Đa thức trực giao và ứng dụng (LV00268)

Lý do chọn đề tài Kết quả của những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức và lý thuyết giải tích hàm có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của toán học cũng như trong thự

Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học sư phạm hà Nội 2

Đa thức trực giao và ứng dụng

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huy Lợi

Hà Nội, 2009

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và tỉ mỉ của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng sau đại học của Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn sở GD - ĐT Vĩnh Phúc, Trường THPT Yên Lạc đã tạo mọi điều kiện để tác giả học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 8 năm 2009 Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi Các kết quả trong luận văn được trích dẫn rõ ràng, trung thực và luận văn không trùng lặp với những đề tài khác

Hà Nội, tháng 8 năm 2009

Tác giả

MỤC LỤC

Mở đầu 5

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 7

1.1 Hàm giải tích 7

1.2 Tích phân Cauchy 12

1.3 Một số tính chất quan trọng của hàm giải tích 19

1.4 Không gian Hilbert 22

Chương 2: ĐA THỨC TRỰC GIAO 28

2.1 Hệ trực giao 28

2.2 Lý thuyết về sự trực giao 30

2.3 Đa thức trực giao 33

2.4 Sự biểu thị qua tỷ trọng Hàm sinh 39

Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG 49

3.1 Ứng dụng để giải quyết một số vấn đề lý thuyết 49

3.1.1 Đa thức Legiandr có vai trò quan trọng trong lý thuyết thế 49

3.1.2 Công thức truy toán đối với đa thức Legiandr 49

3.1.3 Biểu diễn tích phân của đa thức Legiandr 50

3.1.4 Công thức tiệm cận đối với đa thức Legiandr 51

3.1.5 Hàm Legiandr 54

3.2 Ứng dụng để giải quyết một số bài toán 56

3.2.1 Hàm cầu 56

3.2.2 Tính chất cực trị của đa thức Chebyshev 58

3.2.3 Đa thức Jakobi và chuỗi bội 59

3.2.4 Phương trình sóng của hàm Chebyshev – Ermit 60

3.2.5 Hàm Chebyshev - Ermit và toạ độ parabol 61

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Kết quả của những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức và lý thuyết giải tích hàm có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của toán học cũng như trong thực tiễn Ngay từ những năm đầu của thế kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc ứng dụng lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động học và khí động học Nhờ những ứng dụng bước đầu to lớn đó lý thuyết hàm biến phức đã thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học Đặc biệt trong lý thuyết này có đa thức trực giao với các tính chất đặc trưng của nó đã được ứng dụng nhiều trong việc giải quyết một số vấn đề lý thuyết, giải toán cũng như trong thực tiễn

Việc nghiên cứu đa thức trực giao giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn

về lý thuyết hàm biến phức, lý thuyết hệ trực giao, đồng thời sử dụng các kết quả đó để giải quyết một số vấn để của lý thuyết toán học và đây cũng là kiến thức cơ sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác

Bởi vậy, tôi đã chọn đề tài “Đa thức trực giao và ứng dụng” để thực hiện luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đa thức trực giao

Nghiên cứu ứng dụng của đa thức trực giao

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các định nghĩa, tính chất của đa thức trực giao

Nghiên cứu các ứng dụng của đa thức trực giao

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết đa thức trực giao và một số ứng dụng của nó

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo Trong đó:

Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ Chương 2: Đa thức trực giao

Chương 3: Một số ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu sâu một khái niệm của Toán học, nâng nó lên thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn

đề của lý thuyết, giải toán

Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học

và người yêu thích toán về đa thức trực giao và ứng dụng của nó

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Hàm giải tích

Ta kí hiệu là trường số phức, được đồng nhất với mặt phẳng toạ độ

và được gọi là mặt phẳng phức là không gian véctơ trên trường với các phép toán thông thường cũng là không gian định chuẩn với chuẩn là modul của số phức

Khi f D : là đơn ánh, thì hàm f được gọi là đơn diệp Có thể xảy

ra trường hợp f không đơn diệp trên , D nhưng có thể chia nhỏ D thành các

tập con D lớn nhất trên đó f là đơn diệp Khi đó mỗi i D được gọi là miền iđơn diệp của f

( ) Re ( ) (Re )(z)

u z  f z  f

( )v z Im ( )f z (Im )( )f z

Bằng cách đồng nhất z với ( , ), x y xRe ,z yIm ,z hàm f có thể coi như hàm của hai biến thực ,x y và vậy thì hai hàm u và v cũng được coi

như thế

Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số f xác định trên miền D  Xét giới hạn

; , lim

0

f z z f z

z z z D z

f z z f z z

 

Nói cách khác f liên tục tại z

Cũng như đối với biến thực bằng quy nạp ta viết

( )

f z g z f z g z f

z



 (iv) Nếu  f z( ) khả vi phức tại z còn 0, g( ) khả vi phức tại

miền D  Hàm f được gọi là 2- khả vi tại z x iy nếu các hàm ( , )

u x y và ( , ) v x y khả vi tại ( , ) x y theo nghĩa thực đã biết

Định lý 1.1.2 Để hàm f - khả vi tại z x iyD điều kiện cần và đủ là

f 2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy – Riemann sau đây được thoả mãn

( , ) ( , ) x

Hàm f gọi là giải tích trên miền D nếu nó giải tích tại mọi điểm zD

Hàm giải tích còn gọi là hàm chỉnh hình hay hàm chính quy

Nhận xét 1.1.2 Ta có thể mở rộng định nghĩa nêu trên tới trường hợp D là

miền tuỳ ý trong còn f là ánh xạ từ D vào bởi phép nghịch đảo Như

vậy khi z hữu hạn còn 0 f z   ta nói ( )0 f chỉnh hình tại tại z nếu 0 1

(i) H D( ) là một không gian véc tơ trên (ii) H D là một vành ( )

Thật vậy chuỗi 1

1

n n n

n n

2

n n

2

N n n

f z dz( ) udx vdy udy vdx.

Tính chất 1.2.6 Nếu  là đường cong khép kín, không tự cắt, trước hết theo

lẽ thông thường định hướng  theo chiều dương sau đó chọn tuỳ ý hai điểm

khác nhau A và B thuộc  sao cho chiều từ A đến B cùng chiều với  Khi

Nếu tồn tại hàm chỉnh hình g trong miền D chứa  sao cho

'

( ) ( )

g z  f z với mọi z , thì g được gọi là một nguyên hàm của f

Giả sử zz t( ), ta b;  là phương trình của  thì theo (1.10) ta có

Đây là công thức Niutơn-Leibniz, trong đó A là điểm đầu còn B là

điểm cuối của 

Từ (1.11) ta thấy rằng nếu  là đường cong đóng ( A trùng với B ) thì

Định lý 1.2.2 (Bổ đề Goursat) Nếu hàm  f z( ) liên tục trong miền đơn

liên D và  là một đường cong đóng trơn từng khúc nằm trong D, thì với mọi   tồn tại một hình đa giác P0 D có các đỉnh nằm trên  sao cho

Định lý 1.2.3 Nếu hàm  f z( )chỉnh hình trong miền đơn liên D thì với

mọi chu tuyến, trơn từng khúc  D ta có

Định lý 1.2.4 Giả sử D là miền đơn liên bị chặn với biên  là một chu D

tuyến trơn từng khúc Khi đó nếu f là hàm liên tục trên DD  và chỉnh D

Định lý 1.2.6 Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên D sao cho tích

phân của f dọc theo mọi chu tuyến bất kỳ nằm trong D đều bằng 0 Khi đó

với mọi z0Dcố định, hàm

0

z z

Định lý 1.2.7 Giả sử D là miền đơn liên còn f là hàm chỉnh hình trên D

khác không tại mọi điểm Khi đó tồn tại hàm g chỉnh hình trên D để g

e  f Định lý1.2.8 Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D và z0D Khi đó với mọi chu tuyến  D, sao cho z0D D ta có công thức tích phân Cauchy

( )( ) f

Giả sử ( )f  là hàm liên tục trên dường cong Jordan trơn từng khúc  Khi đó tích phân (1.17) là một hàm chỉnh hình trên C  Hơn nữa trên \ C  \hàm ( )F z có đạo hàm mọi cấp, chúng được cho bởi công thức

(0)( ) ( )

F z F z

Chứng minh Bằng cách đặt

( 1)! ( )( , )

k f z

đó nói riêng u và v là các hàm có đạo hàm riêng liên tục Mặt khác u và v là

các hàm liên tục theo tập các biến , , ,   x y Vì thế ta có thể lấy các đạo hàm riêng các tích phân (1.21) dưới dấu tích phân

U

, x

1

( , )( , )

hàm mọi cấp trên D Và các đạo hàm này cũng là các hàm chỉnh hình trên D

Ngoài ra các đạo hàm của f tại zD cho bởi công thức

Trong đó  là chu tuyến tuỳ ý vây quanh z sao cho D D

1.3 Một số tính chất quan trọng của hàm giải tích

Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu f là hàm chỉnh hình trong miền

Chứng minh Giả sử z  tuỳ ý Theo bất đẳng thức Cauchy với n  1

Định lý 1.3.3 (Định lý D’alembert) Mọi đa thức bậc m  có đúng 1 m

nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng đúng bội của nó

Chứng minh Giả sử đa thức P bậc m  không có nghiệm Khi đó 11

( )

P z là hàm chỉnh hình và bị chặn trên do đó

1( )

P z là hằng số hay ( )P z

là hằng số, trái với giả thiết m  1

Vậy ( )P z có ít nhất một nghiệm zz0 Khi đó 1

0

( )( ) P z

P z

z z



 là đa thức bậc m 1 Nếu m  1 0 thì P z lại có ít nhất một nghiệm Tiếp tục lập 1( )

luận như trên ta thu được m nghiệm của P

Định lý 1.3.4 (Định lý về giá trị trung bình) Nếu f là hàm chỉnh hình trên

Định lý 1.3.5 (Nguyên lý môđun cực đại) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên

miền bị chặn D và liên tục trên D Khi đó hoặc f const hoặc f z chỉ đạt ( )cực đại trên biên  của D D

Định lý 1.3.6 (Bổ đề Schwarz) Giả sử f là hàm chỉnh hình biến hình tròn

đơn vị (0,1)B vào chính nó, hơn nữa (0) 0.f  Khi đó

(i) f z( )  với mọi z zB(0,1)

(ii) Nếu f z( )0  z0 với điểm z nào đó trong 0 B(0,1) khác không thì ( )

( ) 1( )z f z

z r

Nên theo nguyên lý môđun cực đại

1( )z , z r

r

Cho r  ta nhận được 1

( )( )z f z 1; z B(0,1)

1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.4.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P là trường

số thực hoặc trường số phức ) Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes XX vào trường ,P ký hiệu (.,.), thoả mãn tiên

đề:

(i) ( , )y x ( , )x y x y, X

(ii) (xy z, )( , ) ( , )x z  y z x y z, , X

(iii) (x y, )( , )x y x y, X,  P

(iv) ( , )x x 0, nếu x (  là phần tử không), ( , )x x  nếu 0 x

Định lý 1.4.1 Đối với mỗi xX ta đặt

x  ( , ).x x (1.25)

Khi đó x y, X ta có bất đẳng thức Schwarz

( , )x y  x y (1.26)

Chứng minh Nếu ( , ) x y  thì bất đẳng thức (1.26) hiển nhiên đúng 0 Nếu ( , )x y 0, thì với mọi số thực  ta có

0 ( x( , ) ,x y y x( , ) )x y y kjfasfhsfs  x2( , )( , )x y y x ( , )( , )x y y x ( , )( , )( , )x y x y y y

Hệ quả 1.4.1 Công thức (1.25) xác định một chuẩn trên không gian X

Định nghĩa 1.4.2 Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô

hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Theo hệ quả 1.4.1 mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn (1.25)

Hệ quả 1.4.2 Tích vô hướng ( , )x y là một hàm liên tục của hai biến x và y

theo chuẩn (1.25)

Định nghĩa 1.4.3 Ta gọi một tập H  gồm những phần tử , , ,  x y z nào

đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:

(i) H là không gian tuyến tính trên trường P

(ii) H được trang bị một tích vô hướng (.,.)

(iii) H là không gian Banach với chuẩn x  ( , ),x x xH

Định nghĩa 1.4.4 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử , x yHgọi là trực giao, ký hiệu xy, nếu ( , ) 0.x y 

Định nghĩa 1.4.5 Cho không gian Hilbert H và tập con AH, A   Phần

tử xH gọi là trực giao với tập ,A nếu x y,  y A, và ký hiệu x A Định nghĩa 1.4.6 Cho không gian Hilbert H Một tập (còn gọi là hệ thống) .gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử ( )e n n1H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu

Nếu chuỗi

1 n

n x





 hội tụ thì dãy tổng riêng ( )s của chuỗi này là dãy cơ k

bản Do đó, nhờ hệ thức (1.29) và tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi





 hội tụ, thì từ hệ thức (1.29) suy ra dãy tổng

riêng ( )s của chuỗi k

1 n

n x





 là một dãy cơ bản Từ đó và từ tính đầy của không

gian H suy ra chuỗi

1 n

n x





 hội tụ trong không gian H

Định lý 1.4.4 (Quá trình trực giao hoá Hilbert-Schmidt) Cho một hệ các

vectơ độc lập tuyến tính ( )x n n1Hgồm hữu hạn hay đếm được phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ này thành một hệ trực chuẩn

Chứng minh.Đặt 1

1 1

x e x

 thì e  1 1Đặt y2 x2( , )x e e2 1 1 thì ( , )y e2 1 ( , ) ( , )( , )x e2 1  x e e e2 1 1 1 0

Rõ ràng y 2 0, vì nếu y  thì sẽ kéo theo 2 0 x x phụ thuộc tuyến tính, 1, 2điều này mâu thuẫn với giả thiết

2

2

y e

và y k10, vì y k1 sẽ kéo theo 0 x x1, , , , 2 x3 x k1 phụ thuộc tuyến tính, điều

này mâu thuẫn với giả thiết

1

1

k k

k

y e

Còn nếu hệ ( )x n n1 gồm vô hạn vectơ độc lập tuyến tính, thì quá trình

trên có thể tiếp tục mãi Cuối cùng ta nhận được hệ trực chuẩn cần tìm

Quá trình biến hệ vectơ độc lập tuyến tính của không gian H thành hệ vectơ

trực chuẩn như trên thường gọi là quá trình trực giao hoá Hilbert-Schmidt

Định lý 1.4.5 (Bất đẳng thức Bessel) Nếu ( )e n n1 là một hệ trực chuẩn nào đó

trong không gian Hilbert H thì x,  H ta đều có bất đẳng thức

không gian Hilbert H theo một hệ trực chuẩn tuỳ ý bao giờ cũng hội tụ Từ

lượng không hạn chế toạ độ, giá trị của các hàm này trong các điểm riêng của khoảng ( , ).a b

Định nghĩa 2.1.1 Tích vô hướng của hai hàm f x và ( )( ) g x trên khoảng

( , )a b là

( , ) ( ) ( )

b a

f g   f x g x dx (2.1) Nhận xét 2.1.1 Như vậy theo sự so sánh với đại số vectơ ta đưa ra khái niệm khác gọi là chuẩn, từ bình phương vô hướng của nó là:

( , ) b ( )

a

f  f f   f x dx (2.2) Nhận xét 2.1.2 Bất đẳng thức Bunhiakobski-Schwarz

Định nghĩa 2.1.2 Hàm f x và ( )( ) g x được gọi là trực giao với nhau, nếu tích

vô hướng của chúng bằng 0:

( , ) b ( ) ( ) 0

a

f g  f x g x dx (2.4) Định nghĩa 2.1.3 Hệ thống hàm n( )x  gọi là trực giao, nếu hai đại lượng bất kỳ của hệ thống đó trực giao với nhau

( m, n)0, nếu mn.Ngoài ra hệ thống này còn được gọi là hệ trực chuẩn nếu các hàm này

f g   f x g x dx (2.5)

ở đây ( )g x là hàm liên hợp của ( ).g x

Khi này tính chất đối xứng của tích vô hướng sẽ mất đi Hiển nhiên ta

Để xác định hệ số c ta nhân cả hai vế của công thức trên với n n( )x và chúng ta tính tích phân theo khoảng ( , ) :a b

b

a

n n

Sự trực giao của hệ hàm có vai trò quan trọng như tên gọi của nó đối với sự miêu tả tiếp theo, có nghĩa là sự thay thế của hệ hàm n( )x bởi n( ),x

là một tổ hợp trực giao Khi chứng minh tính trực giao của chúng ta giả thiết rằng n( )x  độc lập tuyến tính Giống như trong đại số véc tơ, có nghĩa là một hàm bất kỳ trong hệ không thể phân tích tuyến tính thành các hàm khác trong hệ

Sau đó chúng ta xác định hàm