Đe chnng minh F x,y

(t) là hàm nna liên tnc dưói ta se chnng minh {t ∈ R : Fx,y (t) ≤ 1 − λ} là t¤p đóng

Th¤t v¤y, ta se chnng minh đưoc inf F x,y (t) = 0 ó phan sau.Khi đó