Đa thức trực giao trong cn

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI

Trang 1

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THANH HOA

ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG Cn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2013

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN THANH HOA

ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG Cn

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU

THÁI NGUYÊN – 2013

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Thanh Hoa

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả với những kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Trung cấp nghề Cao Bằng cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả Nguyễn Thanh Hoa

Trang 5

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Hàm đa điều hòa dưới 2

1.2 Dung tích tương đối 14

1.3 Đa thức trực giao trong C n 20

Chương 2 : MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM GREEN CỦA HÀM ĐỘ ĐO  VÀ DÃY CÁC ĐA THỨC TRỰC GIAO CỦA ĐỘ ĐO  23

Định lý 2.1 23

Định lý 2.2 24

Định lý 2.3 26

Định nghĩa 2.4 28

Định lý 2.5 28

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

Trang 6

MỞ ĐẦU

Chúng tôi chọn đề tài ''Đa thức trực giao trong C n " Cụ thể, cho µ là một

độ đo Borel dương, hữu hạn trên tập hợp compact K  Cn Chúng ta nói rằng (K, µ) thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein - Markov nếu, với mọi  0, tồn tại hằng số cc( ) 0 sao cho, với mọi đa thức P

Kí hiệu p là các đa thức trực giao nhận được nhờ phép trực giao hóa Gram-Schmidt, thì theo một kết quả của Green chúng ta có thể biểu diễn hàm

Green đa phức của một tập compact chính quy thông qua dãy các đa thức p

nói trên

Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu các biến dạng của định lýZeriahi Blocki nhưng trong bối cảnh  là một độ đo dương với giá compact (ta không giả sử  không thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov), chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ cụ thể về những độ đo  thỏa mãn các yêu cầu của định lý chính và các điều kiện đủ để  có tính chất Bernstein-Markov Đây là những kết quả được lấy ra từ một bài báo của Bloom

Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trước hết trình bày các khái niệm hàm đa điều hòa dưới, dung tích tương đối, hàm Green đa phức

Chương 2: Nghiên cứu mối liên hệ giữa hàm Green của hàm độ đo  và dãy các đa thức trực giao của độ đo  (Định lý 2.1, định lý 2.2 và định lý 2.3) ngoài ra chúng tôi cũng chỉ ra lớp các độ đo  thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Trang 7

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hòa dưới

1.1.1 Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tôpô Hàm u X:    , 

gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi R tập:

X  xX u x  

là mở trong X Hàm v X:    ,  gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu v

là nửa liên tục trên trên X

Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau:

Giả sử u X:    ,  Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại xX nếu   0 tồn tại lân cận

u x   nếu u x( )0  

Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi

0

x X

Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau: Giả sử EX và u E:    , 

là hàm trên E Giả sử x0E Ta định nghĩa

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử  là tập mở trong C Hàm u:    , 

gọi là điều hòa dưới trên  nếu nó nửa liên tục trên trên  và thỏa mãn bất

Trang 8

đẳng thức dưới trung bình trên , nghĩa là với mọi  tồn tại Q > 0 sao cho với mọi 0 < r < Q ta có:

2

0

1( )2

it

Chú ý: Với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất  trên  được xem là hàm điều hòa dưới trên .Ta kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên  là SH() Sau đây là các ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới

Bổ đề 1.1.3 Nếu : f  C là hàm chỉnh hình trên  thì log f là hàm điều hòa dưới trên 

Chứng minh Trường hợp f 0 trên  thì kết quả là rõ ràng Giả sử 0

f  trên , Khi đó rõ ràng log f là hàm nửa liên tục trên trên  Giả sử

 Nếu f   0 thì chọn 0 sao cho f 0 trên

(i) max(u,v) là hàm điều hòa dưới trên 

(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên  là một nón, nghĩa là nếu

Trang 9

Khi đó A là tập mở vì u là hàm nửa liên tục trên Từ bất đẳng thức dưới trung bình ta thấy B cũng là tập mở Ta có   A B A,   B Do đó hoặc A 

hoặc B  Nhưng theo giả thiết B  nên B  và (i) được chứng minh

(ii) Mở rộng u lên  nhờ đặt u  limsupu z 

compact nên u đạt cực đại tại  Nếu  thì do giả thiết u  0 Do

đó u0 trên  Trường hợp  theo (i) u là hằng số trên  Do đó nó hằng số trên  và vậy thì u0 trên  □

Sau đây là tiêu chuẩn nhận biết khi nào một hàm nửa liên tục trên là hàm điều hòa dưới

Định lý 1.1.6 Giả sử  là tập mở trong C và u là hàm nửa liên tục trên

 Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) u là hàm điều hòa dưới trên 

(ii) Với mọi , tồn tại  0 sao cho   ,   0 và với mọi

Trang 10

Chứng minh Giả sử  u 0 trên  Lấy D là miền compact tương đối

trong  và h là hàm điều hòa trên D, liên tục trên D sao cho:

trên D Cho  0 ta được u  h trên D và do đó u điều hòa dưới trên D

Ngược lại, giả sử u là hàm điều hòa dưới trên  Giả thiết tại  ta

có u( ) 0 Do đó có  0 sao cho  u 0 trên   ,  Do đó u là hàm

điều hòa trên   ,  Vậy u( ) 0 và gặp mâu thuẫn Do đó  u 0 và định

là điều hòa dưới trên 1

Chứng minh Từ điều kiện limsup v z  u 

 , với mọi  1 2 suy

ra hàm u nửa liên tục trên trên 1 Dễ thấy u thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình tại mọi 2 Do uutrên 1 nên u cũng thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình tại mọi  1\ 2 Định lí được chứng minh □

Trang 11

Định lý 1.1.10 Giả sử  un là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập

Do đó nó là tập mở Vậy u nửa liên tục trên trên  Do mỗi un thỏa mãn bất

đẳng thức dưới trung bình nên dùng định lí hội tụ đơn điệu suy ra u cũng thỏa mãn

bất đẳng thức dưới trung bình trên  Do đó u là điều hòa dưới trên  □

Định lý 1.1.11 Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền  với u 

trên  Khi đó u khả tích địa phương trên , nghĩa là với mọi K  ta có:

Trang 12

Vậy   ,  A và A là tập mở Giả sử 1B Chọn  0 sao cho

Trang 13

1

, ,

Chứng minh Chọn dãy    a n  a b, sao cho a n a .Với mỗi n đặt

Trang 14

Định nghĩa 1.1.16: Giả sử  là tập mở của C Với mỗi r > 0 đặt

Nếu  là hàm trơn thì u cũng là hàm trơn

Định lý 1.1.17 Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở C với

0

x

ke x

n u

11

x x





1 1

Chứng minh Từ tính khả tích địa phương của u suy ra ur có nghĩa và

đó là hàm trơn trên r Ta thấy ur là hàm điều hòa dưới trên r Cố định

Trang 15

Ta lại có C r v   giảm tới v 0 khi r  0 Dùng định lý hội tụ đơn điệu

b C , hàm  u   b là hàm điều hòa dưới hoặc bằng 

trên mọi thành phần liên thông của tập  C:  b

Định lý 1.1.19 Giả sử u:    ,  là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng  trên mọi thành phần liên thông của n

Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ Định nghĩa 1.1.16 ở trên

Điều kiện đủ: Giả sử a, n

b C và xét  C:  bkhi đó U là tập

mở trên C Đặt v    u    b, U Cần chứng minh ( )v  là điều hòa

dưới trên U Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu 0U tồn tại  0 sao cho với

Trang 16

0

12

   , đó là điều phải chứng minh □

Định lý 1.1.20 (Định lí xấp xỉ cho các hàm đa điều hòa dưới)

xảy ra cho mọi z

Để chứng minh định lí trên ta cần bổ đề sau:

2

n

i C

C

Trang 17

1

z thì

1( ) 2( )

u z  u  z (1.4) Bất đẳng thức (1.4) được chứng minh bằng quy nạp theo n Với n = 1 thì (1.4) được chứng minh ở định lý 1.1.19 Khi đó có thể viết (1.4) dưới dạng

z  C C Ta chứng minh trường hợp n = 2 (trường hợp với

n tùy ý được chứng minh bằng quy nạp)

u z u z , xB z ,1 Từ đó nếu   1 ta có

Trang 18

Đôi khi ta gọi u E, là độ đo điều hòa của E đối với 

Định nghĩa 1.1.24.(Lớp Lelong): Hàm uPSH  được gọi là có độ tăng logarit nếu tồn tại hằng số c u sao cho với mọi n

Trang 19

Lớp L được gọi là lớp Lelong Ta còn xét lớp con của lớp Lelong, kí hiệu

là Lđược xác định như sau:

gọi là hàm Green phức của tập E (với cực tại ∞) Hàm V E đôi khi còn được gọi

là L - hàm cực trị của E hay hàm cực trị Siciak-Zakhariuta

1.2 Dung tich tương đối

Tồn tại một số khái niệm khác nhau về dung tích theo nhiều biến phức

Khái niệm mà chúng tôi sẽ dùng là dung tích tương đối Ta nhắc lại định nghĩa

và một số tính chất cơ bản của dung tích tương đối (xem [B-TI] hoặc [K])

Các tính chất cốt yếu của dung tích, mà chúng ta sẽ dùng, được nêu trong

Định lý 1.2.1 và Mệnh đề 1.2.1 Bất kỳ dung tích nào khác thỏa mãn các kết

quả này cũng đều có thể dùng Thực vậy, chúng ta sẽ dùng dung tích của tập

hợp Borel F liên quan tới một hình cầu cố định, nhưng dung tích ứng với các tập

hợp mở siêu lồi C

F

  (xem [K] trang 80 về định nghĩa của siêu lồi) cũng có

thể được dùng Tuy nhiên, xem Chú ý 1.2.4, nơi chỉ ra rằng Định lý 1.2.1

không thỏa mãn đối với dung tích logarit trong C nn1

Đối với u, một hàm đa giả điều hòa và bị chặn cục bộ trên tập hợp con

Trang 20

120 đối với một định nghĩa khác về dung tích tương đối)

Chúng ta sẽ cố định một quả cầu BF và ký hiệu dung tích tương đối

ứng với quả cầu đó là Cap(F) và hàm cực biên tương đối bởi u F

Chúng ta ký hiệu L là lớp các hàm psh có mức tăng nhiều nhất là logarit

ở vô cực Điều đó có nghĩa là L = {u | u là psh trên C n

và đối với hằng số c u

nào đó u z  c u log 1  z  đối với mọi zC n } (1.2.3)

Hàm Green đa phức của F được định nghĩa bởi

  sup  | , 0

F

và ký hiệu V F là chính quy hóa nửa liên tục trên của nó

Một kết quả của Siciak ([Si2] hoặc [K], Định lý 5.1.7) nói rằng khi F là

V có giá nằm trong F (xem [K])

Định lý 1.2.1 Giả sử F, G là các tập hợp Borel với F B và GF Thế thì các điều kiện sau là tương đương

(1.2.4) Cap F( )Cap G( )

Trang 21

(1.2.5) u F u G

(1.2.6) V F V G

F là đa cực nếu và chỉ nếu Cap F( )0 ([K], Định lý 4.7.5) , u F 0([K],

Hề quả 4.7.3) và V F   ([K], Hệ quả 5.2.2) Như vậy, Định lý 1.2.1 thỏa mãn

trong trường hợp này, bây giờ ta giả thiết rằng F không phải là đa cực

Khi đã cho F, ta sẽ xét tập hợp phụ F’ được định nghĩa như sau

(1.2.7) F' z B u| F  z  1

Chứng minh của Định lý 1.2.1 dùng đến hai bổ đề sau :

Bổ đề 1.2.1 Giả sử F là tập hợp Borel không đa cực với F B Thế thì

Chứng minh của Bổ đề 1.2.1 Từ định nghĩa của F’ và kết quả về hàm

cực biên tương đối, ta có u F u F' Để chứng minh (i) chúng ta cần phải chứng minh bất đẳng thức ngược lại Vì u F  1 trên F trừ khả năng trên tập hợp đa

cực, ta có F F' A đối với đa cực A Vì thế (Xem [K]) u F' u F'Au F và

chứng minh của (i) kết thúc

Bây giờ (ii) suy ra từ (i) nhờ dùng Mệnh đề 10.1 của [B-T1] 

Chứng minh của Bổ đề 1.2.2 (i) suy ra từ [K], Mệnh đề 5.3.3 Chứng minh của hai kết quả còn lại là tương tự như chứng minh của các khẳng định tương ứng trong Bổ đề 1.2.1 

Trang 22

Chú ý 1.2.1 Chứng minh của Định lý 2.1 khi F compact chính là Định

lý 5.1 trong [B-T2] Trong [B-T2], Hệ quả 3.5, Bedford và Taylor chứng minh một kết quả liên quan đến Bổ đề 1.2.1 (ii), cụ thể là ddc n

F

u không trọng trên

\ f

F F trong đó f

F ký hiệu bao đóng mịn của F

Chú ý 1.2.2 Kết quả của Levenberg về tính liên tục tuyệt đối đồng thời

(1.2.12)  ddc  0

B u u u 

Trang 23

Điều đó kéo theo

(1.2.13)  |u dd  0

F G

n c F

z B  u u



Do đó, theo [K], Hệ quả 3.7.5,   u F u G trong B

(1.2.5)(1.2.4) Điều này suy ra nhờ dùng (2.3)

u   trên F’ nên u G u F' u F theo Bổ đề 1.2.1 (i) Bất đẳng thức ngược lại

suy ra từ GF và do đó chứng minh kết thúc Chứng minh rằng (1.2.6) tương

đương với (1.2.14) là tương tự 

Hệ quả 1.2.2 Giả sử G F và F G là đa cực.Thế \

trong đó A1 là đa cực (và kết quả tương tự cũng thỏa mãn đối với G’)

Chú ý 1.2.4 Các điều kiện (1.2.4) và (1.2.6) của Định lý 1.2.1 không

tương đương (với n1) nếu trong (1.2.4) ta sử dụng dung tích logarit Với K là

Trang 24

Giả sử D(r) là đĩa đóng trong mặt phẳng, tâm 0, bán kính r Giả sử

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử E là tập hợp compact, chính quy trong n

L L  với L j F j với j = 1, 2, sao cho khi cho  0tồn tại J J( )

sao cho với mọi j J

j

V V  Chứng minh Cap(E) là dung tích Choquet và do vậy tất cả các tập hợp

Borel là khả chứa Từ đó, với mỗi j tồn tại tập compact L j F j với

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	827,22 KB