Các đa thức trực giao

Trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến, ta sẽ gặp một số phương trình vi phân thông thường mà nghiệm của nó là các hàm cầu, hàm B

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Cơ sơ lí thuyết 2

1.1 Tích vô hướng 2

1.1.1 Định nghĩa 2

1.1.2 Một số tính chất của tích vô hướng …… 2

1.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 2

1.3 Đa thức trực giao 3

1.4 Bài toán Sturm – Liouville 5

1.5 Tích phân Euler loại 1,2 5

1.5.1 Tích phân Euler loại 1 5

1.5.2 Tích phân Euler loại 2 5

1.5.3 Liên hệ B và là 6

Chương 2: Các đa thức trực giao 7

2.1 Đa thức Legendre 7

2.1.1 Định lí 1 8

2.1.2 Định lí 2 11

2.1.3 Định lí 3 13

2.1.4 Định lí 4 14

2.1.5 Định lí 5 15

2.1.6 Định lí 6 18

2.2 Tọa độ cầu và phương trình Legendre 19

2.2.1 Định lí 7 23

2.2.2 Định lí 8 27

2.2.3 Định lí 9 28

Khóa luận tốt nghiệp

2.2.4 Đị nh lí 10 29

2.3 Đa thức Hermite 30

2.3.1 nhĐị lí 11 31

2.3.2 nhĐị lí 12 32

2.3.3 Hệ quả……….………33

2.3.4 nhĐị lí 13 33

2.3.5 Đị nh lí 14 35

2.4.Đa thứ c Laguerre 37

2.4.1 nhĐị lí 15 37

2.4.2 nhĐị lí 16 40

2.4.3 nhĐị lí 17 42

2.5 Đa thứ c Chebyshev 43

2.6 Đa thứ c Jacobi 44

K Ế T LU Ậ N 47

TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 48

Trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến, ta sẽ gặp một số phương trình vi phân thông thường mà nghiệm của nó là các hàm cầu, hàm Betsen, , đậc biệt là các đa thức trực giao là đa thức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre,Đa thức Chebyshev, Đa thức Jacobi

Tuy nhiên, trong quá trình học tập và nghiên cứu, bản thân em cũng như các bạn sinh viên cùng khoá để hiểu một cách sâu sắc các đa thức trực giao, các tính chất của chúng, và các ứng trong vật lí là rất khó.

Từ những suy nghĩ trên, và dưới sự hướng dẫn của thầy TS.BÙI KIÊN CƯỜNG Em dã chọn đề tài “Các đa thức trực giao” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.

Khoá luận của em gồm các nội dung sau:

Chương1: Cơ sở lí thuyết

Chương2: Các đa thức trực giao

Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn TS BÙI KIÊN CƯỜNG người đã hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này.

Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô trong khoa toán đã giúp đỡ em trong 4 năm học qua !

Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2010

Sinh viên BÙI VĂN LĂNG

là hội tụ tuyệt đối Tồn

Tương tự như trên ta giải hệ ba phương trình

Bổ đề 1: Giả sử P là dãy các đa thức,

1.5.Tích phân Euler loại 1,2:

1.5.1.Tích phân Euler loại 1:

(a 1) a(a), a 0

(n 1) n!

(1 ) 2

1.5.3.ên hệ B và là:

B(a,b) (a b) (a). (b) 

Chương 2 Các đa thức trực giao

Bùi văn lăng – k32g toán 10

n

Bùi văn lăng – k32g toán 10

= e x 2xH n1 (x) H n1 (x),

Bùi văn lăng – k32g toán 11

Bùi văn lăng – k32g toán 12

Tích phân tiếp tục (n-1) lần ta được:

Do giả thuyết trên các tích phân ở bên phải đều triệt tiờu Theo định lí

Như vậy công thức Taylor:

Hn(x) 2xHn(x) 2nHn (x) 0.Phương trình có thể được viết dạng Sturm-Liouville bằng cách nhân cả

Như vậy, các đa thức Hermite là cỏc hàm riêng của bài toán Liouville kỡ dị:

với “điều kiện biên” là nghiệm của bài toán thuộc L2 (R)

Với mục đích khỏc nhau người ta cú thể thay thế đa thức Hermite bằng

phương trình Hermite h n được xác định bởi:

2

Như vậy tính đầy của h theo định lí 12.

Kí hiệu

Nếu f là đa thức bậc nhỏ hơn n , Nếu

Bùi văn lăng – k32g toán 20

Các đa thức Laguerre L n 0,1thỏa mãn phương trình (42)

Bùi văn lăng – k32g toán 20

Bùi văn lăng – k32g toán 21

Bùi văn lăng – k32g toán 22

ta có điều phải chứng minh

Từ Định lí 16 ta thấy phương trình Laguerre

bài toán Sturm-Liouvill trên khoảng (0, ) liên kết với phương trình

vi phân

x 1

e x y

 

 x e

Công thức đúng với z nhỏ, chứng minh (47) cho các z, (47) là đúng với

z <1 đối với phân tích ở vế phải 

Nếu f trực giao với mọi T n ,

Thì f=0, là tính đầy của đa thức Chebyshev

Tính chuẩn của đa thức Chebyshev:



n

 1

z2

Đa thức Chebysher là trường hợp riêng của Jacobi 

hoặc tương đương

với

đa thức

n Đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết hàm điều hòa cầu trong Rk như đa

C

 1

=(n

1

).(n 1) ( 3)(1)( 1)

= 1 3 (n

thức bậc n Do công thức (3) ,nên số hạng cao nhất là:

= c j P j (x)

0

Bằng tính trực giao , các hệ số c j tính bằng cách:

Bùi văn lăng – k32g toán 30

Định lí 2 nói rằng đa thức Legendre là hàm riêng của phương trình

Sturm-Liouville trên khoảng (-1,1), nhưng nó bị triệt tiêu tại x 1 Từ đó ta đi

tìm điều kiện biên thích hợp để xác định bài toán Sturm-Liouville Nghiêncứu nghiệm của (7) tại

Tóm lại tại điểm

số mũđặc trưng ở những điểm này là bằng không Do đó với bất kì thìphương trình (7) có một nghiệm không tầm thường, đây là phân tích tại

x=1 Trong trường hợp bất kì hai nghiệm độc lập thì logarit sẽ có tính kì

dị Do đó ta có thể áp đặt điều kiện biên cho (7) bằng cách cho nghiệm

không kì dị tại x 1 Nó được biểu diễn như sau:

Bùi văn lăng – k32g toán 30) trực giao với mọi đa thức

Bùi văn lăng – k32g toán 31

Bùi văn lăng – k32g toán 32

Trong Định lí 1 sự triển khai thành chuỗi của hàm

Ta thấy (x2

2n n!P(x) là hàm chẵn hoặc lẻ tùy vào n là chẵn hay lẻ Vì vậy chúng ta

thông qua chuỗi Fourier trên

,  tới chuỗi Fourier - cos, Fourier - sin

Cho x 1,1, là vòng tròn bán kính 1 để x nằm trong mặt

phẳngphức Áp dụng công thức Cauchy cho đạo hàm đối với công thức (2), ta có:

P (x) 1 d

(x2 1)n n

là tốt )

0 (

x

i

1x2

,cụ thể là 1 Công thức đúng với

tất cả z sao cho z 1

Hệ quả 1:

Với mỗi n, P n (1)=1,P n (-1)=(1)n

.Chứng minh:

góc giữa vectơ x và a ý nghĩa hình học:

dx

2n 1n n

Là phép lấy tích phân công thức (công thức đúng với n=0 nếu ta đặt

P1 (x) 0.)

2.2.Tọa độ cầu và phương trình Legendre.

được cho bởi:

hằng số.





Vế trái phụ thuộc vào r, vế phải phụ thuộc vào nên nó là hằng số

Bây giờ cho:

S

m2  m1 m

Bùi văn lăng – k32g toán 40

Bùi văn lăng – k32g toán 40

Bùi văn lăng – k32g toán 41

Bùi văn lăng – k32g toán 42

là đầy

P

k 0

Cuối cùng ta đi tính chuẩn

n , để đơn giản ký hiệu ta cố định n và

(m 1)s 1s2

 

Chúng ta quay trở lai bài toán Dirichlet(13), với giá trị riêng  trong

Đây là phương trình Euler, nghiệm tổng quát của nó là:

f ,Ymn 2

Nếu chúng ta thế đẳng thức trên vào (28), và gọi y là điểm mà trong tọa

độ cầu nó có toạ độ là 1,,  Chúng ta được (27), với x nằm trên phần dương của trục Oz Nhưng(27) là biểu thức độc lập với hệ toạ độ Decarters đã cho, vì thế với x là vectơ bất kỳ, chúng ta chọn hệ toạ độ Decarters mà x nằm trên chiều dương của trục Oz, lý luận trên cho ta thấy (27) đúng tại x.

f , H n  . Điều này chứngminh được tính trực giao của đa thức Hermite

Bùi văn lăng – k32g toán 50

Bùi văn lăng – k32g toán 50

Bùi văn lăng – k32g toán 51

Bùi văn lăng – k32g toán 52

với “điều kiện biên” là nghiệm của bài toán thuộc L2 (R) .

Với mục đích khỏc nhau người ta cú thể thay thế đa thức Hermite bằng

phương trình Hermite h n được xác định bởi:

(35)

Đây là công thức (35).

Từ công thức (35) , và (34) ta có:

2nh n (x) 2n xh n1 (x) h n1 (x)



Hàm F khả tích trên (0,

)



, L

2

y



Ta thấy đa thức Laguerre thỏa mãn phương trỡnh Laguerre:

ta có điều phải chứng minh.

Từ Định lí 16 ta thấy phương trình Laguerre

Bùi văn lăng – k32g toán 60

Công thức đúng với z nhỏ, chứng minh (47) cho các z, (47) là đúng với

z <1 đối với phân tích ở vế phải 

Bùi văn lăng – k32g toán 60

Bùi văn lăng – k32g toán 61

ở đây cos n là cơ sở trực

Là tính trực giao của đa thức Chebyshev

Nếu f trực giao với mọi T n ,

Thì f=0, là tính đầy của đa thức Chebyshev

Tính chuẩn của đa thức Chebyshev:

Bùi văn lăng – k32g toán 62

thỏa mãn phương Jacobi:



P

thức Legendre trong R3 .

P C

KẾT LUẬN

Khóa luận “Các đa thức trực giao” em trình bày tính trực giao của các đathức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre,Đa thức Chebyshev, Đathức Jacobi Các tính chất của các đa thức đó, và các phưong trình vi phân dẫnđến việc tìm ra các đa thức trực giao trên

Luận văn có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu sâu về một số vấn

đề của vật lý

Do thời gian có hạn nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của các thầy cô giáo và cácbạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn

TS Bùi Kiên Cường, cũng như các thầy cô giáo đã giúp đỡ em trong thời gianthực hiện khóa luận

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp toán lí, Nxb giáo dục

2 Phan Huy Thiện (2006), Phương pháp toán lí, Nxb giáo dục

3 PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2006) , Giải tích hàm, Nxb Khoa học và kỹthuật

4 Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang – Hoàng Quốc Toàn (2003), Giáo trình giải tích tập 3, Nxb Đại Học Quốc gia Hà Nội

5 Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, Nxb ĐạiHọc Quốc gia Hà Nội

6 TSKH Nguyễn Mạnh H ùng (2002), Phương trình đạo hàm riêng.Nxbgiáo dục

7 Phan Hồng Trường(2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2,