Không Điểm Của Các Đa Thức Xấp Xỉ Tốt Nhất

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học sưphạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————————————————

VŨ THỊ KHUYÊN

KHÔNG ĐIỂM CỦA CÁC ĐA THỨC

XẤP XỈ TỐT NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcGS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU

Thái Nguyên - Năm 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn cho tôi những nhận xét quýbáu để tôi có thể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học sưphạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốtquá trình học tập

Mục lục

1.1 Hàm chỉnh hình một biến 3

1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến 4

1.3 Hàm điều hoà dưới 6

1.4 Hàm đa điều hoà dưới 8

1.5 Tập đa cực 9

1.6 Lớp Lelong trên Cn 9

1.7 Hàm cực trị toàn cục VE 10

1.8 Bất đẳng thức Bernstein-Walsh 11

1.9 Độ đo thỏa mãn điều kiện Bernstein-Markov 11

2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất 12

2.1 Đa thức xấp xỉ tốt nhất 122.2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất 17

Mở đầu

Lý thuyết đa thế vị được xem như là một trong những thành tựu sâu sắccủa Toán học trong vòng 30 năm trở lại đây Sự phát triển mạnh mẽ của lýthuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khácnhau của Toán học như: giải tích phức nhiều biến, giải tích Hyperbolic, hìnhhọc vi phân phức,

Với mục tiêu tìm hiểu ứng dụng của lý thuyết đa thế vị vào một bài toántruyền thống của giải tích là lý thuyết xấp xỉ Hàm chỉnh hình về địa phương

có thể viết thành một chuỗi lũy thừa Do đó ta có thể xấp xỉ một cách địaphương một hàm chỉnh hình bởi các đa thức Tuy nhiên, vấn đề là khôngtầm thường nếu ta muốn xấp xỉ một hàm chỉnh hình bởi các đoạn đa thứctrên các tập compact của một miền đã cho Trong một số trường hợp đặcbiệt thì xấp xỉ là xảy ra, chẳng hạn hàm chỉnh hình trên một lân cận cáctập liên thông đa thức Vấn đề mà người ta quan tâm là liệu các tính chấtcủa dãy đa thức xấp xỉ có được bảo tồn qua phép xấp xỉ đều hay không?

Đó là lí do chúng tôi chọn đề tài: "Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốtnhất"

Cho E là tập compact trong CN và f là hàm liên tục trên E, chỉnh hìnhtrên phần trong của E Ta quan tâm tới mô tả không điểm của dãy {fn}

đa thức xấp xỉ đều tốt nhất với f.

Hiển nhiên khi E ⊂ C và f không triệt tiêu trên E thì {fn} cũng khôngtriệt tiêu trên E Vậy ta chỉ quan tâm tới trường hợp f có không điểm trên

Chương 1 trình bày tổng quát một số kiến thức cơ sở và kết quả bổ trợ

để trình bày các kết quả cho chương 2

Chương 2 trình bày về không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất Trongchương này, em sẽ nghiên cứu vấn đề cơ bản là Định lý 2.2.5 Định lý nóirằng mỗi không điểm của hàm f ( hàm cần xấp xỉ ) thực tế là giới hạn củadãy các không điểm của đa thức xấp xỉ tốt nhất Chứng minh kết quả nàyđòi hỏi những kiến thức về lý thuyết đa thế vị đã được trình bày ở chương1

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm-Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn trân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáohướng dẫn, trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điềukiện thuận lợi để em hoàn thành được khoa học của mình

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của

f tại z, ký hiệu là f0(z) hay df

Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết

Trong trường hợp l(λz) = λ(z) ta nói l là C− phản tuyến tính

Ví dụ 1.2.2 ([2]) Hiển nhiên các hàm tọa độ

ajzj và 2l00(z) =

nXj=1

bjzj

Ta có

l(z) =

nXj=1

ajzj +

nXj=1

bjzj

Định nghĩa 1.2.3 ([2]) Hàmf : Ω → C, Ω là mở trong Cn, gọi là R−khả

vi (tương ứng C− khả vi) tại z ∈ Ω nếu

Định lý 1.2.4 ([2]) Hàm R− khả vi tại z ∈ Cn− khả vi khi và chỉ khi

∂f = 0 (1.4)Hay tương đương

∂f

∂zj = 0, ∀ j = 1, n. (1.5)

Định nghĩa 1.2.5 ([2]) a) Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ Cn nếu nó C−

khả vi trong một lân cận của z

b) f : Ω → Cm với Ω là mở trong Cn gọi là chỉnh hình tại z nếu fj chỉnhhình tại z với mọi j = 1, m, ở đây

f = (f1, , fm)

Như trường hợp hàm một biến phức nếu f chỉnh hình tại z thì ∂z∂f

j chính

là đạo hàm riêng của z theo biến zj

1.3 Hàm điều hoà dưới

Định nghĩa 1.3.1 ([1]) Giả sử X là không gian tôpô Hàm u : X →[ − ∞, +∞) gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈R tập

Xα = {x ∈ X : u(x) < α}

là mở trong X Hàm v : X → (−∞, +∞] gọi là nửa liên tục dưới trên X

nếu −v là nửa liên tục trên trên X

Chúng ta có thể dễ thấy định nghĩa trên tương đương với định nghĩamang tính địa phương sau Giả sử u : X → [−∞, +∞) Ta nói hàm u lànửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu ∀ε > 0 tồn tại lân cận Ux0 của x0 trong X

sao cho ∀x ∈ Ux0 ta có:

u(x) < u(x0) + ε nếu u(x0) 6= −∞

u(x) < −1

ε nếu u(x0) = −∞.

Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u là nửa liên tục trên tại mọi

x0 ∈ X Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau Giả sử E ⊂ X và u : E →[ − ∞, +∞) là hàm trên E Giả sử x0 ∈ E Ta định nghĩa

u(w) ≤ 1

2π

2πZ0

u(w + reit)dt (1.6)

Ta ký hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω)

Mệnh đề 1.3.3 ([1]) Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f |

là hàm điều hòa dưới trên Ω

Chứng minh Trường hợp f ≡ 0 trên Ω thì kết quả là rõ ràng Giả sử f 6≡ 0

trên Ω Khi đó rõ ràng log |f | là hàm nửa liên tục trên trên Ω

Giả sử w ∈ Ω Nếu f (w) 6= 0 thì chọn % > 0 sao cho f 6= 0 trên

B(w, %) = {z ∈ Ω : |z − w| < %}

Khi đó log |f | là hàm điều hòa trên

B(w, %) = {z ∈ Ω : |z − w| < %}

nên (1.3.1) được thỏa mãn với dấu đẳng thức

Trường hợp f (w) = 0 Khi đó log |f (w)| = −∞ và do đó (1.3.1) luônđúng

1.4 Hàm đa điều hoà dưới

Định nghĩa 1.4.1 ([1])Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở,u : Ω → [ − ∞, +∞) làhàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phân liênthông củaΩ Hàmu gọi là đa điều hòa dưới trênΩ (viếtu ∈ P SH(Ω)) nếuvới mọi a ∈ Ω và b ∈ Cn, hàm λ → u(a + λb) là hàm điều hòa dưới hoặcbằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}

Định lý 1.4.2 ([1]) Giả sử u : Ω → [ − ∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên,không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phân liên thông của Ω ∈Cn Khi

đó u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

u(a + ei0b)d0 = l(u, a, b) (1.7)Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên suy từ Định nghĩa (1.4.1) Điềukiện đủ Giả sử a ∈ Ω, b ∈Cn và xét U = {λ ∈C : a + λb ∈ Ω} Khi đó U

là tập mở trên C Đặt v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U Cần chứng minh v(λ) làđiều hòa dưới trên U Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu λ0 ∈ U tồn tại ρ > 0

sao cho với 0 ≤ r < ρ thì

v(λ0) ≤ 1

2π

2πZ0

u(a + λ0b + bei0)d0

Vậy v(λ0) ≤ 1

2π

2πZ0

v(λ0 + rei0)d0, đó là điều phải chứng minh

1.5 Tập đa cực

([1]) Tập E ⊂ Ω ⊂ Cn được gọi là tập đa cực trongΩ nếu với mọi a ∈ E,

tồn tại lân cận liên thông Va ⊂ Ω và hàm u ∈ P SH(Va), u 6≡ −∞ sao cho

E ∩ Va ⊂ {z ∈ Va : u(z) = −∞}

1.6 Lớp Lelong trên Cn

([1]) Hàm u ∈ P SH(Ω) được gọi là có độ tăng logarit nếu tồn tại hằng

số Cu sao cho với mọi z ∈ Cn :

Lớp L được gọi là lớp Lelong Ta còn xét lớp con của lớp Lelong, kí hiệu là

L+ được xác định như sau:

L+ = {u ∈ P SH(Cn) : ∃ C1(u), C2(u) sao cho khikzk → ∞,

C1(u) + log kzk ≤ u(z) ≤ C2(u) + log kzk }

1.7 Hàm cực trị toàn cục VE

Định nghĩa 1.7.1 ([1]) Hàm cực trị toàn cụcVE Giả sử E là tập bị chặn.Hàm VE(z) = sup{u(z) : u ∈ L, u|E ≤ 0}, x ∈ Cn gọi là hàm cực trị toàncục của tập E Hàm VE đôi khi còn được gọi là L− hàm cực trị của E hayhàm cực trị Siciak-Zakhariuta

Ví dụ 1.7.2 ([1]) Giả sử E = B(a, r) = {z ∈ Cn : kz − ak ≤ r} Khi đó

V

B(a,r) = log+ kz − ak

r , z ∈ C

n,

trong đó, log+ kz−akr = max(0, logkz−akr )

Thật vậy, vế phải thuộc L và ≤ 0 khi z ∈ E Vậy theo định nghĩa,

ở đó,t ∈ ∆(0, kw−akr )\{0} Hàmv là hàm điều hòa dưới theo t ∈ ∆(0,kw−akr )\{0}

và do u ∈ L nên v(t) ≤ c khi t → 0 Vậy v thác triển tới hàm điều hòa dưới

˜

v trên t ∈ ∆(0, kw−akr ) Khi |t| = kw−akr thì v(t) ≤ 0˜ Vậy theo nguyên lý cựcđại, v ≤ 0˜ trên ∆(0,kw−akr ) Đặc biệt v(1) = ˜v(1) = u(w) − log+ kw−akr ≤ 0

Từ đó u(w) ≤ log+ kw−akr khi w ∈ Cn\E Nếu w ∈ E thì u(w) ≤ 0 =log+ kw−akr Do đó u(w) ≤ log+ kw−akr với mọi w ∈ Cn và đẳng thức

V

B(a,r) = log+ kz − ak

r , z ∈ C

nđược chứng minh

1.8 Bất đẳng thức Bernstein-Walsh

Giả sử P là đa thức trên Cn và B(a, r) là hình cầu tâm abán kính r trong

Cn Hàm u(z) = deg P1 logkP k|P (z)|

¯ B(a,r)

∈ L và u|B(a,r)¯ ≤ 0 Vậy Ví dụ ( 1.7.2 )cho ta

1deg P log

1.9 Độ đo thỏa mãn điều kiện Bernstein-Markov

Cho K là tập compact chính quy trong Cn Khi đó độ đo cân bằng

bất kì và q, 0 < q < ∞, tồn tại A = A (ε, q) sao cho

kpkE ≤ A(1 + ε)deg(p)kpkµ,q với ∀p ∈ P (CN), (2.1)trong đó

kpkµ,q =



ZE

Cho f là một hàm phân hình trên một lân cận của E Ta kí hiệu pn ∈ Pn

(tương ứng fn ∈ Pn) là đa thức xấp xỉ tốt nhất theo chuẩn đều và chuẩn

Những xấp xỉ tốt nhất không nhất thiết phải duy nhất.

Từ định lý Bernstein – Walsh – Siciak và bất đẳng thức Bernstein - Walsh

kT chEhnkE ≤ kT chµ,qhnkE (2.7)Tương tự như vậy

kT chµ,qhnkµ,q ≤ kT chEhnkµ,q (2.8)

Định lý 2.1.3 ([3]) Cho E ⊂ CN là một compact chính quy và cho µ

là độ đo Borel sao cho cặp (E, µ) thỏa mãn (BM ) Cho 1 ≤ q < ∞ và

f ∈ Lpq(E, µ) ; R > 1 Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

fbn(z)

− log |z| ≤ ρE([z]) − log R, ∀ z 6= 0 (2.14)Trong đó {fn} là một dãy các đa thức xấp xỉ tốt nhất trong chuẩn k.kµ,q

Chứng minh Giả sử (2.10) Từ định lý Bernstein – Walsh – Siciak ta có

tức là (2.11) cố định Tiếp theo, giả sử (2.11) cố định Cố địnhr, 1 < r < R,

và khi đó cố định ε > 0 và ρ sao cho

(1 + ε)r < ρ < R

Từ (2.11), tồn tại no = no(ρ) sao cho

kf − fnkµ,q ≤ 1

ρn, n ≥ n0 (2.21)

Từ (BW )

kfn+1− fnkE

r ≤ rn+1kfn+1− fnkE (2.22)Tiếp theo, từ bất đẳng thức (BM ), tồn tại Aε > 0 sao cho

kfn+1 − fnkE ≤ Aε(1 + ε)n+1kfn+1− fnkµ,q, ∀n (2.23)Khi đó

n+1

với n ≥ n0

Do đó, với mọi M, n ≥ n0, ta có

MXk=n

kfk+1 − fkkE

r ≤ C



(1 + ε)rρ

T chµ,qfbn(z)

≤ 0, ∀z ∈ E (2.26)

Do đó từ định nghĩa của hàm cực trị toàn cục VE, ta có

log r + 1

nlog

fbn(z)

− log |z| ≤ ρE([z]) , ∀z ∈ CN\ {0} (2.28)Khi đó nó cố định với ∀n > n1(r) và ∀r < R ta có (2.14)

Bổ đề 2.1.4 ([3]) Cho E ⊂ CN là một compact chính quy và µ là một độ

đo Borel sao cho (E, µ) thỏa mãn(BM ) Chohn là một dãy của các đa thứcthuần nhất thỏa mãn deg hn = n hoặc hn(z) ≡ 0, với mọi n ∈ No, R > 1 và

2.2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất

Bổ đề 2.2.1 ([3]) Hàm f thác triển đến một hàm chỉnh hình lên ER nếu

1

nlog |pn(z)| ≤ ε + VEr(z), z ∈CN, n ≥ no (2.32)Lấy hàm Robin của cả 2 vế của bất đẳng thức trên cho

1

nlog |pbn(z)| − log |z| ≤ ε + ρE

r([z]) , n ≥ no (2.33)Nhắc lại rằng khi E là chính quy,

VE

r(z) = max {VE(z) − log r, 0} (2.34)và

Tuy nhiên, nếu f thác triển giải tích lênER, dãy {pn} là bị chặn đều trên

Cho E ⊂ CN là một compact chính quy và cho µ là độ đo Borel hữuhạn sao cho (E, µ) thỏa mãn (BM ) Cho q thỏa mãn 1 ≤ q < ∞ Cho

{fn} là một dãy các đa thức xấp xỉ tốt nhất trên chuẩn k.kµ,q tới một hàm

ii) Cho f ∈ W(E) không giải tích trên E Khi đó ∂Z ∩ E 6= φ Tương

tự với f ∈ Lqp(E, µ) và f không giải tích trên E, khi đó ∂Zµ ∩ E 6= φ

iii) Cho f ∈ W(E) có một thác triển giải tích lên ER (với một số

R > 1) nhưng không lên Es với s > R bất kì Khi đó ∂ER ∩ ∂(int(Z)) 6= φ

và ∂ER ∩ ∂(int(Zµ)) 6= φ

Chứng minh (i) Dãy{pn(z)}là bị chặn đều trênE, vậylim sup

n→∞

1

nlog |pn(z)| ≤

0 trên E

Do các tập bỏ được là đa cực nên ta có v ≤ 0 trên E\N, trong đó N là

đa cực Vậy v ≤ V∗E/N Bởi một kết quả của Klimek ta có V∗E/N = VE, do

Ví dụ 2.2.4 ([3]) Cho E ⊂ C là tập compact chính quy và cho f ∈ W(E)

không giải tích trên E Khi đó v là hàm cực trị toàn cục của C\Eb vàZ = Eb.Trong trường hợp đa biến chúng tôi sẽ đưa ra một số ví dụ về f ∈ W(E)

không giải tích trên E nhưng trong đó Z 6= E ( do E là lồi đa thức)

Cho E là hình tròn đơn vị trong C2 E =

n

(z1, z2) : |z1|2 + |z2|2 ≤ 1o vàcho f = f (z1) là hàm liên tục trên ∆1 = {z1 ∈ C : |z1| = 1} giải tích trênint (∆1) và không giải tích trên ∆1

Cho pn(z1) biểu thị là đa thức xấp xỉ tốt nhất bậc ≤ n tới f trên ∆1 Khi

đó pn(z1) là xấp xỉ tốt nhất của bậc ≤ n tới f Sử dụng kết quả ở trên củaBlatt – Saff ta có

Định lý 2.2.5 ([3]) Cho f là chỉnh hình trên ER và cho eER là hợp của cácthành phần liên thông của ER mà f là không đồng nhất bằng 0 Cho {pn} làmột dãy của các xấp xỉ đều tốt nhất tới f trên E Cho zo ∈ ∂EeR∩∂(int(Z)).Khi đó tồn tại một dãy điểm {zn} thỏa mãn lim

n→∞zn = z0 và pn(zn) = 0.Chứng minh Chứng minh phản chứng Giả sử rằng z0 không phải là mộtđiểm giới hạn như vậy Khi đó có một hình cầu B tâm tại z0 sao cho pn 6= 0

trên B với n ≥ n1 Chọn một nhánh giải tích của p1/nn trên B Với một sốhằng số M1 > 0 ta có

là dãy bị chặn đều của hàm giải tích trên B

Bây giờ B 6⊂ int(Z), vì vậy có một điểm zo ∈ B,

trong đó lim sup

nlog |pn(z)| , z ∈ B. (2.42)

Vậy |g(z1)| > 1 và |g(z)| ≤ 1 với ∀z ∈ int(Z) ∩ B.

Do đó g khác hằng số trên B và như vậy theo nguyên lý modun cực đại

|g(z)| < 1 trên int(Z) ∩ B

Điều này nghĩa là

lim

n∈J1|pn(z)|1/n < 1,

với {pn} hội tụ đều tới f trên tập con compact

Do đó f ≡ 0 trên B ∩EeR, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng f làkhông đồng nhất với 0 trên thành phần bất kì của eER

Hệ quả 2.2.6 ([3]) Cho f là chỉnh hình trong ER và cho eER là hợp củacác thành phần liên thông của ER, trong đó f không đồng nhất bằng 0 Cho

{fn} là một dãy xấp xỉ tốt nhất tới f trên E trong chuẩn k.kµ,q

Cho zo ∈ ∂EeR ∩ ∂(int(Zµ)) Khi đó tồn tại một dãy các điểm {zn} sao

cho lim

n→∞zn = zo và fn(zn) = 0

Định lý 2.2.7 ([3]) Cho f ∈ W(E) và giả sử f không giải tích trên E Giả

sử rằng E thỏa mãn với ∀z ∈ E và hình cầu B bất kì tâm tại z, có thànhphần liên thông E0 của B ∩ E không phải đa cực Cho zo ∈ ∂Z ∩ E sao cho

f (zo) 6= 0 Khi đó tồn tại một dãy các điểm {zn} sao cho lim

n→∞zn = zo và

pn(zn) = 0, với n = 1, 2, 3

Chứng minh Chú ý rằng với f ∈ W(E), nếu f không giải tích trên E Khi

đó từ Bổ đề 2.2.3, ∂Z ∩ E 6= φ Giả sử rằng z0 không phải điểm giới hạn.Căn cứ vào chứng minh của Định lý 2.2.5, ta có thể giả sử có một hình cầu

B, với tâm tại z0, bán kính đủ nhỏ và số nguyên n1 sao cho

|f (z) − f (zo)| <

f (zo)4

, z ∈ E ∩ B (2.43)

|pn(z) − f (zo)| <

... ) Chohn dãy đa thứcthuần thỏa mãn deg hn = n hn(z) ≡ 0, với n ∈ No, R >

2.2 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt

Bổ đề 2.2.1 ([3])... pn(z1) biểu thị đa thức xấp xỉ tốt bậc ≤ n tới f ∆1 Khi

đó pn(z1) xấp xỉ tốt bậc ≤ n tới f Sử dụng kết củaBlatt – Saff ta có