Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)

Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)Liên phân số và đa thức trực giao (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH

LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ PHƯƠNG THANH

LIÊN PHÂN SỐ VÀ ĐA THỨC TRỰC GIAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - 2017

Mục lục

1.1 Liên phân số 8

1.1.1 Liên phân số xuất hiện trong phép chia 9

1.1.2 Liên phân số xuất hiện khi giải phương trình 11

1.1.3 Các định nghĩa cơ bản của liên phân số 13

1.2 Một số công thức đẹp về liên phân số 15

1.2.1 Phép biến đổi của liên phân số 15

1.2.2 Hai chuỗi số đặc biệt và đồng nhất thức liên phân số 17 1.2.3 Liên phân số của arctan và π 20

1.3 Ứng dụng của liên phân số trong lịch và âm nhạc 24

1.3.1 Liên phân số và lịch 24

1.3.2 Piano 27

Chương 2 Đa thức trực giao 31 2.1 Xấp xỉ Diophantus 31

2.1.1 Xấp xỉ tốt và xấp xỉ tốt nhất 31

2.1.2 Sự xấp xỉ và sự hội tụ 32

2.2 Liên phân số và đa thức trực giao 39

2.2.1 Ma trận trực giao 39

2.2.2 Cầu phương Gauss 40

2.2.3 Phương pháp Sturm 42

2.2.4 Tiếp cận Chebyshev của đa thức trực giao 45

2.2.5 Một số đa thức trực giao quan trọng 45

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà HuyKhoái (Trường Đại học Thăng Long, Hà Nội) Tác giả xin được bày tỏlòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình,người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tìnhgiải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảngviên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập

và nghiên cứu

Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể lớp Cao họcToán khóa 9 (2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trongsuốt quá trình học tập

Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đàotạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THCS TrầnPhú, Quận Lê Chân, Thành phố Hải Phòng đã tạo điều kiện cho tác giảhoàn thành tốt nhiệm vụ học tập và công tác của mình

Cuối cùng, tác giả muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến bố

mẹ và đại gia đình đã luôn động viên và chia sẻ những khó khăn để tác giảhoàn thành tốt luận văn này

Mở đầu

Liên phân số (hay phân số liên tục - continued fractions) là một dạngbiểu diễn các số thực dương, cả hữu tỷ và vô tỷ, dưới dạng một phân sốnhiều tầng Người ta đã tìm thấy rất nhiều ứng dụng đa dạng của liên phân

số, chẳng hạn các ứng dụng trong các bài toán giải phương trình Pell hayxấp xỉ Diophantus

Trong Toán học, các đa thức trực giao (orthogonal polynomials) đóng

một vai trò vô cùng quan trọng Đồng thời, nó cũng là một công cụ rất hữuích cho các ngành vật lý và kỹ thuật

Luận văn này có mục đích, thứ nhất là trình bày về liên phân số cùngcác ứng dụng đơn giản của chúng trong nhiều biểu diễn liên quan đếnarctan và số π, thứ hai, là nghiên cứu các ứng dụng liên phân số trong các

đa thức trực giao

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:

• Chương 1 Liên phân số Trong chương này chúng tôi trình bày các

kiến thức cơ sở về liên phân số, bao gồm các định nghĩa, tính chất cơbản Phần này cũng có mục tiêu giới thiệu một số đồng nhất thức đẹp

về liên phân số của một số hàm và hằng số thường gặp như arctan và

π Sau đó chúng tôi sẽ thảo luận các ứng dụng của liên phân số tronglịch và âm nhạc

• Chương 2 Đa thức trực giao Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày

về xấp xỉ Diophantus, liên phân số và đa thức trực giao, bao gồm cầuphương Gauss, phương pháp Sturm, tiếp cận Chebyshev của đa thứctrực giao và cuối cùng là các đa thức trực giao quan trọng.

Mặc dù đã rất cố gắng trong nghiên cứu đề tài và thực hiện luận văn,nhưng vì nhiều lý do khác nhau, chắc chắn luận văn này còn những khiếmkhuyết nhất định Tác giả kính mong những góp ý của các Thầy, Cô, cácanh chị đồng nghiệp để luận văn này được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 5 năm 2017

Tác giả

Trịnh Thị Phương Thanh

Chương 1

Liên phân số

1.1 Liên phân số

Hiện nay có rất nhiều cách để viết một con số Chúng ta có thể sử dụng các

hệ cơ số khác nhau, phân số, số thập phân, logarithm, lũy thừa hoặc chỉmiêu tả bằng lời, Mỗi cách sẽ thuận tiện và phục vụ từng mục đích của

mỗi người Để biểu biễn một số, liên phân số là một trong những công cụ

số đầu tiên được ghi chép lại), và liên phân số bên phải thu được bởi Euler.

Ta có công thức cho số e như sau:

1.1.1 Liên phân số xuất hiện trong phép chia

Một cách thông thường để một liên phân số xuất hiện là từ những “phépchia lặp” Ta xét các ví dụ sau đây:

Ví dụ 1.1.1 Xét phép chia số 157 cho 68 Ta có thể viết là

157

68 = 2 +21

68.Nghịch đảo phân số 2168 ta có

nên ta có thể viết 15768 một cách đẹp hơn,

Vì 5 là một số nguyên nên phép chia được dừng lại ở đây

Biểu thức bên phải trong (1.1) được gọi là một liên phân số hữu hạn

đơn giản Có nhiều cách để kí hiệu biểu thức này, trong luận văn ta sẽ dùng

Như vậy, các liên phân số xuất hiện một cách tự nhiên từ việc viết các sốhữu tỷ bằng cách lặp đi lặp lại các phép chia Tất nhiên, 157 và 68 khôngphải là hai số đặc biệt, bằng cách lặp lại các phép chia như vậy, ta có thểbiểu diễn số hữu tỷ a/b như một liên phân số hữu hạn đơn giản

Đây chính là Thuận toán Euclide Mỗi cặp x0 > x1 của các số nguyên

dương sẽ sinh ra dãy x0 > x1 > x2 > trong tập các số tự nhiên như sau

x0= b0x1+ x2,

x1= b1x2+ x3, ,

1.1.2 Liên phân số xuất hiện khi giải phương trình

Các liên phân số cũng xuất hiện một cách tự nhiên từ việc giải phươngtrình Ta xét ví dụ sau

Ví dụ 1.1.2 Giả sử ta muốn tìm nghiệm dương x của phương trình x2−

x− 2 = 0 Ta thấy rằng 2 là nghiệm dương duy nhất của phương trình này.Mặt khác, viết x2− x − 2 = 0 dưới dạng x2 = x + 2 và chia hai vế cho x, ta

nhận được

x= 1 +2

x hoặc, vì x = 2 nên 2 = 1 +2

xThay x trong mẫu số với x = 1 +2x ta nhận được

2 = 1 +

2

1 +2xLặp lại nhiều lần, ta có thể viết

1 +

2x

Lặp lại tới “vô hạn”, ta có

Đây là một công thức rất đáng chú ý cho số 2 Sau nay ta sẽ thấy, mỗi số

nguyên đều có thể biểu diễn được thành liên phân số theo cách thức nhưvậy

Tuy nhiên, ta thấy dấu ngoặc kép biểu thị rằng ta vẫn chưa định nghĩađược vế bên phải Sau ví dụ tiếp theo, ta sẽ thảo luận chi tiết về việc này

Ví dụ 1.1.3 Xét biểu thức x2− x − 1 = 0 Khi đó Φ = 1+

√ 5

Lặp lại quá trình thay thế này đến “vô hạn”, ta viết

1.1.3 Các định nghĩa cơ bản của liên phân số

Một phân số được viết dưới dạng

với ak và bk là số thực, được gọi là một liên phân số chuẩn tắc Chú ý rằng

nếu bm= 0 với một chỉ số m nào đó thì

vì bm = 0 nên kết quả dưới bm cũng bằng 0 Liên phân số được gọi là liên

phân số đơn giản nếu tất cả bk = 1 và ak là số nguyên với ak dương và

k≥ 1 Để biểu diễn một phân số như vậy, ta kí hiệu là

được xác định với mọi n Ta gọi cn là hội tụ thứ n của liên phân số Nếu

giới hạn lim cn tồn tại, ta nói liên phân số vô hạn

hội tụ và có giá trị giới hạn là lim cn Trong trường hợp của một liên phân

số đơn giản (tức là bn = 1 và an là số nguyên với an dương, n ≥ 1) trong(1.6) ta sử dụng kí hiệu

ha0, a1, a2, , i := lim

n→∞ha0, a1, a2, , ani,với điều kiện rằng vế phải tồn tại Trong trường hợp khi có một số bmbị triệttiêu, sự hội tụ của (1.6) trở nên dễ dàng bởi vì với n ≥ m, ta có cn = cm−1

Do đó, trong trường hợp này

sẽ đi sâu vào sự hội tụ ở phần sau

1.2 Một số công thức đẹp về liên phân số

1.2.1 Phép biến đổi của liên phân số

Phép biến đổi của liên phân số sẽ tiện lợi khi chuyển từ một liên phân sốnày sang một liên phân số kia Ví dụ, cho ρ1, ρ2, và ρ3 là các số thực khác

0 và giả sử ta xác định được phân số hữu hạn

ξ = a0+ b1

a1+ b2

a2+b3

a3

trong đó ak và bk là số thực Khi đó, nhân phần trên và phần dưới của phân

Nhân phần trên và phần dưới của phân số với ρ1b2như là tử số bởi ρ2 ta có

ξ = a0+ b1ρ1

ρ1a1+ ρ1ρ2b2

ρ2a2+ρ2b3

a3

Cuối cùng nhân phần trên và phần dưới của phân số với ρ2b3 đóng vai trò

1.2.2 Hai chuỗi số đặc biệt và đồng nhất thức liên phân số

Cho α1, α2, α3, là các số thực bất kỳ với với αk 6= 0 và αk 6= αk−1 vớimọi chỉ số k Nhận thấy rằng

αk 6= αk−1 với mọi chỉ số k Khi đó, với bất cứ n ∈ N,

2 2

α3− α2+

.

αn−1+ α

2 n−1

chỉ cần một trong hai vế (do đó cả hai) có nghĩa.

Chứng minh. Định lí này chắc chắn đúng cho các tổng thay phiên với n = 1

số hạng Giả sử điều này đúng với n số hạng, ta sẽ chứng minh rằng định línày cũng sẽ đúng với n + 1 số hạng Ta có thể viết:

αn+1− αn,thay vào (1.8) ta có

chỉ cần một trong hai vế (do đó cả hai) có nghĩa.

1.2.3 Liên phân số của arctan và π

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng các đồng nhất thức vừa nghiên cứu để suy ramột số liên phân số đáng chú ý

sử dụng biểu thức giới hạn (1.7) của Định lí 1.2.2:

Thực ra, ta cũng có thể phát triển (1.10) từ một sự mở rộng có liên quanđến hàm số arctan với sự kết hợp của cả hai Định lí 1.2.2 sau đó là Định lí1.2.4 Ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1.2.6 Nhắc lại công thức khai triển

Đặc biệt, đặt x = 1 và lấy nghịch đảo, ta được công thức Lord Brouncker



− 1

2+

13

+ 1

3+

14

+

∞

∑

n=1

(−1)n−12n + 1

αn = 2n(2n + 1)(2n + 2)

Nhận thấy rằng

αn− αn−1= 2n(2n + 1)(2n + 2) − 2(n − 1)(2n − 1)(2n)

= 24n2

1.3 Ứng dụng của liên phân số trong lịch và âm nhạc

Ta sẽ tìm hiểu một số ứng dụng thú vị của liên phân số trong lịch và đànpiano

1.3.1 Liên phân số và lịch

Lịch là một chủ đề vô cùng thú vị Một năm, về mặt kỹ thuật một năm

nhiệt đới, là khoảng thời gian từ một điểm xuân phân này sang đến điểmxuân phân kia Có hai điểm xuân phân, về cơ bản đó là thời gian mà ngày

và đêm có cùng độ dài Điểm xuân phân thường xảy ra vào khoảng ngày

21 tháng 3, ngày đầu tiên của mùa xuân, và điểm thu phân thường xảy ravào khoảng ngày 23 tháng 9, ngày đầu tiên của mùa thu Một năm có xấp

xỉ 365.24219 ngày Tổng số ngày lại không phải là một số nguyên làm choviệc làm lịch khó có thể hoàn thành một cách chính xác Với lí do này, làmlịch là cả một môn nghệ thuật có từ lâu đời Sau đây là một số xấp xỉ mà ta

có thể biết:

(1) 365 ngày, người Ai Cập cổ đại

(2) 36514, Julias Caesar (100-46 , Sau Công nguyên), tạo ra lịch Julian

(3) 36540097 , Giáo hoàng Gregory XIII, 1585, tạo ra lịch Gregorian, làcuốn lịch được sử dụng nhiều nhất

Xem S Khrushev [2] cho lịch Persian và kết nối tới các liên phân số.

Ta sẽ đi đến phân tích chuyên sâu hơn Đầu tiên, các cuốn lịch thời cổ đại

có 365 ngày là lịch cơ bản Vì một năm thực sự là 365.24219 ngày, nên mộtnăm cổ đại có

ít hơn0.24219 ngày so với một năm thực sự

Do đó, sau 4 năm, với lịch cổ đại ta mất đi:

số 14 cũng đóng một vai trò quan trọng Ta thêm một ngày cho lịch thời cổđại bốn năm một lần cho “năm nhuận”, nghĩa là, một năm với 366 ngày

Do đó, một năm lịch Julian được ước lượng như sau:

4 × 365 + 1 ngày

4

ngàynăm

Năm Julian có nhiều hơn 365.25 − 365.24219 = 0.00781 ngày so với một

năm thực sự Do đó, sau 125 năm, với lịch Julian ta có

125 × 0.00781 = 0.97625 ngày ≈ 1 ngày

Sau 500 năm, với lịch Julian ta có

500 × 0.00781 = 3.905 ngày ≈ 4 ngày

Đến đây, không quá tồi nhưng ta vẫn thừa ra 4 ngày.

Trong lịch Gregorian, trung bình một năm có 36540097 ngày, tức là, tathêm 97 ngày vào lịch cổ đại 400 năm một lần Các ngày thừa ra được cộngvào như sau: Mỗi 4 năm ta cộng thêm một ngày, một “năm nhuận” giốngnhư lịch Julian - tuy nhiên, điều này lại cho thêm chúng ta thừa ra 100 ngàytrong 400 năm, nên để bù lại, ta không có năm nhuận cho các mốc thế kỉkhác trừ 400, 800, 1200, 1600, 2000, 2400, nhân với 400 Ví dụ chorằng các năm:

1604, 1608, , 1696, 1700, 1704, , 1796, 1800, 1804, , 1896;

1900, 1904, , 1996, 2000

Mỗi một năm này là một năm nhuận trừ 3 năm 1700, 1800, và 1900 Do

đó, trong vòng 400 năm từ cuối năm 1600 đến đầu năm 2000, ta đã thêmvào chỉ tổng cộng 97 ngày vì ta không thêm các ngày nhuận vào năm 1700,

1800, 1900 Như ta đã nói, lịch Gregorian đưa ra ước lượng:

400 × 365 + 97

400

ngàynăm .

Vì 36540097 = 365.2425, một năm Gregorian có hơn

Liên phân số này có các hội tụ

được giới thiệu bởi nhà toán học kiêm nhà thơ Omar Khayyam

1.3.2 Piano

Ta sẽ bắt đầu với bài tập âm nhạc nhỏ dựa trên lá thư của Euler tới côngchúa Đức Khi mà dây thanh của piano hoặc dây sắt của cây đàn guitarrung lên, nó làm cho các phân tử trong không khí cũng rung lên theo Phân

tử này tác động đến phân tử khác và cuối cùng tác động đến tai của ta, và ta

có giác quan “nghe” Sự nhanh chóng của độ rung, số lần rung trong vòngmột giây, được gọi là tần số Hãy nói rằng ta nghe hai nốt nhạc với hai tần

số khác nhau Nhìn chung, các tần số này hòa vào với nhau và không tạo ramột thứ âm thanh dễ chịu, nhưng theo Euler, khi tỉ lệ của các tần số xảy rabằng với một tỉ lệ nhất định của các số nguyên, ta sẽ nghe được âm thanhhay hơn Ta sẽ gọi tỉ số của các tần số là một khoảng (quãng) giữa các nốthoặc giữa các tần số Ví dụ, để ý đến hai nốt, một với tần số f1 và một vớitần số f2 mà

f2

f1 =

2

1 ⇔ f2 = 2 f1 (quãng tám)

Theo một ý khác, khoảng cách giữa nốt thứ nhất với thứ hai là 2, hay là

f2 gấp hai lần f1 Khoảng đặc biệt này được gọi là quãng tám (octa) Một

khoảng khác được gọi là quãng năm, hay tỉ số là 3/2:

Tuy nhiên, quãng tám và quãng năm vẫn tạo ra âm thanh hay nhất Các

tỉ số như là 7/6, 8/7, 11/10, 12/11, không phù hợp lắm với đôi tai của ta

Ta đều biết phím đàn piano có hình dạng như sau

Hình 1.1: Phím đàn piano

Ta sẽ đặt tên cho các tần số cơ bản của cả phím đen và phím trắng bởi

f0, f1, f2, bắt đầu từ phía bên tay trái Điều đầu tiên, các phím mà cáchnhau 12 phím thì chính xác là một quãng tám Chẳng hạn như, fo nhảy sangbên phải đến f12 là một khoảng cách quãng tám, từ f7 đến f19 là một quãngtám khác, Với lí do này, một thang piano thật sự chỉ có 12 tần số cơ bản.Điều thứ hai, piano có tâm trạng đều đều (evenly tempered), có nghĩa là

cách khoảng giữa các phím liền kề không thay đổi Đặt số không đổi (bấtbiến) này bằng c Khi đó

fn+1

fn = c ⇒ fn+1= c fn với mọi nĐặc biệt,

fn+k= c fn+k−1 = c(c fn+k−2) = = ckfn (1.12)

Vì fn+12 = 2 fn (do fn+12 và fn là một quãng tám ngoài), với k = 12 ta có:

2 fn = c12fn ⇒ 2 = c12⇒ c = 2121

Do đó khoảng giữa các phím liền kề bằng 2121

Đến đây có thể xuất hiện câu hỏi: Tại sao số 12 lại đặc biệt đối vớipiano? Bởi vì nó có liên quan đến liên phân số Tưởng tượng rằng ta cómột chiếc piano có tâm trạng đều với các tần số cơ bản q, có nghĩa là, cácphím nhạc có tần số q bởi quãng tám Câu hỏi: q nào làm nên chiếc pianotốt nhất? Bởi một lập luận tương tự ta đã làm ở trên, ta thấy rằng khoảngcách giữa các phím liền kề là 21/q Câu hỏi tiếp theo: Điều gì tạo nên chiếcpiano tốt nhất? Một chiếc piano được thiết kế bao gồm quãng tám, một số

2p/q = 3

2 tức là p

q =log(3/2)log 2 .

Điều này, thật không may lại không thể xảy ra vì p/q là hữu tỉ còn log(3/2)log 2

là vô tỉ Vì thế, có khả năng cho piano có quãng năm Tuy nhiên mặc dùpiano không bao giờ có thể có quãng năm hoàn hảo, nhưng nó chắc chắn

có thể có một quãng năm xấp xỉ Ta chỉ cần tìm ra các số xấp xỉ hữu tỉ tốttới số vô tỉ log(3/2)log 2 Ở đây ta sẽ bắt đầu thấy ứng dụng của các liên phân số

Có thể chứng minh rằng

log(3/2)log 2 = h1, 1, 2, 2, 3, 1, i,

kì số hữu tỉ nào với mẫu số nhỏ hơn 12, từ đó có thể nói ta không thể tìmthêm thang piano nào với ít hơn 12 phím cơ bản mà cho xấp xỉ tốt hơn tớimột quãng năm Đây là lí do chiếc đàn piano một thang có 12 phím Tómlại, 1, 2, 5, 12, 41, 53, 306, là các số q tạo nên những chiếc piano tốt nhất