ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

Một số định nghĩa trong không gian metric .... Khi trên tập X có trang bị một metric đầy đủ và một độ đo thì sự liên hệ giữa metric và độ đo có những tính chất thú vị.. Trong phạm vi đề

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

I Độ đo ngoài 3

II Một số định nghĩa trong không gian metric 3

1 Đường kính 3

2 Khoảng cách giữa hai tập 3

3 Ánh xạ Holder – Ánh xạ Lipschitz 3

4 ζ-đại số Borel 4

5 Tập μ*-đo được 4

6 Hai tập tách được bởi hàm f 4

III Định lý Carathéodory 4

CHƯƠNG 2 ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN METRIC 5

I Độ đo ngoài Carathéodory 5

II Độ đo Hausdorff trên không gian metric 7

1 Định nghĩa 7

2 Tính chất 8

III Độ đo Hausdorff trong ℝ và ℝ2 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết độ đo được xây dựng trên tập X ≠ ∅ bất kỳ, ta có không gian độ đo (X,ℱ,μ) Khi trên tập X có trang bị một metric đầy đủ và một độ đo thì sự liên hệ giữa metric và độ đo có những tính chất thú vị

Trong phạm vi đề tài này, em xét độ đo Hausdorff và một số tính chất của nó trên không gian metric Xây dựng độ đo Hausdorff bước đầu bằng việc xây dựng độ đo ngoài Carathéodory Từ đó đưa ra ví dụ tính độ đo Hausdorff của một số tập đơn giản

Do thời gian hạn chế nên bài tiểu luận còn nhiều thiếu sót, em hy vọng nhận được

sự góp ý của thầy cô và các bạn Mọi ý kiến và thắc mắc xin gửi về địa chỉ email: voluan.0402@gmail.com

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

I Độ đo ngoài

Cho (X,ρ) là không gian metric, một hàm tập hợp μ: 𝒫(X) → được gọi là một độ

đo ngoài trên X nếu:

(i) μ(∅) = 0

(ii) μ(A) ≤ μ(B); A B, X A; B

(iii) ( i) ( )i

i i





 ; ( )A i i ⊂ 𝒫(X)

II Một số định nghĩa trong không gian metric

1 Đường kính

Cho (X,ρ) là không gian metric, định nghĩa đường kính của một tập A⊂ X, kí hiệu d(A)

là

 

,

sup ( , ).

u v A





2 Khoảng cách giữa hai tập

Cho (X,ρ) là không gian metric Với 2 tập con của X là A và B, ta định nghĩa khoảng cách giữa A và B, kí hiệu ρ(A,B), là

,

( , ) inf (u, v)

u A v B

A B

 



3 Ánh xạ Holder – Ánh xạ Lipschitz

(i) Cho (X,ρ) là không gian metric Một ánh xạ f: X → X được gọi là ánh xạ Holder với

số mũ α và hằng số c > 0 nếu:

(f( ), f(y)) x c (x, y)

,

(ii) Nếu α = 1 thì f là ánh xạ Lipschitz

4 σ-đại số Borel

Cho (X,ρ) là không gian metric Lúc đó ζ-đại số sinh ra bởi họ các tập mở của X đƣợc gọi là ζ-đại số Borel trên X, kí hiệu là ℬ(X) hay đơn giản là ℬ Mỗi phần tử của ℬ(X) đƣợc gọi là một tập Borel

5 Tập μ * -đo được

Cho (X,ρ) là không gian metric, μ* là một độ đo ngoài trên X Một tập A ⊂ X đƣợc gọi

là μ*

-đo đƣợc nếu:

Ta kí hiệu ℒ là lớp tất cả các tập μ*

-đo đƣợc:

A  X   E X  E   E  A   E A

Vì ta luôn có bất đẳng thức * * *

6 Hai tập tách được bởi hàm f

Hai tập con A và B của X đƣợc gọi là tách đƣợc bởi hàm thực f trên X nếu có 2 số thực

a và b mà a < b sao cho f ≤ a trong A và f ≥ b trong B Khi đó ta cũng nói f tách hai tập A

và B

III Định lý Carathéodory

Cho (X,ρ) là không gian metric, μ*

là một độ đo

CHƯƠNG 2 ĐỘ ĐO HAUSDORFF TRÊN KHÔNG GIAN METRIC

I Độ đo ngoài Carathéodory

Mệnh đề 1.1

một độ đo ngoài có tính chất rằng 2 tập A,B bất kì tách được bởi φ, thì:

( A B ) ( ) A ( ) B

 Chứng minh:

Lấy a ∈ ℝ, ta cần chứng minh rằng tập hợp E {x X| ( ) x a} là μ*-đo được + Trước hết ta chứng minh với ε > 0 và A ⊂ X là tập bất kì có độ đo ngoài hữu hạn thì:

Đặt B   A E và C   A EC Với mỗi số tự nhiên n,

{ | ( ) 1 / }

n

B  x B  x  a n và R n B n \B n1

Ta có

1

k n



 

   

Trong B n2 ta có    a 1 / ( n  2), còn trong R nta có    a 1 / ( n  1) Như vậy

n

R và B n2 tách được, do đó R 2kvà

1 2 1

k

j j R



 cũng tách được vì nó chứa trong B2k2 Vì vậy

1

1

j



Từ đó 2

1

k

i j



 

1

k

j j





 , và do đó chuỗi *

2 1

( j)

j R







 hội tụ

Tương tự, chuỗi *

2 1 1

( j )

j R









 hội tụ, chuỗi *

1

( k)

k

R







 cũng hội tụ Chọn n đủ lớn để

*

1

( k)

k n

R



 



1

k n

 

Hay *( Bn)  *( Bn)  

Khi đó

với A,B rời nhau Do đó,

( ) A (B )n (C)

Cho ε → 0 ta suy ra điều phải chứng minh

+ Trường hợp *

A

  thì bất đẳng thức *A  *( A  E )  *( \ ) A E là hiển nhiên đúng

Định nghĩa

( A B ) ( ) A ( ) B

Mệnh đề 1.2

là một độ đo ngoài Carathéodory trên không gian metric (X,ρ) Khi đó mỗi tập

 Chứng minh:

Họ những tập Borel là một ζ-đại số nhỏ nhất chứa các tập đóng, và các tập đo được là một ζ-đại số Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng mỗi tập đóng là đo được Tuy nhiên mỗi tập con đóng F của X có thể được biểu diễn thành 1

(0)

F  f  với f là hàm liên tục trên X xác định bởi

( ) ( ,{ })

f x   F x

Từ đó ta đi chứng minh mỗi hàm liên tục là đo được Để chứng minh điều đó, ta sử dụng mệnh đề 1.1 Thật vậy, cho A và B là hai tập con của X mà tồn tại một hàm số f liên tục trên X và 2 số thực a,b với a < b sao cho f ≤ a trên A và f ≥ b trên B Vì tính liên tục của f, ta có  ( , ) A B  0 Lại có, theo giả thiết*( A  B )  *( ) A  *( ) B Theo mệnh

đề 1.1, ta suy ra rằng mỗi hàm liên tục là đo được Mệnh đề được chứng minh

II Độ đo Hausdorff trên không gian metric

1 Định nghĩa

Cho (X,ρ) là không gian metric và một số s > 0 Với mỗi số thực dương s, ta xác định

một độ đo H s trên ζ-đại số Borel ℬ(X) được gọi là độ đo Hausdorff trên X với số chiều s như sau:

Với mỗi δ > 0 và E ⊂ X ta xét những họ (hữu hạn hay đếm được) tập {Ak} các tập con của X sao cho

1 k

k A E



  và d(Ak) ≤ δ với mọi k (mỗi họ như thế được gọi là một δ-phủ của E) Ta định nghĩa:

1

(E) inf ( )

s

k





Ta có khi δ giảm dần tới 0 thì Hs tăng dần và phải tiến đến một giới hạn, ta đặt

*

0

 



Định lý 1.1

Cho (X,ρ) là không gian metric và s là số thực dương Khi đó

s

H : 2 X

→ [0,∞] là một độ đo ngoài Carathéodory

 Chứng minh:

Dễ thấy rằng Hs*là một hàm tập đơn điệu tăng trên 2X

và *

( ) 0

s

H   Do đó *

s

H là một độ ngoài trên 2X Ta cần chứng minh nó là độ đo ngoài Carathéodory Thật vậy, cho

E và F là hai tập con của X sao cho ( , ) E F  Từ đó ta có

với    : {Ak} là một họ những tập đếm được, mỗi đường kính đều nhỏ hơn δ, chứa

EF , E và F là hai tập tách được Cho δ→0, ta có

Từ Mệnh đề 1.2 (phần Độ đo ngoài Carathéodory) ta suy ra rằng H*s sinh ra một độ

đo trên ζ-đại số mà chứa tập con Borel của X Ta chỉ ra sự thu hẹp của độ đo này trên ℬ(X) bằng Hs và gọi là độ đo Hausdorff s-chiều trên không gian metric X

 Nhận xét

(i) Trong định nghĩa độ đo Hausdorff, có thể thay phủ bất kì bằng phủ mở (phủ đóng) (ii) Nếu X là tập compact thì trong định nghĩa độ đo Hausdorff có thể thay phủ bất kì bằng phủ mở hữu hạn

2 Tính chất

Mệnh đề 2.1

Cho (X,ρ) là không gian metric, A là một tập Borel chứa trong X, s và t là hai số thực

Khi đó:

a/ H s(A)  H t(A)0

(E ) (E) (F)

 Chứng minh

a/ Giả sử H s(A)  Khi đó, với mọi 0  1 ta có H s   Với   1, tồn tại ( Ei) là δ-phủ của A sao cho ( )s (A) 1

i



( (A) 1)

s t s t s s

t s

s

H





Cho δ→0 ta thu được H t(A)0

b/ Từ câu a/ ta có: H t(A) 0 H s(A) với mọi 0     s t

Định lý 2.2

là độ đo Borel chính quy

 Chứng minh:

Ta có Hslà độ đo Borel trên ℝn

Xét tập A ⊂ ℝn

, với s > 0 cho trước

+ Nếu H s(A) , ta có ℝn

là tập Borel và Hs(A)  Hs( n) Do đó

(A) ( )

n

H H  

+ Nếu H s(A) 

Với mỗi n ∈ ℕ, chọn ( )

(Ui n )là phủ mở của A; ( ) 2

d(Ui n )

n

 thỏa mãn:

1

[ d(Un )]s n( )

i

n



Đặt ( )

1 1

n i

 

 

 Khi đó A ⊂ G và G là tập Gδ Do đó G là tập Borel

Lại có i( )n

i

G  U nên ( )

(Ui n ) là 2

nphủ của G Do đó:

(G) [ d(U n )]s (A)

i

n

Vì AG nên:

1 (A) (G) (A)

n

Cho n → ∞ ta thu đƣợc

Định lý 2.3

0     s t thì H s(A)H t(A),  A X

 Chứng minh:

Lấy 0   s t Với mọi tập A  X , 0  1, ta có:

( ) inf{ ( ) (s )

i

H A   dU U là δ - phủ của A}

i

 Ht( ) A

Do đó:

(A) lim ( ) lim ( ) (A)

   

Vậy H s không tăng theo s

Định lý 2.4

Cho (X,ρ) là không gian metric

(i) Nếu A ⊂ X và λ > 0 thì

(f(A)) (A)

s





 Chứng minh

(i) Nếu {Ai} là δ-phủ của A thì { λAi} là λδ-phủ của λA, do đó

( A) [ ( A )]s s [ ( A )]s s (A)

H    d     d  H

Cho δ→0 ta thu đƣợc ( A) s (A)

Áp dụng kết quả này cho tập λA và số 1

 ta sẽ có bất đẳng thức ngƣợc lại:

s

1 ( ) ( A)



s H s( )A  H s( A) (2)

(ii) Nếu {Ai} là δ-phủ của A thì d f[ (A )]i  c d[ (A )]i , cho nên {f(Ai)} là (cδ α)-phủ của f(A) Vậy [ ( ( ))]s  s[ (A )]s

s c

H  f A c H A



 

Cho δ→0 ta suy ra (f(A))  (A)



Hệ quả 2.5

Nếu   1thì f là ánh xạ Lipschitz Khi đó

( (A)) cs ( )

H f  H A

 Chứng minh

Từ định lý 2.4, thay   1ta có điều phải chứng minh

III Độ đo Hausdorff trong ℝ và ℝ 2

Ta khảo sát độ đo Hausdorff với số chiều s = 0 và s = 1, tức là độ đo Hausdorff trong ℝ

và ℝ2

Mệnh đề 3.1

s

 Chứng minh:

Lấy s ∈ (0,+∞) Giả sử A{ }a n n Với mọi ε > 0, với mọi n ∈ ℕ, đặt

1

( ; 2 n s )

U B a    Khi đó:

n n



n

d U   

Vậy (U n)n là  2n s -phủ của A Do đó:

1 1

( ) ( )s ( 2 )n s s

H A  d U   

    

1

( s 2 )n s n







    Suy ra:

Vậy H A s( )0

Mệnh đề 3.2

 Chứng minh:

Trong ℝ, lấy tập A bất kì, A ⊂ ℝ Với mọi δ > 0, xét (Ai) là δ-phủ bất kì của A

Đặt = inf Aa i i; b i = sup Ai Khi đó ta có Ai [ ; ]a b i i và d(A )i d([ ; ])a b i i

Lại có, trong ℝ thì V([ ; ]) = V([ ; )) = d([ ; ]) = a b i i a b i i a b i i b ia i, do đó:

1( ) inf{ ( ) |



i

H A d A (Ai) là δ-phủ của A}

inf{ ([ ; ]) | ([ ; ])i i i i

i



inf{ V([ ; ]) | ([ ; ])i i i i

i



L1(A) Vậy H1 = ℒ1 trên ℝ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] H.L.Royden and P.M.Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson, 2010

[2] Lương Hà, Giáo trình Độ đo và tích phân, Dự án phát triển giáo viên THPT &

TCCN, 2013

[3] Nguyễn Văn Khuê, Cơ sở Lý thuyết hàm và Giải tích hàm - tập 1, NXB Giáo

dục, 2001

[4] Hoàng Tụy, Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [5] Đinh Thị Nga, Khóa luận tốt nghiệp Độ đo Hausdorff và các tính chất, khóa

học 2007-2011