Luận văn sư phạm Độ đo xác suất trên không gian Metric

Metric Prokhorov .... nh lý Riesz vƠ đ nh lý Prokhorov .... nh lý Prokhorov .... nh lý Riesz trong không gian không compact ..... Cho X d là không gian metric... Cho X d là không gian

V Tr ng Giang 3 K31B CN Toán

L I C M N

Sau m t th i gian mi t mài nghiên c u cùng v i s giúp đ c a các th y

cô giáo cùng các b n sinh viên, khóa lu n c a em đ n nay đã đ c hoàn

thành Em xin bày t long bi t n sâu s c c a mình đ n th y giáo Nguy n

Trung D ng đã t n tình giúp đ em trong su t quá trình nghiên c u và hoàn

thành khóa lu n này

Em xin trân thành c m n s quan tâm, giúp đ c a các th y cô trong

khoa và các th y cô trong t Toán ng d ng tr ng i h c S ph m Hà N i

2, s đ ng viên, giúp đ , đóng góp ý ki n c a b n bè đã dành cho em trong

su t quá trình h c t p, nghiên c u và hoàn thành khóa lu n

Do th i gian có h n và ch a có kinh nghi m trong công tác nghiên c u

khoa h c nên khóa lu n c a em không tránh kh i nh ng thi u xót R t mong

V Tr ng Giang 4 K31B CN Toán

L I CAM OAN

Tôi xin cam đoan khóa lu n t t nghi p đ i h c này là thành qu c a

riêng cá nhân tôi, nó không trùng l p v i b t kì đ tài nào đã đ c công b

N u sai tôi xin ch u hoàn toàn trách nhi m

Hà N i, ngày 15 tháng 05 n m 2009

Sinh viên

V Tr ng Giang

V Tr ng Giang 5 K31B CN Toán

m c l c

L i nói đ u 3

Ch ng 1 Ki n th c chu n b 6

1.1 T p Borel 6

1.2 đo xác su t Borel 8

1.3 S h i t y u c a đ đo 15

1.4 Metric Prokhorov 20

Ch ng 2 nh lý Riesz vƠ đ nh lý Prokhorov 29

2.1 nh lý Prokhorov 29

2.2 nh lý Riesz 38

2.3 nh lý Riesz trong không gian không compact 44

K t lu n 50

TƠi li u tham kh o 51

Lý thuy t xác su t là m t b môn có ng d ng r t r ng rãi trong các

ngành khoa h c t nhiên, khoa h c xã h i và th c t cu c s ng Nó là công c

đ gi i quy t các v n đ chuyên môn c a nhi u l nh v c nh kinh t , sinh h c,

tâm lý – xã h i Do đó b môn này đ c đ a vào gi ng d y h u h t các

tr ng đ i h c, cao đ ng

V i mong mu n tìm hi u sâu h n v b môn xác su t em đã ch n đ

tài: “ đo xác su t trên không gian metric” Nghiên c u đ tài này giúp

chúng ta có c h i tìm hi u sâu h n v đ đo xác su t trên không gian metric

t ng quát và trên m t s không gian đ c bi t

N i dung c a khóa lu n bao g m

Ch ng 1: Ki n th c chu n b

Trong ch ng này trình bày v khái ni m và các tính ch t c a t p

Borel, đ đo xác su t Borel, s h i t y u c a đ đo và metric Prokhorov

Ch ng 2: nh lý Prokhorov vƠ đ nh lý Riesz

N i dung c a ch ng nay là đ nh lý Prokhorov, đ nh lý Riesz và đ nh

lý Riesz trong không gian không compact

V Tr ng Giang 7 K31B CN Toán

Ch ng 1 ki n th c chu n b 1.1.T p Borel

Không gian metric X d ,  đ c g i là tách đ c n u nó có t p con đ m

đ c trù m t, t c là t n t i x x1, , 2 trong X sao cho x x1, , 2 X ( A - bao

Hi n nhiên  C B, trong đó  C là  đ i s sinh b i C L y B là 

hình c u đóng trong X Khi đó B CC:BC  là giao c a đ m đ c

M nh đ 1.1 Cho X d là không gian metric ,  B X là  đ i s nh nh t

sao cho v i m i hàm (giá tr th c) liên t c trên X là đo đ c

B đ 1.4 N u  là m t đ đo Borel h u h n trên X và A là m t h các t p

Borel r i nhau c a X, khi đó có nhi u nh t đ m đ c các ph n t c a A có

M t đ đo Borel h u h n  trên X đ c g i là đ đo Radon n u v i m i

  0 t n t i t p compact K X sao cho X K\ , hay nói cách khác

Hi n nhiên, n u X d ,  là m t không gian metric compact, khi đó m i đ đo

Borel h u h n trên X là đ đo Radon Không gian metric tách đ c đ y đ đôi

khi đ c g i là không gian Polish

nh lý 1.1 N u X d là không gian metric ,  tách đ c đ , khi đó m i đ đo

Borel h u h n trên X là đ đo Radon

B đ 1.5 N u X d ,  là không gian metric đ , khi đó m t t p đóng K trong

X là compact khi và ch khi hoàn toàn b ch n, t c là v i m i   0 t p K b

ph b i h u h n hình c u (m ho c đóng) bán kính bé h n ho c b ng 

Ch ng minh ] Hi n nhiên: ph K b i t t c  -hình c u v i tâm trong K

có ph con h u h n

V Tr ng Giang 14 K31B CN Toán

]

 Gi s  x n n là m t dãy trong K V i m i m 1 có h u h n 1 / m-hình

c u ph K, ít nh t m t trong s chúng ch ax n v i n nhi u vô h n V i m 1

l y hình c u B1 v i bán kính 1 sao cho N1n x: nB1 là vô h n, và l y

h n thu c K Nh v y  x n ncó dãy con h i t và K là compact

M i f C X b  là kh tích v i đ đo Borel h u h n b t kì trên X

nh ngh a 1.6 Cho   , 1, 2, là các đ đo Borel h u h n trên X Ta nói

r ng  i i h i t y u t i  n u

i

fd  fd

  khi i   v i m i f C X b 

Kí hi u i  (Có nhi u nh t m t gi i h n  nh v y, đi u đó đ c kéo

theo t vi c metric hóa b i metric Prokhorov, mà s đ c đ c p t i ph n

ti p theo.)

nh lí 1.2 Cho X d là không gian metric, ,    , 1, 2, là các đ đo Borel

xác su t trên X Các kh ng đ nh sau đây là t ng đ ng

d x U f

V Tr ng Giang 18 K31B CN Toán

     c  d  e : 0 

A A A, A0 là m và A là đóng, nh v y theo (c) và (d)

m

j A j

h t  , khi đó h x     g x h x  v i m i x X  Do đó

V Tr ng Giang 20 K31B CN Toán

Nh n xét i u ki n các đ đo xác su t   , 1, 2, trong đ nh lí trên có th

thay th b i đi u ki n là đ đo Borel h u h n sao cho i X  X khi

i 

( đây d x A , infd x a a A , :  .) Hàm d P đ c g i là metric Prokhorov

trên P (c m sinh b i d) mà s đ c ki m ch ng đ nh lý ti p theo N u X là

tách đ c, khi đó s h i t theo metric chính là s h i t y u trong P

nh lý 1.3 Cho X d là không gian metric , 

(1) d P là metric trên P P  X

(2) Cho   , 1, 2, P Khi đó d P i,  kéo theo 0 i 

Ch ng minh (1) V i m i  1 thu c vào t p h p c a đ nh ngh a công th c

V Tr ng Giang 24 K31B CN Toán

B đ 1.6 Cho X d ,  là không gian metric tách đ c và  là m t đ đo

Borel h u h n trên X Khi đó v i m i   0 t n t i đ m đ c các hình c u

m (ho c đóng) B B1, 2, sao cho

1

i i

c k

,1 / 1 1 /

m

k

j j

k m

k

j A j

j j

k

j A

A j

m j

c k

K t lu n N u X d ,  là không gian metric tách đ c, khi đó P  X c ng là

không gian metric tách đ c v i metric Prokhorov c m sinh H n n a, m t

dãy trong P  X h i t theo metric khi và ch khi nó h i t y u và t i cùng

m t gi i h n

V Tr ng Giang 30 K31B CN Toán

ch ng 2 đ nh lý prokhorov vƠ đ nh lý riesz 2.1 nh lý Prokhorov

Cho X d là không gian metric và ,  P X là t p h p các đ đo Borel

xác su t trên X Xét P  X v i metric Prokhorov c m sinh b i d

nh ngh a 2.1 M t t p  các đ đo Borel xác su t trên X đ c g i là

Radon đ u (“Uniformly Radon”) n u v i m i   0 t n t i t p con compact K

nh lý 2.1 (Prokhorov) Cho X d ,  là không gian metric đ và tách đ c

và  là m t t p con c a P  X Khi đó hai m nh đ sau là t ng đ ng:

(a)  là compact trong P  X

(b)  là Radon đ u

Tr c h t ta nh n xét r ng tính đ c a X là không c n thi t cho vi c ch ng

minh    b  a Vi c ch ng minh đ nh lý này khá ph c t p Ta b t đ u b ng

vi c đ n gi n h n là ch ng minh    a  b

Ch ng minh    a  b Ta c n ph i ch ra: N u U U1, 2, là các t p m

trong X mà ph X và n u  0, khi đó t n t i k sao cho 1

V Tr ng Giang 31 K31B CN Toán

1

1

k i i

mâu thu n Nh v y ta đã có đi u ph i ch ng minh

Bây gi v i   0 cho tr c L y Da a1, 2,  trù m t trong X V i m i

K  B a  , nh v y K hoàn toàn b ch n Do đó K là compact vì X là

i

m i

c k

Vi c ch ng minh tính ch t  b kéo theo  a là khó h n Ta s ch ng minh

vi c kéo theo đó t [6], c n c trên s compact hóa và đ nh lý Riesz V n đ

s th o lu n m c sau và do đó ta ch đ a ra đi u đó mà g n nh không đ c

ch ng minh đây

Chú ý r ng n u X là không gian metric compact, m i t p các đ đo Borel

xác su t trên X là Radon đ u, nh v y trong tr ng h p đ c bi t t b n thân

 X

P là Radon đ u Nh v y vi c ch ng minh    b  a kh ng đ nh r ng

 X

P là compact khi X là compact Chúng ta s d ng v n đ sau nh m t

b c trung gian quan tr ng trong vi c ch ng minh    b  a

V Tr ng Giang 33 K31B CN Toán

M nh đ 2.1 N u X d ,  là không gian metric compact, khi đó P  X d, P

là m t không gian metric compact ( Chú ý r ng m i không gian metric

compact là tách đ c.)

Ch ng minh (G p l i trong h qu 2.1) Do X là compact,

   

b

C X C X f X:  ฀ : lµ liªn tôcf , đó là m t không gian d i

Banach theo chu n c n trên đúng đ c đ nh ngh a b i

V Tr ng Giang 34 K31B CN Toán

Trong nhi u tr ng h p mà ta mu n xét đ n X th ng không compact

Chúng ta có th s d ng m nh đ trên b ng cách xét tính compact hóa c a X

B đ 2.1 N u X d ,  là không gian metric tách đ c, khi đó t n t i không

gian metric compact  Y, và ánh x : T X Y sao cho T là m t phép đ ng

phôi t X lên T X  

( Nói chung T không là phép đ ng c N u T luôn là phép đ ng c , khi đó X

là đ T X  đ T X  đóng Y T X  compact, đi u đó không đúng,

V Tr ng Giang 36 K31B CN Toán

Radon đ u Th t v y, gi s   và K 0 là t p con compact c a X sao cho

 K 1

   v i m i   Khi đó v i m i  t n t i m t dãy  n n

trong  h i t đ n  và khi đó ta có  K limsupnn K   1 

Gi s  n n là m t dãy trong  Ta ch ng minh r ng nó có dãy con h i t

Gi s  Y, là không gian compact metric và T X:  sao cho T Y là m t

Khi đó nP  Y v i m i n Vì Y là không gian compact metric nên P  Y

c ng là không gian compact metric, do đó t n t i  P Y và dãy con  n k k

trong Y, vì E là t p con Borel c a Y.) đo  là m t đ đo Borel h u h n 0

trên Y0 và 0   E  E  Bây gi ta có th chuy n 1  sang 0

C là t p đóng trong X Khi đó T C   đóng trong T X  (Y0 T C   không c n

ph i đóng trong Y.) Vì v y t n t i t p Z Y đóng v i Z Y0 T C  Khi đó

Cu i cùng, đ ch ng minh kh ng đ nh trên ta s d ng tính Radon đ u c a 

V i m i m 1 l y K m là compact trong K sao cho  K m  1 1/mv i m i

 Khi đó T K m là t p con compact c a Y và do đó đóng trong Y, nh

k

n m k

V Tr ng Giang 39 K31B CN Toán

2.2 nh lý Riesz

Trong ch ng minh đ nh lý Prokhorov ta có s d ng đ nh lý Riesz nh

lý thu đ c s t ng ng gi a các hàm trên không gian các hàm liên t c và

đ đo trên các t p c b n nh lý đ c áp d ng v i các không gian compact

và s đ c th o lu n trong ph n này Ph n ti p theo thu đ c t vi c compact

hóa và m r ng đ i v i không gian không compact

Cho X d ,  là không gian metric V i m i đ đo Borel h u h n  trên X ,

Do đó C X b , trong đó C X  b  là không gian Banach đ i ng u c a

không gian Banach C X b , .( đó f  supx X f x  ) H n n a,

N u X là compact, khi đó C X b C X   f X:  ฀ : liªn tôcf  và m i

hàm tuy n tính b ch n d ng trên C X   đ c bi u di n b ng m t đ đo

Borel h u h n trên X Chân lí c a m nh đ này không ph thu c vào trên X

t n t i hay không m t không gian metric Trong vi c m r ng cho tr ng h p

không compact mà ta s th o lu n trong ph n ti p theo ta c n nh ng tính ch t

t ng quát c a không gian compact Hausdorff không metric hóa đ c V hình

th c ta không có đ nh ngh a t p Borel, đ đo Borel, C X b , v.v… v i không

gian topo mà không metric hóa đ c Các đ nh ngh a t ng t c ng b b qua

V Tr ng Giang 41 K31B CN Toán

nh lý 2.2 ( nh lý Riesz) N u X d là không gian compact Hausdorff và , 

 

C X

  d ng và   , khi đó t n t i duy nh t m t đ đo Borel xác su t 1

 trên X sao cho

   v i m i f C X 

B ng s xác đ nh rõ ràng, đ nh lý Riesz có th đ c m r ng t ng ng cho

hàm b ch n không nh t thi t ph i d ng trên C X   và đ đo Borel h u h n

trên X H n th n a trong không gian topo c ng v y

Xét topo y u* trên C X  b  , đó là topo thô nh t sao cho hàm   f trên

 

b

C X  là liên t c v i m i f C X b  M t dãy  1, 2, trong C X  b  h i t

theo topo y u* t i C X b  khi và ch khi n f  f v i m i

 

b

f C X M nh đ sau đ c suy ra tr c ti p

M nh đ 2.2 Cho X d là không gian metric compact và ,    , 1, 2, là các

đ đo Borel h u h n trên X Khi đó hai m nh đ sau là t ng đ ng:

(2) T là m t phép đ ng phôi liên t c t { :  là đ đo Borel h u h n

trên X } lên {C X b : d ng} v i topo y u*, và

 

 

T P X {C X b :  1, d ng},

(3) T m r ng duy nh t thành phép đ ng phôi tuy n tính liên t c t đ đo

Borel có d u trên X lên C X   v i topo y u*

V Tr ng Giang 43 K31B CN Toán

Nh n xét (1) có th ch ra r ng C X   là tách đ c n u X là compact và

metric hóa đ c và (1) có th nh n đ c t tính tách đ c c a C X   đó là

 

C X :  1 là metric hóa đ c Vì v y T trong đ nh lý trên là phép

đ ng phôi và không ph i là phép đ ng phôi liên t c duy nh t

Bây gi ta có c s quay l i k t thúc ch ng minh đ nh lý 5.3

nh lý 2.4 Cho X d là không gian metric Khi đó , 

H qu 2.1 N u X d là không gian metric compact, khi đó ,  P X d, P là

không gian metric compact

V Tr ng Giang 44 K31B CN Toán

Ch ng minh ánh x T:P  X C X :  1, d­ ¬ng   là m t

phép đ ng phôi liên t c đ i v i topo y u* trên  Theo đ nh lý trên,  là

compact y u* Nh v y P X là dãy compact Vì P X là không gian

metric, P X là compact

V Tr ng Giang 45 K31B CN Toán

2.3 nh lý Riesz trong không gian không compact

Vì ph n l n chúng ta quan tâm đ n các không gian metric mà không là

compact, vi c đó t t nhiên s đ a chúng ta đi nghiên c u s m r ng c a đ nh

lý Riesz đ i v i không gian không compact Vi c m r ng đó có th thu đ c

b ng cách compact hóa không gian

S compact hóa c a B đ 2.1 có u đi m h n vi c metric hóa, nh ng nó

không phù h p v i m c đích hi n t i Ta mu n tìm m i liên h gi a các hàm

liên t c trên không gian compact hóa v i các hàm liên t c, b ch n trên không

gian ban đ u Nh v y s compact hóa là s compact hóa Stone – Cech

nh lý 2.5 Cho X d, là không gian metric T n t i không gian compact

Hausdorff Y và ánh x : T X sao cho Y

(i)T là m t phép đ ng phôi t X lên T X  

(ii) T X   là trù m t trong Y,

(iii) V i m i f C X b  t n t i m t và ch m t g C Y   “ mà khu ch

f”, t c là g T f 

C p  Y T , trong đ nh lý trên là duy nh t v b n ch t và đ c g i là compact

hóa Stone – Cech c a X Ta s không c n ph i xét chi ti t và xem X nh là

không gian con c a Y Khi đó đ nh lý trên nói r ng m i không gian metric X

là không gian con trù m t c a không gian compact Hausdorff Y sao cho

V Tr ng Giang 46 K31B CN Toán

H qu 2.2 Cho X d ,  là không gian metric N u :C X b  ฀ là tuy n

tính b ch n và d ng, khi đó t n t i duy nh t đ đo Borel h u h n  trên

compact hóa Stone – Cech Y c a X sao cho

   v i m i f C X b 

trong đó f là m r ng c a f

Nh v y hàm tuy n tính b ch n d ng trên C X b  t ng ng v i đ đo

Borel h u h n trên compact hóa Stone – Cech c a X M t đi u c n bi t là khi

đó đ đo nh v y t p trung trên chính X S thay đ i đó có quan h ch t ch

v i tính liên t c c a các hàm h n so v i h i t thông th ng Kh ng đ nh

trong đ nh lý ti p theo là m t m r ng c a đ nh lý Riesz đ i v i không gian

compact V i lý thuy t h i t c a dãy suy r ng

nh lý 2.6 Cho X d là không gian metric và ,  C X b  d ng Các

t c đ i v i topo c a h i t đ u trên các t p compact

N u (a) th a mãn, khi đó đ đo  là duy nh t