Điểm bất động chung trong không gian metric mờ

TôixinđưocgúilòicámơnchânthànhtóiBanGiámhi¾utrưòngĐaihocsưphamHàN®i2,phòngSauđaihoc,các thaycô giáotrongnhàtrưòngvàcácthaycôgiáodaycaohocchuyênngànhToánGiáitíchđãtaođieuki¾nthu¾nloichotô

Lu¾nvănđưochoànthànhtaitrưòngĐaihocsưphamHàN®i2dưóisnhưóngdancnaTS.HàĐúcVưong

Tôixinbàytólòngbietơnchânthành,sâusactóiTS.HàĐúcVưong,ngưòithayđãluônquantâm,đ®ng

viênvàt¾ntìnhhưóngdantôitrongquátrìnhthnchi¾nlu¾nvăn

TôixinđưocgúilòicámơnchânthànhtóiBanGiámhi¾utrưòngĐaihocsưphamHàN®i2,phòngSauđaihoc,các thaycô giáotrongnhàtrưòngvàcácthaycôgiáodaycaohocchuyênngànhToánGiáitíchđãtaođieuki¾nthu¾nloichotôi

trongquátrìnhhoct¾pvànghiêncúu.Tôixinbàytólòngbietơntóigiađình,ngưòithânđãđ®ngviênvàtaomoiđieuki¾nđetôihoànthànhlu¾nvănnày

HàN®i,tháng6năm2012

Tácgiá

NguyenTh%LanAnh

Tôixincamđoanlu¾nvănlàketquánghiêncúucnariêngtôidưóisnhưóngdancnaTienSĩHàĐúcVưong

Quátrìnhnghiêncúutôiđãsúdungvàkethùathànhquácnacác nhàK h o ahocvóis n trântrongvàbietơ n

HàN®i,tháng6năm2012

Tácgiá

NguyenTh%LanAnh

1.1 Khônggianmetric 31.2 Khônggianmetricđayđn 61.3 Đ%nhlýđiembatđ®ngBanach 12

2.1 T¾pmò 162.2 Khônggianmetricmò 192.3 Khônggianmetricmòđayđn 25

Chương3.Đ i e m batđ®ngchungtrongkhônggianmetricmà 31

3.1 Ánhxatươngthích 313.2 Đ%nhlýđiembatđ®ngchungtrongkhônggianmetricmò 35

metricmòtrongbàibáo:" O n F i x e d PointTheorem inFuzzyMetricS paces".

Vóimongmuontìmhieusâuhơnveđiembatđ®ng,điembatđ®ngchungtrongkhônggianmetricmò,đưocsngiúpđõ,hưóngdant¾ntìnhc n a T S HàĐúcVưong,tôimanhdanchonđetàinghiênc ú u :

"Điembatđ®ngchungtrongkhônggianmetricmà".

2 MncđíchnghiêncNu

Tonghopc á c ketquáveđiembatđ®ng,điembatđ®ngchungtrongkhônggianmetricmò.C ô n g trìnhnghiênc ú u đưocdnatrênketquác n a C T Aagevà

J.N Salunketrongbàibáo" O n F i x e d PointTheoreminFuzzyMetric Spaces"

3 Nhi¾mvnnghiêncNu

Nghiêncúuveđiembatđ®ng,điembatđ®ngchungtrongkhônggianmetricmò

Chương1Kient hNcchuanb%

Trongchươngnàychúngtôitrìnhbàyc á c kháini¾mc ơ bánvekhônggianmetric,khônggianmetricđayđn,đ

Đ%nhnghĩa1.1.2.

[1]Chokhônggianmetric(X,d).M®tt¾pconbatkỳM ƒ=∅cúat¾pXcùngvóimetri cdl¾pthànhm®tkhônggianmetric.Khônggianmetric(M,d)goilàkhônggianmetr icconcúakhônggianmetricđãcho.

Vídn1.1.1.Vóihaivectơbatkỳx=(x1,x2, ,x k ),y=(y1,y2, ,y k)

thu®ckhônggianvectơthnckchieuR k( klàsonguyêndươngnàođó).

d(x,y)=0⇔ (x j ,y j)2=0

j=1 k

= 1

≤ .a j 2 j=1

(n) (m).,

A2.Vìv¾ykhônggianA2làkhônggianđayđn.

Vídn1.2.4.ChoC[0;1]làt¾phoptatcácác hàmliêntuctrênđoan

|x(t)−z(t)|=|x(t)−y(t)+y(t)−z(t)|

≤|x(t)−y(t)|+|y(t)−z(t)|,∀t∈[0;1].

|x m (t)−x n (t)|dt

1 1

2 +n

¸+

d(x m ,x n)= lim

2 +

n

¸

1 2

Tùđósuy rad(x n ,x n+1 )≤k n d(x0,x1).Lay

2 <x1−x2 2.

®ngđólàđ%nhlýđiembatđ®ngBanachtrongkhônggianmetric

Chương2Không gianmetricmà

≤1 +t2

1

⇔1 +t2− 1

3 DodlàmetrictrênXtacó

t t+d(x,y)

t+d(x,y)

s+d(y,z)

.

st+sd(x,y)+t2+

td(x,y)−st−t2− td(x,z) [s+t+d(x,z)][t+d(x,y)]

=sd ( x, y ) + td ( x, y ) − td ( x, z ) [s+t+d(x,z)]

0 0

Vói∀ε>0khiđótontai

εt2+

εd2(x,y)+2εt0d(x,y) δ(ε,t0)=

Hay

lim

n,m→∞ M(x n ,x m ,t)=1.

Chúngminh.T h e o vídu2.2.5tacó(X,M d

x n −x m |.εt>(1−ε)|x n −x m |.

|x n −x m | < ε

1−ε

.t.

≥∆ M.y,x t

n , 2k

V¾yánhxaTc ó điembatđ®ngduynhat.Đ

%nhlýđưocchúngminh

Trongchươngnàychúngtôiđãtrìnhbàym®tsokháini¾mcơbánvet¾pmò,khônggianmetricmò,khônggianmetricmòđayđnvàcácvíduminhhoa,đ

%nhlýánhxacoBanachtrongkhônggianmetricmò

Chương3 Điembatđ®ngchungtrongkhônggi

anmetricmà

Năm2009,AagevàSalunkelàhainhàtoánhocAnĐ®,đãcôngbom®ts oketquáveđiembatđ®ngvàđiembatđ®ngchungchoc á c ánhxatrongkhônggianmetricmò

Dnatrênc ô n g trìnhnghiênc ú u c n a hainhàtoánhocAagevàSalunke,trongchươngnàychúngtôixintrìnhbàym®tsokháini¾mcơbánveánhxatươngthích,điembatđ®ngchungc n a c á c ánhxatươngthíchtrongkhônggianmetricmò

[4]C h o t¾ps o thncR vóimetricthôngthưòng.TaxétánhxaS,T: R→R

xácđ%nhbói:

Sx=2x,Tx=x2vói∀x∈X.

[4]Chot¾pX,fvàg làcácánhxatươngthíchyeungaunhiên(occasionallyweakly

compatible)trongX.Neufvàgcóduynhatm®tđiemtrùng,w =fx=gx,thìwlàđi embatđ®ngchungduynhatcúafvàg.

Giásúngoàiwcòncózlàđiembatđ®ngchungcnafvàg,thì

z=fz=gzlàđiemtrùng.

Màđiemtrùnglàduynhatnênz=w.Dođówlàđiembatđ®ngchungduynhatc n a f vàg.

Đ%nhlýđưocchúngminh

%nhlýđiembatđ®ngchungtrongkhônggianmetric mà

Đ%nhlý3.2.1.

[4]Cho(X,M,∆)làkhônggianmetricmòđayđú,A,B,SvàT làcácánhxatrongX.

{ A,S}và{B,T}làcácánhxatươngthíchyeungaunhiên(occasionallyweakly compatible).Neutontaik∈(0;1)saocho

M(Ax,By,kt)≥min

,M(Sx,T y,t),M(Sx,Ax,t),M(By,T y,t), M(Ax,T y,t),M(By,Sx,t),, (3.1)

∀x,y∈ X và∀ t> 0 ,thìtontaiduynhatđiemw ∈ X saocho

Aw=Sw=wvàduynhatm®tđiemz ∈ XsaochoBz= Tz= z.

Hơnnuaz = w,vìv¾ytontaiduynhatm®tđiembatđ®ngchungcúaA , B,SvàT.

Chúngminh.G o i {A,S}và{B,T}làcácánhxatươngthíchyeungaunhiên.Vìt hetacó các điemx,y∈Xthoámãn

Ax=SxvàBy=T y.

TachúngminhAx=By.

Ax=Sx=Bz2= T z2 DođóBy=Bz2suyray=z2.

Chúngminh.G o i {A,S}và{B,T}làcácc¾pánhxatươngthíchyeungaunhiê n,nhưv¾yc ó c á c điemx , y∈X thoámãnA x = SxvàBy=T y.

Ax=Sx=Bz2= T z2 DođóBy=Bz2suyray=z2.

=ΦM (w,z,t),M(w,w,t),M(z,z,t), M(w,z,t),M(z,w,t).

≥∆M(Sx,T y,t),M(Ax,Sx,t),M(By,T y,t), M(Sx,T y,t),M(T y,By,t),M(Ax,T y,t).

thìtontaiduynhatđiembatđ®ngchungcúaA,B,SvàT.

Chúngminh.G o i {A,S}và{B,T}làcácc¾pánhxatươngthíchyeungaunhiê nvàcócácđiemx,y∈XthoámãnAx=Sx,By=T y.

=∆.M(y 2n ,y 2n+1 ,t),M(y 2n+1 ,y 2n ,t),M(y 2n+2 ,y 2n+1 ,t),M(y 2n+1 ,y 2n+1 ,t).

=∆.M(y 2n ,y 2n+1 ,t),M(y 2n ,y 2n+1 ,t),M(y 2n+1 ,y 2n+2 ,t),1.

≥∆.M(y 2n ,y 2n+1 ,t),M(y 2n+1 ,y 2n+2 ,t)..

Dođótacó

M(y 2n+1 ,y 2n+2 ,kt)≥M(y 2n ,y 2n+1 ,t). (3.8)Tươngtn,tacó

M(y 2n+2 ,y 2n+3 ,kt)≥M(y 2n+1 ,y 2n+2 ,t). (3.9)Tùbatđangthúc(3.8)và(3.9),tacó

M(y n+1 ,y n+2 ,kt)≥M(y n ,y n+1 ,t). (3.10)Tù(3.10)tacó

.M(Sz,Sz,t),M(Az,T z,t),M(Az,T z,t),M(Az,T z,t).

.1 ,M(Az,T z,t),M(Az,T z,t),M(Az,T z,t) .M(Az,T z,t),M(Az,T z,t),M(Az,T z,t).

%nhlýđưocchúngminh

Trongchươngnàychúngtôi

đãtrìnhbàym®tsokienthúccơbánvekhônggianmetricmò,ánhxatươngthích,ánhxatươngthíchyeu,ánhxatươngthíchyeungaunhiênvàcá c ketquáveđiembatđ®ngchungtrongkhông gianmetricmò

gon,h¾thongcáckháini¾mvekhônggianmetric,khônggianmetricmòvàđiembatđ®ngchungtrongkhônggianmetricmò.Lu¾nvănđưoctrìnhbàyvói3chươngn®idung:

Vóiphamvikienthúcvàthòigianc ò n nhieuhanchechacchanlu¾nvănkhôngtránhkhóinhungthieuxót.M o n g quýthayc ô vàc á c banđongnghi¾pgópýđelu¾nvănđưochoànthi¾nhơn.Tácgiáxinchânthànhc á m ơ n

[A] Tàili¾utiengVi¾t

[1]NguyenPhuHy(2005),Giáitíchhàm,NXBKhoahockythu¾tHàN®i [2]ĐoHongTân,NguyenTh%ThanhHà(2002),Cácđ

-131

[5]C.T.Aage,J.N.Salunke(2009),CommonFixedPointTheoremsinFuzz yMetricSpaces,InternationalJournalofPureand

AppliedM a t h e m a t i c s , 56(2),pp155-164

[6]C.T.Aage,J.N.Salunke(2009),SomeFixedPointTheoremsinFuzzy MetricSpaces,InternationalJournalofP u r e andAppliedMathemat

ics,56(3),pp311-320

[7]P.Balasubramaniam,S.Muralisankar,R.P.Pant(2002),Commonfixedp ointsoffourmappingsina fuzzymetricspaces,J.FuzzyM a t h 10(2),37

9-384

[8]A.G e o r g e , P.Veeramani(1994),Onsomeresultsinfuzzymetricspaces,F

uzzySetsandSystems,64,395-399

[12]S.N.Mishra(1991),CommonfixedpointsofcompatiblemappingsinP M s paces,M a t h J a p o n 36,283-289.