Độ đo xác suất trên không gian metric

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn thành.. Nghiên cứu đề tài này giúp

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

hà nội – 2009

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy

cô giáo cùng các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn

thành Em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo Nguyễn

Trung Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn

thành khóa luận này

Em xin trân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trong

khoa và các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong

suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác nghiên cứu

khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu xót Rất mong

nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em

được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Vũ Trường Giang

LờI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học này là thành quả của

riêng cá nhân tôi, nó không trùng lặp với bất kì đề tài nào đã được công bố

Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Vũ Trường Giang

mục lục

Lời nói đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Tập Borel 6

1.2 Độ đo xác suất Borel 8

1.3 Sự hội tụ yếu của độ đo 15

1.4 Metric Prokhorov 20

Chương 2 Định lý Riesz và định lý Prokhorov 29

2.1 Định lý Prokhorov 29

2.2 Định lý Riesz 38

2.3 Định lý Riesz trong không gian không compact 44

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

lời nói đầu

Toán ứng dụng là một ngành toán học có ý nghĩa rất to lớn và chiếm

một vị trí quan trọng Nó là cầu nối để đưa những kết quả được nghiên cứu

trên lý thuyết của giải tích, đại số, hình học vào ứng dụng trong các ngành

khoa học khác và thực tế cuộc sống

Lý thuyết xác suất là một bộ môn có ứng dụng rất rộng rãi trong các

ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và thực tế cuộc sống Nó là công cụ

để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực như kinh tế, sinh học,

tâm lý – xã hội Do đó bộ môn này được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các

trường đại học, cao đẳng

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn xác suất em đã chọn đề

tài: “Độ đo xác suất trên không gian metric” Nghiên cứu đề tài này giúp

chúng ta có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về độ đo xác suất trên không gian metric

tổng quát và trên một số không gian đặc biệt

Nội dung của khóa luận bao gồm

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày về khái niệm và các tính chất của tập

Borel, độ đo xác suất Borel, sự hội tụ yếu của độ đo và metric Prokhorov

Chương 2: Định lý Prokhorov và định lý Riesz

Nội dung của chương nay là định lý Prokhorov, định lý Riesz và định

lý Riesz trong không gian không compact

Chương 1 kiến thức chuẩn bị 1.1.Tập Borel

Định nghĩa 1.1

Cho X d là không gian metric ,   đại số Borel B B X là    đại số

nhỏ nhất trong X mà có chứa tất cả các tập con mở của X Các phần tử của B

được gọi là tập Borel của X

Định nghĩa 1.2

Không gian metric X d được gọi là tách được nếu nó có tập con đếm , 

được trù mật, tức là tồn tại x x1, , 2 trong X sao cho x x1, 2, X ( A - bao

đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A trong X

Bổ đề 1.1 Nếu X là không gian metric tách được, khi đó trùng với  đại số

sinh bởi tất cả các các hình cầu mở (hoặc đóng) của X

là hợp đếm được Thành ra UA suy ra BA

Bổ đề 1.2 Cho X d là không gian metric tách được ,  CB là đếm được

Nếu C tách rời các hình cầu đóng với các điểm, nghĩa là với mọi hình cầu

đóng B và xB thì tồn tại CC sao cho BC và x C , khi đó  đại số

sinh bởi C là  đại số Borel

Chứng minh

Hiển nhiên  C B , trong đó  C là  đại số sinh bởi C Lấy B là

hình cầu đóng trong X Khi đó B CC:BC là giao của đếm được 

các phần tử của  C Theo bổ đề trên ta nhận được B C

Định nghĩa 1.3

Nếu f S: T và A AS, T tương ứng là  đại số trong S và T, khi đó f

được gọi là đo được nếu

1   :  AS

f A x S f x A với mọi AAT

Mệnh đề 1.1 Cho X d là không gian metric ,  B X là    đại số nhỏ nhất

sao cho với mọi hàm (giá trị thực) liên tục trên X là đo được

1.2 Độ đo xác suất Borel

Bổ đề 1.4 Nếu  là một độ đo Borel hữu hạn trên X và A là một họ các tập

Borel rời nhau của X, khi đó có nhiều nhất đếm được các phần tử của A có

Kết luận: R là _đại số mà chứa tát cả các tập mở, do đó R B

Hệ quả 1.1 Nếu  vµ là các độ đo hữu hạn trên không gian metric X và 

   

 A  A với mọi A đóng (hoặc A mở), khi đó  

Định nghĩa 1.5 (Độ đo Radon)

Một độ đo Borel hữu hạn  trên X được gọi là độ đo Radon nếu với mọi

 0 tồn tại tập compact K X sao cho X K\ , hay nói cách khác

với mọi tập Borel A trong X

Chứng minh Với mỗi  0 lấy tập compact K sao cho X K\ 

Vì mọi tập con đóng chứa trong tập compact là compact Kết hợp lại ta có

điều phải chứng minh

Hiển nhiên, nếu X d là một không gian metric compact, khi đó mọi độ đo , 

Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon Không gian metric tách được đầy đủ đôi

khi được gọi là không gian Polish

Định lý 1.1 Nếu X d là không gian metric tách được đủ, khi đó mọi độ đo , 

Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon

Bổ đề 1.5 Nếu X d là không gian metric đủ, khi đó một tập đóng K trong , 

X là compact khi và chỉ khi hoàn toàn bị chặn, tức là với mọi  0 tập K bị

phủ bởi hữu hạn hình cầu (mở hoặc đóng) bán kính bé hơn hoặc bằng 

Chứng minh ] Hiển nhiên: phủ K bởi tất cả  -hình cầu với tâm trong K

có phủ con hữu hạn

 Giả sử  x n n là một dãy trong K Với mỗi m1 có hữu hạn 1 / m-hình

cầu phủ K, ít nhất một trong số chúng chứa x n với n nhiều vô hạn Với m1

lấy hình cầu B1 với bán kính 1 sao cho N1n x: nB1 là vô hạn, và lấy

dãy Cauchy Do X là không gian đủ,  x n k k hội tụ trong X và do K đóng, giới

hạn thuộc K Như vậy  x n n có dãy con hội tụ và K là compact

Chứng minh định lý 1.1 Ta chứng minh rằng với mọi  0 tồn tại tập

compact K sao cho X K\  Giả sử Da a1, , 2  là một tập con đếm

được trù mật của X Khi đó với mỗi  0, 1  k, 

Khi đó K là đóng và với mỗi  0,

1.3 Sự hội tụ yếu của độ đo

Cho X d là không gian metric và kí hiệu , 

   : : lµ liªn tôc vµ bÞ chÆn

b

Mọi f C X b  là khả tích với độ đo Borel hữu hạn bất kì trên X

Định nghĩa 1.6 Cho   , 1, 2, là các độ đo Borel hữu hạn trên X Ta nói

rằng  i i hội tụ yếu tới  nếu

i

fd  fd

  khi i   với mọi f C X b 

Kí hiệu i  (Có nhiều nhất một giới hạn  như vậy, điều đó được kéo

theo từ việc metric hóa bởi metric Prokhorov, mà sẽ được đề cập tới ở phần

tiếp theo.)

Định lí 1.2 Cho X d là không gian metric, ,    , 1, 2, là các độ đo Borel

xác suất trên X Các khẳng định sau đây là tương đương

(a) i 

(b) gdi gd với mọi g UC X b { f X:  : f là liên tục

đều và bị chặn}

(c) limsupii   C  C với mọi CX đóng

(d) liminfii   U  U với mọi UX mở

(e) i A  A với mọi tập Borel A trong X với   A 0

0( A A A\ )

Chứng minh    a  b là hiển nhiên

d x U f

   e  a : Cho g C X b  Giả sử ta có  fdi  fd đúng với các hàm

đơn giản; ta muốn hàm g gần đúng có được gdi gd

Khi đó  là độ đo Borel hữu hạn (độ đo xác suất) trên  và nếu ta lấy

a  g, b g, khi đó  \ a b, 0 Do  là hữu hạn, tồn tại nhiều

nhất đếm được  với      0 Do đó với  0, tồn tại t0, ,t m sao

m

j A j

Nhận xét Điều kiện các độ đo xác suất   , 1, 2, trong định lí trên có thể

thay thế bởi điều kiện là độ đo Borel hữu hạn sao cho i X  X khi

i 

1.4 Metric Prokhorov

Cho X d là không gian metric Kí hiệu , 

 X

P P tất cả các độ đo xác suất trên X

Ta có định nghĩa về sự hội tụ yếu trong P Định nghĩa với , P ,

A  x d x A  nếu A  và    với mọi 0

( ở đây d x A , infd x a a A , :  .) Hàm d P được gọi là metric Prokhorov

trên P (cảm sinh bởi d) mà sẽ được kiểm chứng ở định lý tiếp theo Nếu X là

tách được, khi đó sự hội tụ theo metric chính là sự hội tụ yếu trong P

Định lý 1.3 Cho X d là không gian metric , 

(1) d P là metric trên P P  X

(2) Cho   , 1, 2, P Khi đó d P i, 0 kéo theo i 

Chứng minh (1) Với mọi 1 thuộc vào tập hợp của định nghĩa công thức

của d P, như vậy cận dưới đúng được xác định Hiển nhiên d P  , 0 và

d P  ,   0  : Nếu d P  , 0, khi đó tồn tại một dãy n0 sao

cho  A  An n và  A  An n với mọi n Do

n

n

A A , điều đó kéo theo  A  A và  A  A Đặc biệt ,    A  A với

mọi tập đóng A và vì vậy   ( theo hệ quả 1.1)

Bất đẳng thức tam giác: Cho   , , P Cho  0 sao cho

Do đó theo định nghĩa, d P  ,    Để ý rằng cận dưới đúng của  là

(2) Giả sử rằng d P i, 0 khi i  Khi đó tồn tại i 0 với

Bổ đề 1.6 Cho X d là không gian metric tách được và ,   là một độ đo

Borel hữu hạn trên X Khi đó với mỗi  0 tồn tại đếm được các hình cầu

mở (hoặc đóng) B B1, 2, sao cho

1

i i

S x r  y X d y x r Ta thấy rằng biên của hình cầu mở hoặc đóng

tâm tại x và bán kính r chứa trong S x r  ,  0 cho trước, họ

 

S x r, : / 2 r 

S là rời nhau và vì thế có nhiều nhất đếm được các

phần tử có độ đo  lớn hơn 0 Do S là không đếm được, tồn tại r / 2,

sao cho S x r , 0 Theo cách này ta thấy với mỗi x D có một hình cầu

mở (hoặc đóng) B x r tâm tại x với bàn kính  , r / 2, và

 

 B x r,  0

   Do D là trù mật nên các hình cầu là một phủ của X , và do D

là đếm được nên ta có đếm được các hình cầu B B1, 2,

Chứng minh định lý 1.4 ] đã được chứng minh

] Cho  0 Ta muốn chỉ ra rằng tồn tại N sao cho với mọi i N ta

có d P  i,  bằng cách chỉ ra i   B  B  và  B i B 

với mọi BB

Lấy  0 với   / 3 và sử dụng bổ đề trên ta có các hình cầu mở

   với mọi i N và mọi AA

Khi đó trong trường hợp đặc biệt i k 1 j  k 1 j 1 2

c k

Điều này đúng với mọi BB , như vậy d P  i,  với mọi iN

Mệnh đề 1.3 Cho X d là không gian metric tách được Khi đó ,  P P  X

với metric Prokhorov d P là tách được

Chứng minh Giả sử Da a1, , 2  là tập đếm được trù mật trong X Đặt

(Trong đó a là độ đo Dirac tại a X : a A 1 nếu a A , 0 nếu trái lại.)

m

k

j j

(Trước tiên lấy j 0,1  với k m1  m 1 / 2

k

j A j

j j

k

j A

A j

m j

c k

A được chứa trong một hình cầu với bán kính 1 / m tâm a Vì g là j

liên tục đều, với mọi  0 tồn tại  0 sao cho g y   g x  với

x y , như vậy g x g a j  với mọi x A m j , mọi j Khi đó với

Do đó gdmgd khi m  Như vậy, m

Kết luận Nếu X d là không gian metric tách được, khi đó ,  P  X cũng là

không gian metric tách được với metric Prokhorov cảm sinh Hơn nữa, một

dãy trong P  X hội tụ theo metric khi và chỉ khi nó hội tụ yếu và tới cùng

một giới hạn

chương 2 định lý prokhorov và định lý riesz 2.1 Định lý Prokhorov

Cho X d là không gian metric và ,  P X là tập hợp các độ đo Borel

xác suất trên X Xét P  X với metric Prokhorov cảm sinh bởi d

Định nghĩa 2.1 Một tập  các độ đo Borel xác suất trên X được gọi là

Radon đều (“Uniformly Radon”) nếu với mọi  0 tồn tại tập con compact K

của X sao cho

 K 1

   với mọi 

Nhận xét Ta đã chứng minh rằng: nếu X d là không gian metric đủ và tách , 

được, khi đó   là kín với mọi P  X (xem định lý 1.1)

Định lý 2.1 (Prokhorov) Cho X d là không gian metric đủ và tách được , 

và  là một tập con của P  X Khi đó hai mệnh đề sau là tương đương:

(a)  là compact trong P  X

(b)  là Radon đều

Trước hết ta nhận xét rằng tính đủ của X là không cần thiết cho việc chứng

minh    b  a Việc chứng minh định lý này khá phức tạp Ta bắt đầu bằng

việc đơn giản hơn là chứng minh    a  b

Chứng minh    a  b Ta cần phải chỉ ra: Nếu U U1, 2, là các tập mở

trong X mà phủ X và nếu  0, khi đó tồn tại k1 sao cho

1

k i i

Bây giờ với  0 cho trước Lấy Da a1, 2,  trù mật trong X Với mọi

1

m , các hình cầu B a i,1/m ,  i1,2, là một phủ của X , do đó theo

chứng minh trên tồn tại k m sao cho

Khi đó K là đóng và với mọi  0 ta có thể lấy m1 / và nhận được

K  B a  , như vậy K hoàn toàn bị chặn Do đó K là compact vì X là

đủ Hơn nữa, với mọi 

i

m i

c k

Việc chứng minh tính chất  b kéo theo  a là khó hơn Ta sẽ chứng minh

việc kéo theo đó từ [6], căn cứ trên sự compact hóa và định lý Riesz Vấn đề

sẽ thảo luận ở mục sau và do đó ta chỉ đưa ra điều đó mà gần như không được

chứng minh ở đây

Chú ý rằng nếu X là không gian metric compact, mọi tập các độ đo Borel

xác suất trên X là Radon đều, như vậy trong trường hợp đặc biệt tự bản thân

 X

P là Radon đều Như vậy việc chứng minh    b  a khẳng định rằng

 X

P là compact khi X là compact Chúng ta sử dụng vấn đề sau như một

bước trung gian quan trọng trong việc chứng minh    b  a

Mệnh đề 2.1 Nếu X d là không gian metric compact, khi đó ,  P  X d, P

là một không gian metric compact ( Chú ý rằng mọi không gian metric

compact là tách được.)

Chứng minh (Gặp lại trong hệ quả 2.1) Do X là compact,

   

b

C X C X f X:  : lµ liªn tôcf , đó là một không gian dưới

Banach theo chuẩn cận trên đúng được định nghĩa bởi

T  là một song ánh từ P X lên  Hơn nữa T là một phép đồng

phôi tuyến tính đối với topo yếu* trên  Theo định lý Alaoglu,

 

B   C X    là compact yếu* và do đó  là compact yếu* vì 

là đóng yếu* trong B Do đó  là dãy compact yếu* và do đó P X là

compact

Nhận xét Ngoài ra định lý đảo cũng đúng: Nếu P  X là compact khi đó X

cũng là compact Điều này xuất phát từ thực tế là xx là một phép đồng

phôi từ X lên x:xXP  X và x:xX là đóng trong P X

Trong nhiều trường hợp mà ta muốn xét đến X thường không compact

Chúng ta có thể sử dụng mệnh đề trên bằng cách xét tính compact hóa của X

Bổ đề 2.1 Nếu X d là không gian metric tách được, khi đó tồn tại không , 

gian metric compact  Y, và ánh xạ T X: Y sao cho T là một phép đồng

phôi từ X lên T X  

( Nói chung T không là phép đẳng cự Nếu T luôn là phép đẳng cự, khi đó X

là đủ T X  đủ T X Y đóng T X  compact, điều đó không đúng,

Để chứng minh điều đó, lấy  mind x C , ,1(0,1] Lấy i sao cho

Trong trường hợp đặc biệt, nếu x y khi đó tồn tại i sao cho i x i y ,

như vậy T là một phép nội xạ Do đó T X: T X  là một song ánh Phần

còn lại ta chứng minh rằng với  x n n và x trong X :

   

x  x T x T x Nếu x n x, khi đó i x n i x với mọi i, như vậy T x   m ,T x 0

Bây giờ ta có thể hoàn thành chứng minh định lý Prokhorov

Chứng minh    b  a Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định: Nếu X d là , 

không gian metric tách được và  P  X là Radon đều, khi đó là