Các đa thức trực giao

Trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến, ta sẽ gặp một số phương trình vi phân thông thường mà nghiệm của nó là các hàm cầu, hàm B

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: Cơ sơ lí thuyết 2

1.1 Tích vô hướng 2

1.1.1 Định nghĩa 2

1.1.2 Một số tính chất của tích vô hướng …… 2

1.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 2

1.3 Đa thức trực giao 3

1.4 Bài toán Sturm – Liouville 5

1.5 Tích phân Euler loại 1,2 5

1.5.1 Tích phân Euler loại 1 5

1.5.2 Tích phân Euler loại 2 5

1.5.3 Liên hệ B và  là 6

Chương 2: Các đa thức trực giao 7

2.1 Đa thức Legendre 7

2.1.1 Định lí 1 8

2.1.2 Định lí 2 11

2.1.3 Định lí 3 13

2.1.4 Định lí 4 14

2.1.5 Định lí 5 15

2.1.6 Định lí 6 18

2.2 Tọa độ cầu và phương trình Legendre 19

2.2.1 Định lí 7 23

2.2.2 Định lí 8 27

2.2.3 Định lí 9 28

2.2.4 Định lí 10 29

2.3 Đa thức Hermite 30

2.3.1 Định lí 11 31

2.3.2 Định lí 12 32

2.3.3 Hệ quả……….………33

2.3.4 Định lí 13 33

2.3.5 Định lí 14 35

2.4 Đa thức Laguerre 37

2.4.1 Định lí 15 37

2.4.2 Định lí 16 40

2.4.3 Định lí 17 42

2.5 Đa thức Chebyshev 43

2.6 Đa thức Jacobi 44

KẾT LUẬN 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

Trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến, ta sẽ gặp một số phương trình vi phân thông thường mà nghiệm của nó là các hàm cầu, hàm Betsen, , đậc biệt là các đa thức trực giao là đa thức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre,Đa thức Chebyshev, Đa thức Jacobi

Tuy nhiên, trong quá trình học tập và nghiên cứu, bản thân em cũng như các bạn sinh viên cùng khoá để hiểu một cách sâu sắc các đa thức trực giao, các tính chất của chúng, và các ứng trong vật lí là rất khó

Từ những suy nghĩ trên, và dưới sự hướng dẫn của thầy TS.BÙI KIÊN CƯỜNG Em dã chọn đề tài “Các đa thức trực giao” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình

Khoá luận của em gồm các nội dung sau:

Chương1: Cơ sở lí thuyết

Chương2: Các đa thức trực giao

Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn TS BÙI KIÊN CƯỜNG người đã hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này

Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô trong khoa toán đã giúp đỡ em trong 4 năm học qua !

Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2010

Sinh viên BÙI VĂN LĂNG

x  x x ,

Khi đó  x y ,  X ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

x y ,  x y

1.3 Đa thức trực giao

Cho (a,b) là khoảng mở trong R, hữu hạn hoặc vô hạn, hàm  ( ) x  0

trên khoảng (a,b) , sao cho ( ) ( 0,1, 2 )

b n a

a b a

giải hệ phương trình ta xác định được hệ số b và 0 b trong đa thức1 P2

Tương tự như trên ta giải hệ ba phương trình

P P3, 2   P P3, 1   P P3, 0   0,

ta xác định được hệ sốc c c0, ,1 3trong đa thức P3

Tiếp tục quá trình trên ta xác định được hệ số của P n nhờ điều kiện trực giao

Như vậy, hàm ( )x ở trên là hàm trọng trên khoảng (a,b), tồn tại duy

( ) ( ) ( )

( )

n

n n

1.5.Tích phân Euler loại 1,2:

1.5.1.Tích phân Euler loại 1:

B(a,b) =

1

0(1 ) , 0, 0

Chương 2 Các đa thức trực giao

3 3

4 2 4

5 3 5

0 1

2 2

3 3

4 2 4

( ) 1,( ) 2 ,( ) 4 2,( ) 8 12 ,( ) 16 48 12

( )

n x n

1( )

n x n

Tích phân tiếp tục (n-1) lần ta được:

N

tx

tx itx

Do giả thuyết trên các tích phân ở bên phải đều triệt tiờu Theo định lí đảo Fourier thì f x e ( ) x2  0, do đó f(x)=0 hầu khắp nơi

Như vậy công thức Taylor:

n n

Như vậy, các đa thức Hermite là cỏc hàm riêng của bài toán Liouville kỡ dị:

ex2y  ex2y 0,    x , (34) với “điều kiện biên” là nghiệm của bài toán thuộc 2

L (R) Với mục đích khỏc nhau người ta cú thể thay thế đa thức Hermite bằng

phương trình Hermite h n được xác định bởi:

Cho  là một số thực sao cho >-1 Đa thức laguerre thứ n ,

Kí hiệu Ln tương ứng với một tham số  được xác định bởi:

 ≠0 là đa thức Laguerre tổng quát

Công thức tích số của đạo hàm ta có:

0

1( )

!( )!

k x n k n n

Nếu f là đa thức bậc nhỏ hơn n , Nếu f  Lm với m< n thì f ( )n 0

nên ta chứng minh được L Ln, m 0

Các đa thức Laguerre Ln 0,1 thỏa mãn phương trình (42)

x k

x k

 ta có điều phải chứng minh

Từ Định lí 16 ta thấy phương trình Laguerre Ln là nghiệm riêng của

bài toán Sturm-Liouvill trên khoảng (0, ) liên kết với phương trình vi phân

( )

(1 )

xz z n

Nếu x>0,  là vòng tròn nằm nửa mặt phẳng bên phải tâm x

Công thức đúng với z nhỏ, chứng minh (47) cho các z, (47) là đúng với

z <1 đối với phân tích ở vế phải 

2.5 Đa thức Chebyshev

Đa thức Chebyshev thứ n kí hiệu T n được xác định bằng công thức:

T n(cos ) cosn (48) cosn Ree in Re(cos sin ) n

!

n k k n

Nếu f trực giao với mọi T n,

Thì f=0, là tính đầy của đa thức Chebyshev

Tính chuẩn của đa thức Chebyshev:

1

2 1/ 2 1

( ) ( ) ( )

(1 )

n n n

1

1 2

n n

Khi     0, Pn( , )  là đa thức Legendre Pn

Kiểm tra đa thức Legendre mang lại kết quả tương tự cho đa thức Jacobi:

i Đối với mỗi  và  ,  ( , ) 

2 ( )

n n

Đa thức Chebysher là trường hợp riêng của Jacobi 1

     , chuẩn hóa đa thức Jacobi khác nhau và gọi là đa thức

Gegenbauer thứ n ,Kí hiệu Cn với tham số   0 được xác định bởi :

P P  với m>n Như vậy P n là trực giao tương hỗ

Mặt khác, nếu f  P , theo công thức (3) ta có:

( , 1) 2

32

( )2

( )2

Vì P'n là đa thức bậc n-1,nên x P2 n là đa thức bậc n+1 Nên g(x) là đa

thức bậc n Do công thức (3) ,nên số hạng cao nhất là:

j n

j n

j n

Định lí 2 nói rằng đa thức Legendre là hàm riêng của phương trình

Legendre:

(1x y2) y 0 (7)

Với giá trị riêng của P n là n(n+1) Đây là một phương trình kiểu

Sturm-

Liouville trên khoảng (-1,1), nhưng nó bị triệt tiêu tại x 1 Từ đó ta đi

tìm điều kiện biên thích hợp để xác định bài toán Sturm-Liouville Nghiên cứu nghiệm của (7) tại x 1

Tóm lại tại điểm x  1đều suy biến trong (7) Dễ dàng xác định số mũ đặc trưng ở những điểm này là bằng không Do đó với  bất kì thì phương

trình (7) có một nghiệm không tầm thường, đây là phân tích tại x=1 Trong

trường hợp bất kì hai nghiệm độc lập thì logarit sẽ có tính kì

dị Do đó ta có thể áp đặt điều kiện biên cho (7) bằng cách cho nghiệm

không kì dị tại x 1 Nó được biểu diễn như sau:

Giả sử f L2( 1,1) là trực giao với tất cả P n Và do đó (theo Bổ đề 1

) trực giao với mọi đa thức

Cho  0 nhỏ tuỳ ý, tồn tại hàm g là hàm liên tục trên đoạn 1,1

Vì vậy f   với  0 tùy ý, nghĩa là f=0 

Trong Định lí 1 sự triển khai thành chuỗi của hàm f L2( 1,1) qua hệ

thống đa thức Legendre được cho bởi:

 hội tụ theo chuẩn, nó có thể hội tụ theo từng điểm, với

điều kiện f trơn từng khúc, cũng giống như trường hợp chuỗi Fourier

Ta thấy (x2 1)n là một hàm chẵn của x Vì vậy đạo hàm nó n lần thì

2n n P x là hàm chẵn hoặc lẻ tùy vào n là chẵn hay lẻ Vì vậy chúng ta ! ( )thông qua chuỗi Fourier trên  ,  tới chuỗi Fourier - cos, Fourier - sin

trên  0, , ta thông qua chuỗi của các đa thức Legendre trên 1,1

tới chuỗi của các đa thức Legendre trên  0,1 các hàm chẵn và các hàm lẻ, ta có kết quả

n n

1 1 2xz z

z

     và

2 2

0

2( ) Re

2 2

n n

Thay x 1 vào (10) , ta có:

0

0

1(1)

11( 1)

1

n n

n n







tương ứng

Vậy P n (1)=1,P n (-1)=( 1) n

Công thức (10) là một cách giải thích vật lí thú vị Nếu sự tích điện ( hoặc trọng tải ) được tọa độ a trong 3

R , việc gây ra tĩnh điện ( trọng lực ) thế

vào điểm x là một hằng số, sai khác một số không đổi xa1,

Giả sử a là đơn vị khoảng cách đến gốc ,cho r= x và cho  là góc

giữa vectơ x và a ý nghĩa hình học:

1 1

2.2.Tọa độ cầu và phương trình Legendre

Ta gọi tọa độ cầu của điểm x=(x,y,z) 3

R

 được cho bởi:

cos sinsin sincos

ở đây  biểu diễn kinh độ trong tọa độ cầu Hàm  tuần hoàn với chu kì 2 ,

vì thế m là số nguyên, mà chúng ta loại số không âm Bây giờ chúng ta đặt vế

Vế trái phụ thuộc vào r, vế phải phụ thuộc vào  nên nó là hằng số

Do vậy nếu đặt s  cos  , S s ( )  S  cos     ( ) 

Và lưu ý rằng sin2   1 s2 ,ta có

Khi m=0 đây là phương trình Legendre (7) Nói chung (17) gọi là phương

trình legendre liên kết của bậc m

Khi m là một số dương, trong trường hợp ta xét nó dễ dàng tìm được

nghiệm của (7) nhờ các nghiệm phương trình Legendre thông thường

 2

1 s    0.

     

  (18) Thậy vậy, cho  là nghiệm (18) Nếu ta áp dụng quy tắc đạo hàm (m+1)

n m P

Tính trực giao của Pn m và P n m với n n, sau đó bằng cách lấy tích phân

từng phần và sự kiện Pn m thỏa mãn (21) Từ (20) ta thấy

( ) (1 )

m

d P s d

1 1

 là trực giao đầy đủ trên  ,  đặt s  c os  ta

được với mỗi F

Y

 (26)

1 1

 

0 0

1

4

n n

Nếu chúng ta thế đẳng thức trên vào (28), và gọi y là điểm mà trong tọa

độ cầu nó có toạ độ là1, ,   Chúng ta được (27), với x nằm trên phần

dương của trục Oz Nhưng(27) là biểu thức độc lập với hệ toạ độ Decarters đã

cho, vì thế với x là vectơ bất kỳ, chúng ta chọn hệ toạ độ Decarters mà x nằm

trên chiều dương của trục Oz, lý luận trên cho ta thấy (27) đúng tại x

0

1

2 2

3 3

4 2 4

H n là chăn hoặc lẻ tùy vào n là chẵn hay lẻ ( vì ex2là hàm chẵn )

( )

n x n

1( )

n x n

tx

tx itx

n n

L (R) Với mục đích khỏc nhau người ta cú thể thay thế đa thức Hermite bằng

phương trình Hermite h n được xác định bởi:

Cho  là một số thực sao cho >-1 Đa thức laguerre thứ n ,

Kí hiệu Ln tương ứng với một tham số  được xác định bởi:

 ≠0 là đa thức Laguerre tổng quát

Công thức tích số của đạo hàm ta có:

0

1( )

!( )!

k x n k n n

2 ( 1)

!

n

n L

Nếu f là đa thức bậc nhỏ hơn n , Nếu f  Lm với m< n thì f ( )n 0

nên ta chứng minh được L Ln, m 0

Hàm F khả tích trên (0, ) , Ln là tổ hợp tuyến tính ( theo Bổ đề 1), các điều kiện g L, n 0

là tất cả phân kì

Ta thấy đa thức Laguerre thỏa mãn phương trỡnh Laguerre:

0( ) k( ) x

x k

x k

 ta có điều phải chứng minh

Từ Định lí 16 ta thấy phương trình Laguerre Ln là nghiệm riêng của

bài toán Sturm-Liouvill trên khoảng (0, ) liên kết với phương trình vi phân

( )

(1 )

xz z n

Nếu x>0,  là vòng tròn nằm nửa mặt phẳng bên phải tâm x

=

0

2

n x

Công thức đúng với z nhỏ, chứng minh (47) cho các z, (47) là đúng với

z <1 đối với phân tích ở vế phải 

2.5 Đa thức Chebyshev

Đa thức Chebyshev thứ n kí hiệu T n được xác định bằng công thức:

T n(cos ) cosn (48) cosn Ree in Re(cos sin ) n

!

n k k n

Là tính trực giao của đa thức Chebyshev

Nếu f trực giao với mọi T n,

Thì f=0, là tính đầy của đa thức Chebyshev

Tính chuẩn của đa thức Chebyshev:

1

2 1/ 2 1

( ) ( ) ( )

(1 )

n n n

1 2

n n

Khi     0, Pn( , )  là đa thức Legendre Pn

Kiểm tra đa thức Legendre mang lại kết quả tương tự cho đa thức Jacobi:

i Đối với mỗi  và  ,  ( , ) 

2 ( )

n n

     , chuẩn hóa đa thức Jacobi khác nhau và gọi là đa thức

Gegenbauer thứ n ,Kí hiệu Cn với tham số   0 được xác định bởi :

Đa thức Jacobi Pn((k3)/2,(k3)/2) hoặc tương đương với đa thức Gegenbauer Cn(k2)/2

Đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết hàm điều hòa cầu trong Rk như đa

thức Legendre trong R3.

KẾT LUẬN

Khóa luận “Các đa thức trực giao” em trình bày tính trực giao của các đa thức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre,Đa thức Chebyshev, Đa thức Jacobi Các tính chất của các đa thức đó, và các phưong trình vi phân dẫn đến việc tìm ra các đa thức trực giao trên

Luận văn có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu sâu về một số vấn

đề của vật lý

Do thời gian có hạn nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong được sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn

TS Bùi Kiên Cường, cũng như các thầy cô giáo đã giúp đỡ em trong thời gian thực hiện khóa luận

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp toán lí, Nxb giáo dục

2 Phan Huy Thiện (2006), Phương pháp toán lí, Nxb giáo dục

3 PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2006) , Giải tích hàm, Nxb Khoa học và kỹ thuật

4 Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang – Hoàng Quốc Toàn (2003), Giáo trình giải tích tập 3, Nxb Đại Học Quốc gia Hà Nội

5 Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, Nxb Đại Học Quốc gia Hà Nội

6 TSKH Nguyễn Mạnh Hùng (2002), Phương trình đạo hàm riêng.Nxb giáo dục

7 Phan Hồng Trường(2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,