Một số bài toán của lý thuyết xác suất trên không gian vô số chiều

Sự liê n tục tu y ft dối theo nghĩa yếu của haỉ dọ đo.Dịch chuyển chấp nhận yếu .... Trương h£p đọ đo on định vối phổ rồ’i rạc... -Nguyen Xuân Lọc ve những ỷ k iế n nhạn x ễ t sầu sắc và

MUC LUC

tra n g M§ đầu 2

Chư ơn,r; ĩ đo ổn định và toẫn tủ p-tong hoắ

1 Cắc định nghĩa và k ế t quẳ chuẩn b ị 5 2*- Toắn tu! sinh ra đọ do p-on định .

3 Khong gian cổ đối lo ạ i p-on định lk Chưđn;; 2 Dắn£ đ i|u t i | 1 cận cua M artincale

1 M artingale tre n khon^ £ian Banach cổ tín h

Rađon-Nikodyra 19

2 M artingale trê n không gian Banach trơ n đều

( l ồ i đều) 23

Chưđn/: 3 Sự liê n tục tu y ẹ t đoi theo nghĩa yếu

1 Sự liê n tục tu y ft dối theo nghĩa yếu của haỉ

dọ đo.Dịch chuyển chấp nhận yếu 29

2 Tru’cJn£j hỢp cắc đọ đo ổn định 36

3 Trương h£p đọ đo on định vối phổ rồ’i rạc l\2.

Tằi l i ệ u t r í c h dẫn 52

su ấ t trê n lihong gian hàm và đ ặt co’ sẫ cho ly th u y ết quậ tr ìn h ngẫ nhien)cuns như do nhu cầu của mọt số ngành v ậ t lý l ỵ thuyết cần những cong cụ mêi để xử lý cắc h | thống ngẫu nhiên vỗỉ vo số bậc

*

tự do.

Nhiều k ế t quẳ cơ bẳn cửa xạc su ấ t cổ điển(xẩc su ấ t trê n không

£ian hữu hạn chiều)khi chuyển le n khong gian vo số chiều đã khong con đung nữa.Điều đọ nổi lê n rằng v i |c nghiên cứu tr ê n lĩn h vực nay đòi hỏi những phương phắp mối vằ cong cụ mỗi.

V i|c nghiên cứu xắc s u ẩ t tr ê n khong g ian Banach vạch ra sụ l i ê n

h | mịt t h i ế t £iữa cậc tín h chất xậc su ấ t Và tín h chất hình học cùa không g ian đang x ẹ t.s ự l i ê n hf đọ mật t h i ế t đến mức cậc phươn pháp xậc su ấ t đã tr ỗ thành một công cụ n ỗ i(n h iều khỉ khẫ hữu h l |u

đ l nghiên cúu hình hpc không gian Banach.cặc nàixẳc su ấ t cổ điển

thực ra vẫn thứồ’ng xuyên sỗ dyng cac tín h Chat t c t cua khong gian hữu hgtn chiều mọt cắch khong cổ ỷ thiìc cũng như ong Jourdaj mọt nhân v ậ t của M o liè re ,đã h ế t sậc sửng s ố t khi thầy học cho

b iế t ong vẫn thưctos nọi văn xuoi.

Luận ận đưp’c ch ia lam 3 chương vỗỉ n$i dung như sau

Chương I nghiên cứu cậc đọ đo p-ổn định và n ối quan h | của chuni vSỉ cầc toắn tử p-tong hoẫ,i»§ rọnc cắc k ế t quẫ của Chobanian và

T arieladze [ 2] x ểt cho đọ đo Gauss.Chương 2 nghỉen cưu dắng đ i|u

t i f n cận của M artingale nhận g ỉẩ t r ị trê n khong g ian Banach,mơ rọng cắc k ế t quẳ của Neveu£l 2j trong trưồ’n^ hỢp thực.Cắc k ết

luận ctgit đư^c ẫ hai chương nay cỗ l i ê n quan chặt chẽ vSỉ tín h chất hình học của khong gian đang x ễt như tín h chất lo ạ i và đối

l o ạ i , t í n h chất Radon-Nykodym,tính chất p -trơ n đều.Chương 3 đưa

ra khắi n i |n tương đương yếu cua haỉ độ đo và nạnh dạn tiế t) cận

g iẫ th u y ế t: Hai đọ đo ồn định hoặc tương đương hoặc trự c giao 9

Tắc g ỉẳ bẳn luận ắn bày tỏ lồng b i ế t ơn chân thành nhất tố i Giắo sư Tien s ĩ Nguyễn Duy tiến,ngưc?ỉ đã dành cho tắ c g iẳ sự giụp đS to lơn và sự hư ống dẫn n h ỉ |t tĩn h tro n g khoa học cũng như trong cuọc sống.Tắc g iẳ bày tỏ lòng b i ế t ơn sâu sắc t ố i Giặc

sư Hoàng hữu Như và Gỉắo sứ Nguyễn văn Hữu đã tạo những điều k if thuạn l ỷ l để tẩ c g ỉẳ hoàn thành bản luận văn^ạc g iẳ cũng xin chân thành cắn ơn Tiến s ĩ Nguyễn văn Thu vằ Giắo sư Tiến s ĩ

3

-Nguyen Xuân Lọc ve những ỷ k iế n nhạn x ễ t sầu sắc và quý bau ehe ban luận văn, caía ơn sự giụp đ3 của anh em trong tồ bọ mon xắc suất-Thống kê cùng cắc bạn bè đồng nghiçp.

CHƯƠNG I

ĐỘ ĐO ổìí ĐỊNH v \ TOẬN TỬ p-TỔNG HOẪ.

I.Cắc định n,F;hĩa và k ế t quẳ chuẩn bị

Trong mục này chung to i nhắc l ạ i iíiọt vài khai ni|m và k ế t quả

đã b iế t sẽ đưj?c sỗ dụng trong chương này«,

a) Đp đo •~>-ồn định

ĩ »ĩ Định n.shĩa: Giẳ sử E l ầ mọt khong gian ^anach.Đọ đo xắc

su ấ t JLC trê n E đư^c gọi l à p-ẩn định( 0 < p £ 2) nếu vSi mỗỉ sc dương 0( , p iiàm đặc trưng jCl(a) cua Jtt thoẳ -:ãn h | thức

p (a ) s exp Ị “ j |( x JCL>|*eív>(x'>

Đọ đo v> đưp’c gọỉ lầ đọ đo phổ của JJL

ĩ >3*Sính Mỗi độ đo p-ổn định đều c ỉ ũ lent cắp r <

nhưng ‘chong cỗ mo íient cẩp p nếu p < 2

1 4 ¿ịnh n,-;hĩa:Khô ng gian Banach E đứj?c gọi l à có lo ạ i p-ổn địr

(0 < p ^ 2) nếu vó’i mổi dãy (x ) c E sao cho Y llx li** < oữ

ta cọ chuỗi £ xn 6^p) hội tụ h c c ẫ độ e£p) l'a dẫy cậc

b iến ngẫu nhiên thực,đọc lạ p ,c ổ cùng hằm đ£c trư n r l à e x p Ị - | t | :

- i an E.Thạt vạy, Mau re y và P is ie * đã ch'tzr; 'lỉnh rằạg neu p < 2

t h ì E cọ lo ạ i p-on định nếu và chỉ nếu E khong chiìa l n mọt cậch đeu*

Vị djjl L cỗ lo ạ i p-ổn định nếu r > p và- kho&g cổ lo ạ i p-cn định nếu r ^ p < 2*

b) Toan tử vọ-tổn, ; hoa

ĩ 5 Dinh iy;hĩa: Giẳ sử E và F l à h ai khong gian Banach.Toắn

tỏ T : E w ẩ ứ Ợ c g ỵ l lầ p-tẩng hoậ nếu vối mỗi dãy (x ) c E

ĩ , 6«Định lỵ : Neu T : E1 —^ F l à p-tổĩi£ hoắ và E có lo ạ i p-ổn

định thỉ T l à hoàn toàn tồng hoắ

ĩ nnhĩ a : Giả sỗ E và F l à h ai khong £ ia a Banach.Toắn

tử T : E F đươc gçi l a p-Hadon neu vỗĩ mỗđ đọ đo try X CC

lo ạ i p tr ê n ,đọ đo ẳnh T(A) l ằ một đọ đo Radon cỗ lonent cấp Ị 1*8» Định l ý r i o ] : Toẩn tử p-lâd© a luon l a toắn tử p - t omg hoa* Neu p > 1 t h i mỉá án tử p-t© ắ cũiii ẽ -Radon*

ĩ ĩ » Toắn tử sin h ra đo đo ~p-on đinh

Trong su ố t chương này ta luon kỷ higu X l à m jt khong gian

4 $ 'ĩ- < p

Banach đẳng cấu v ỗ ỉ một không g i a n con đọng cù a

¿ ĩ Đinh n,';hĩa: Toắn tử T : À’ X đũị>’c gpỉ l a toạn tu sinh

ỗ đỗ JUL l a đọ đo p-ẩn định sinh b ẫi T

Sau đẳy ta sẽ nghiên cứu mối quan h | giữa toẩn tử sin h ra đọ

đo p-ổn định và toận tử p-tổng hoẩ.

¿>5•Bịnh lý : Ta luon cổ bao hằm thức

-A p (E <,xp) c T ĩ p ( E ' , x p)

Chứii;; 'lin h ; Gia sỗ T l à toắn tố sin h ra đ$ đo p-ổn định.T ấy

0 <, r < p v ì (x ,a) l à biến ngẫu nhiên trê n khong gian xắc su ấ t

-Biểu thức tro n c mổc vuông hữu h^n.vậy T l à r-to n g hoạ do đọ l a p-tong hoẩ.

Định l ý dưệi đây sẽ đặc trưng những khong gian Ef trong đổ mỗi toẩn tử p-tong hoắ sẽ sinh ra đọ đo p-on đ ịnh.

¿» 4»Định 1 1 1 2 ] : Cắc khẳng định sau l à tương đương

i ) E cổ lo ạ i 2-ồn định.

ỉ i ) l ĩ * ( E ' , x 2 ) c A 4 ( ĩ ' x s )

lỵ : Giả sỗ 1 < p < 2 Cắc d I định sau tương đương

i ) E cổ l o ạ i p -ổ n đ ịn h v a đẳng cấu v ỗ l :i ọ t không g ỉ a n con đổng

của L

p

i i ) T T p(E.,Xp) c A p ( E ' , X p)

Châng ninh : Ta co bồ đề sau

Neu T : E 1 X sao cho T* : —* E l à r-tổ n g hoẩ vối

r < p th ì T l à toắn tử sinh ra đọ đo p-ổn định.

Thạt v ạ y ,g iẳ sỗ l à đọ do tr ụ trê n X 7 vối hàm dặc trưng exp{-|u|l j Ta cổ í l à mọt đọ do tr ụ cấT) r vỗỉ 1 < r < p*

VÌ T * l à r-t© ng hoắ nên nổ l ạ r-RadoiuVgty T *(tf ) l a đo tr ê n E.De thấy rang T*( X ) Ị ạ đf đo p-ổn định sỉiih b ả i toẩn tỏ T,

i ) —> ỉ i ) Giả sỗ T ệ TlpC 1 , - ) VÌ đẫn| cấu v á i lộ t khong

g ia n COĨ 1 đổng cua L nên ta cổ th ể x ể t tập -A n (X; ,E ) v l E có

r p

lo ạ i p-ổn định nên theo định lý 1.6 T là r-to n g hoậ.Theo bố đề

ta cọ T £ J ^ Đ(X ,E) Theo định l y 2.5 T* l ằ r-tồ n g hoắ.L ai ắp

dụng bồ đề t a có T £ A o ( E ,X )

r

i i j —Ì 1 J: ifau tiê n ta chứng minh E có lo ạ i p-ổn định.G ia su

(x ) l ầ dãy tro n s E sao cho y IIX Ị| < oồ *Xẹt toạn tủ T:2 1 >

-vậy T l à p-tong hoắ*Theo g ỉả t h i ế t T sinh ra đọ đo p-on định.

Tồ định lý Ito -N is io ta cổ chuỗi họi tụ h • c • c • Như vậy ta đã chứng minh E cổ lo ạ i p-ồn đ^ih.

T iế p th e o t a chứng n ỉ n h ■’ ăỉ':\Q cể.u v S l ÌỌ t k h o n s g i an c o n đong

của L Gỉẳ sử khong phẳỉ như vạy.Theo tiê u chuẩn L in d e n stra u s- p

P e lz in sk i tồn t ạ i h ai dãy (x ) và (y ) trong E sao cho

£ | ( x ^ , a ) | £ ^ ị(yn>a)Ị vỗỉ mpi a £.E '

và £ ( | yỉilfP < oc , nhưng £ II xnll = oo

x ểt toận tồ T: E 1 —^ 1 đừỢc cho như sau

toẵn tồ sinh ra dç> đo p-ổn định.Kỵ h ỉ |u 1 Ip (E*,x ) l à tập

cẩc toắn tỏ T : E 1 —ỳ X sao eho T * : x # ^ £ l ầ ọ-tong ho,

2 6 Định l y : Giả sỗ 1 < p < 2 Cắc khang định sau tương đươag

ỉ ) E cổ lo ạ i p-ồn định

i i ) T T p ( E ', X p ) c j \ p ( E ' , X p )

Chứnr; ininh: ỉ ) —^ ỉ i ) : Giẳ sử T* l à p-tồng hoắ.Gọi J l à phểp

nhung cua X vào L (T,ỉ-i).sỏ dụng định lỵ Kwapien^ôl t a cổ J*T

l ĩ

-G iẳ sử E không cọ l o ạ i p - ồ n đ ịn h T h o o đ ịn h l ỵ P i s i e r E chú'a l n

a p t c ạ c h đ ề u v ố i nỗi n , t ồ n tẹ.i ,::4 , t r o n g E s a o cho v ệ i

CQ( n l 0£n) ^ 2Cn ^ vỗỉ n đủ lỗ n Song điều nay l a VC lỵ v ậ y E cỗ lo ạ i p-ổn định.

Bay giò’ chúng ta sẽ đặc trưng những >hong gian Banach mà ề đỗ

mỗi t o ắ n t ỏ s i n h r a đọ đo p-ồn đ ịn h sẽ cỗ đối ngẫu 7)-tong h o ẩ

rly.c đích nay dẫn ta đen khẵi ni|m sau

2.7* Định nr; h ĩ a : Khong ~ian E được nọỉ l à cọ đốỉ lo ạ i p-ổn định (0 < p ^ 2) nếu vSi mỗi dãy (x ) tro n g E sao cho

(a)

Ị 2) nếu vSi mỗi dãy (x ) trong E sao c]

1 - e x p ị - £ | ( x n ,a) | Ị { 1 - J U

vối mọi a £ E 1 va jVA nao dọ thuọc H (E) th ì X M < 0 0

¿♦3»£ậnh l ý : Gỉẳ sỗ 0 < p ^ 2 Cắc :hẳn£ định sau l à tương đươĩi£

i ) E co đ o ỉ l o ạ i p -ổ n đ ị n h

ỉ i ) J V p( E ', X p ) <c T í x ? )

CliLỈnr 'lin h : i ) -■* ỉ i ) G ia sử T l à t o ạ n tử s i n h r a đọ đo

p -ổ n đ ịn h v à g i ẫ sử (& ) c sao cho 2 1 « Gn »x ) l p < 00

vỗi moi :: £ X Ta sẽ chổng minh 2 , Brr*g II < oứ x ể t toắn

i i ) i ) Gỉẳ sử E khong cỗ dối lo ạ ỉ p-ổn định.Như v ậy ,tồ n

t ạ i đọ đo p-ốn định JU và dãy (x ) thupe E sao cho

V l à tuyến t í n h ,l i ê n tục nên V thắc t r i ể n đươc l i ê n tục lê n toàĩ

X va ta cổ V6T =1 B Tồ do B* - l ằ p-tổn£ hoắ nên

l à p-tong hoặ.vậy £ l B*enll - 8 xn ll < oa

Dieu nằy t r ắ l vSi (1-6) vậy T* khong l ằ p-ton£ hoắ*Định lý

đ ú ý c C h u n g m i n h

¿♦ 9»Định l ỵ : Ngu aS i đọ đo p-ổn định tr ê n E l à ẳnh lỉê n tục

của mọt đọ đo p-ổn định trê n mọt >hSnr gian con đổn£ của L

p

th ì E phải có đối lo ạ i p-ẩn định*

Chưn " " In h : Ắp đụn£ định lý trê n ta sẽ chỉ ra

1 3

-G iẳ s ử T s i n h r a đọ đo p - ồ n đ ị n h JUL i ẵ t h i ế t JLC SS v ( X ) t

vơi A l a m$t đọ do p-ồn định tre n khong gian con đổng s của L ,

p

V l à toận tử tuyến tín h l i ê n tục tĩỉ s vào E^Khong £Ỉẳm to n s quắt

c ọ tue gia sử V lạ dơn ặnh,do vậy V*(E') trù nật trong S ' Gia

sỏ > (s*) - sxpj-JH s'll p Ị

:':hi 1 ' p (a ) - e x p [ - |T a |pJ = exp[-||HV*a||PJ

Suy ra Q Ta (I =1 II HV*a I vSi -AỌ± a £ E 1 (1-7)

Ta định nghĩa toắn tử W: V*(Ef ) X bằng cong thốc

V X 0 W hoi tụ h-c-c-T a phẳi chứng minh Wx * < oo

l a phân bố cua £ X 6 ^ .Ta cổ (U 6 v&

tụ h c c v ì E cổ doi lo§đ 2 nên ll < oo

3»2»Định l ỵ : Neu E cổ đối lo ạ i p-ồn định th ì nổ cũng cỗ đối lo ạ i

q v S ỉ p < q.

ChSnr; , -inh: Gỉẳ sử T £ A (K ',x ) tức l à exp ị- UTe II ] l à

ham đặc trứng của mọt đọ đo q-ổn địnluDo định lý 2 / I I / khi đỗ

e x p Ị-IIT ãỊp jc u n g l ạ h ạ» đặc trxim ặ của m ật độ đo p - ổ n đ ị n h nếu p < q*

VI E cỗ đối lo g ỉ p-ồn định nen theo định lỷ 2*8 T * l à p-tổ&g hoa do đổ l à q-tồng hoẵ*T^ định lỵ 2.8 ta cỗ E cổ đối lo ạ i q-ồn

đ ịn h

3«5«Định l ỵ : Neu E l à mọt S-khong g ian thỉ E cọ đối lo ạ i p-ổn định vối mỗi 0 ^ p ^ 2.

1 5

-ChiSn^ minh: Gia số (x ) là dãy trong E sao cho

1 - expỊ- ^ |(x ,a)j J 1 - ju(a) (1-9)

vỗi r.iọi a Ế E 1 va jut la đọ đo p-on định*

Glẳ sử z l à s-topo trê n E'.TÙ’ (1-9) ta r ụ t ra

3 ( a ) = e x p ị - ^I C x ^ a) ! Ị

l à ham xắc định dưdug, Tỉ - l i e n tục và v (o ) — l v i l a s -

khong g i a n n en v ( a ) l à hầu» đặc t r ư n g c u a mọt đọ đo x ắ c s u ấ t

Theo định lý Ito -N is io ta co cto S l 2^ X ô ^ h$i tụ h c c v ì

p < 2 nên ta cổ 2 N < 00.

3 4.HS quẳ: Mỗi không gian con đổng cua L (1 í 8 < 2) co đoi - - ’ s

lo§l p-on định vối mỗi 0 4 p g 2 »Khong g ia n L (s y 2) khS&g CC

đ ố i l o ạ i p - ổ n đ ịn h v ỗ i b ấ t cổ p n à o

3*5*Dinh l y : Neu đồng tho’i cỗ lo ạ i p-ẩn định vầ đoi lo ạ i p-ổĩi

định th ì E nhung ctư$?c vào L

Ghứnr; n in h : sử dụng tiê u chuẩn Lindenst ra u ss-P elczy n sk i ta sẽ

chống minh rằng: Neu (x ) Vä (y ) l à hai dãy trong E sao cho

th ì £ \\ X |Ị < oô

Thật v ậ y ,s iẫ sử (x ) va (y ) l ằ h ai dãy như vậy trong E v ì

E cổ lo ạ i p-on định nên chuỗi V y họỉ tụ h c c Gọi ẠX,

l à phằn bố của ^ -Ta cọ jx l à đọ đo p-ổn định va

Qụẳ v ạy ,v i mỗi :honj gian Banach cổ logđ p-on định vỗi p < 1#

5 7 HI quẳ: Khong gian Banach cổ đoi log1 p-ốn định m p < 1

v à cổ t í n h x ấ p X I m e t r i c l à s - k h o n g c i a n

3»8»x>inh l ý ; Khong gian Banach E đồng thc?ỉ cổ lo ạ i p-ồn đ^ĩh

f

vằ cổ đối l o ạ i p -ồ n d ị nil (1 ^ p ^ 2 ) nếu và c h ỉ nếu no đẳng cấu

v ỗ i mọt khong g i a n con done c u a L r S đ | q t 2 eu p s 2 v ầ

<1

p < q < 2 nếu p < 2.

Chun : lin h : Khẳng định ’nếu 1 suy tù’ định lý 3*5 và định lý

H oseltanl / 14/ Khẳng định 'c h ỉ nếu1 suy tí? h | quẳ và sự k i |n

L cổ lo a i p-on định s đọ p s 2 ncu q JJ 2 và p < q < 2 neu q < 2

q '

Định lỷ 3 8 - nỗ rộĩi£ myt k ế t quẳ của Kwappien / 6/

3- 9• Định l ỵ : Neu Ji: cỗ M-đồi lo ạ i p (theo nr.hĩa cưa Mouchtari / I I /

e l M-đốỉ lo a i p neu nỗi hàn F xắc địnli dứđng, <r - l i ê n tục và

F (0) s 1 l ầ hằm đặc t r ư n g cu a m ọ t đọ đo x ẩc s u ấ t t r ê n E

Cắch chiỗng linh tương tự như chú’ng minh dịnh lỵ 3*3*

'ì IC. Di h l y : Giả sử TD < q, q > l*Khi đổ ten t g l khõng gian có

p-ồn đ ịn h Neu nó cỗ đối lo ạ i p-ổn định th ì theo định lý 3*5 nó

nhúng dtư^c vầo L • Nhưng như đã chỉ ra trong / I I / } 1 (1 ) v ệi

s S t khong nhung đưđc vào L Vay 1 ( 1 ) khong cổ đối lo ạ i p-ồn

đ ị n h

D ÍN G Đ IỆ U T IỆ M CẬN CỦA M A R T IN G A LE

ĩ i l a r t i n n a l e t r e n ':hon,; ■ ;la n cổ t í n h - :a d o n - :! l'- o d i-i

G ia sỗ ( J l , 3 r , p ) l à khong g i a n x ẫc s u ấ t cơ s S ,E l ằ không g i a n

Banacb^ỵ h i ç u L (il) l à t ậ p cắc b i ế n ngẫu n h i ê n E - g i ắ t r ị sao cho

E đư^c nổi l a cổ tín h Radoĩi-Nykodin(tính R-N) nếu vỗi mỗi đọ

do Jtt xắc định trê n cắc tập Borel của đoạn [0 ,1 ] nhận g ỉắ t r ị

ĩ ĩ «Định l y : Kho nr ¿lan E cọ tín h lĩ-N khi và chỉ khi mỗi tap con

g iỗ i nọi cua E l à tậ p nhọn.

1 9

-GHƯC "G II

sẽ họi tụ h c c (theo chuẩn của E)

c) Moi M artingale (X ) E - £ ỉ ậ t r ị kha t í c h đeu sẽ h ọ i ty trong

^ II X H ^ l à n ọ t s u ta a r tin g a le t h ự c x ể t khai t r i ể n Doob của nổ

1 * a = » l ?) 1- ¿ %

A ^ l à 71$ t dãy tăng.Đ ặt — lim A

ĩ .3 »Định l y ; Gỉẳ sử (X ) l à M artingale E -giậ t r ị thuọc L (E) và

TĨỈ dọ I^Aoo < oO Ị = [a * $ a ị c [ ^ h c c b) a ) Đầu t i ê n , x ể t tru ’o’ng hç?p p r l G i ẫ sử (X ) l à M a r t i n g a l e

đưj?c gç>i l à p - t r ơ n đều h oẩ nếu E cổ t h ể đ ịn h chuẩn tư ơ n g đương

để t r ỗ th ằ n h mọt k h o n r g i a n p - t r đ n đều

Chong g i a n E đự£?c n ố i l à q - l ồ i đeu (2 £ q < 00 ) n ếu t ồ n t ạ i h ằn g

30 K sao cho ¿ '(6 ) s K ỉ E U'/.'OC n o i l ằ q - l ồ i đều h o ắ n?u nổ

co t h ề đ ịn h chuãn tương đương để t r ỗ th à n h ìiọt 'chong g i a n q - l ồ ỉ đều -Đ ịn h l ỵ P i s i e r s a u đẫy cho t a đf.c t r ư n g của ’.thons g i a n p - t r ơ n đeu hoắ v ằ q - l o ỉ đều hoẩ qua /nọt b ấ t á ẫ n c th ứ c l a r t ỉ n g a l e *

¿ » ĩ «Định l y : Cắc kh?Jig đ ịn h Gau l à tư ơn g đương

2 5 [ B » < Oûj c Ị x a - > Ị h c c

a 3 ä jn h l ý : G iả sỗ f l à mọt hàm dương sa o cho

eo

í

dx

< co[ l + f ( x ) ]

2»6 »Định l ỵ : Cắc k h a n2 đ ịn h s a u l à tư ơn g dtươnG

ỉ ) E đang cấu v ỗ i không g i a n H i l b e r t

i i ) Đối v ố i •••lỗi r t a r t i n g a l e (X ) th u ọ c L ? (E) t h o ẳ ’nãn đ i ề u k i