Luận văn sư phạm Các đa thức trực giao

T ngăt ănh ătrênătaăgi iăh ăbaăph ng trình... Ti păt căquáătrìnhătrênătaăxácăđ nhăđ căh ăs ăc aăPn nh ăđi uăki nătr căgiao.. V iăm căđích kh cănhau ng iătaăcúăth thayăth ăđaăth căHermite

M C L C

M ă U 1

Ch ngă1:ăăăC ăs ălíăthuy t 2

1.1 Tíchăvôăh ng 2

1.1.1 nhăngh aă 2

1.1.2 M t s tính ch t c aătíchăvôăh ngă ầầ 2

1.2 B tăđ ng th c Cauchy ậ Schwarz 2

1.3 aăth c tr c giao 3

1.4 Bài toán Sturm ậ Liouville 5

1.5 Tích phân Euler lo i 1,2 5

1.5.1 Tích phân Euler lo i 1 5

1.5.2 Tích phân Euler lo i 2 5

1.5.3 Liên h B và  là 6

Ch ngă2:ăăăCácăđaăth c tr c giao 7

2.1.ăă aăth c Legendre 7

2.1.1.ăă nh lí 1 8

2.1.2.ăă nh lí 2 11

2.1.3.ăă nh lí 3 13

2.1.4.ăă nh lí 4 14

2.1.5.ăă nh lí 5 15

2.1.6.ăă nh lí 6 18

2.2 T aăđ c uăvàăph ngătrìnhăLegendreă 19

2.2.1.ăă nh lí 7 23

2.2.2.ăă nh lí 8 27

2.2.3.ăă nh lí 9 28

2.2.4.ăă nh lí 10 29

2.3.ăă aăth c Hermite 30

2.3.1.ăă nh lí 11 31

2.3.2.ăă nh lí 12 32

2.3.3 H qu ầầầầầầầầầ.ầầầầầầầầầầầ33 2.3.4.ăă nh lí 13 33

2.3.5.ăăă nh lí 14 35

2.4.ă aăth c Laguerre 37

2.4.1.ăă nh lí 15 37

2.4.2.ăă nh lí 16 40

2.4.3.ăă nh lí 17 42

2.5.ăă aăth c Chebyshev 43

2.6.ăă aăth c Jacobi 44

K T LU N 47

TÀI LI U THAM KH O 48

toán lí vào th k th XVIII Ngành toán h c m i này giúp liên h gi a các đ i

l ng v t lí trong t nhiên r t ph c t p nh ng có quy lu t

Trong quá trình đi tìm nghi m c a ph ng trình vi phân đ o hàm riêng b ng

ph ng pháp tách bi n, ta s g p m t s ph ng trình vi phân thông th ng mà nghi m c a nó là các hàm c u, hàm Betsen, , đ c bi t là các đa th c tr c giao là đa

th c Legendre, a th c Hermite, a th c Laguerre, a th c Chebyshev, a th c Jacobi

Tuy nhiên, trong quá trình h c t p và nghiên c u, b n thân em c ng nh các b n sinh viên cùng khoá đ hi u m t cách sâu s c các đa th c tr c giao, các tính ch t

c a chúng, và các ng trong v t lí là r t khó

T nh ng suy ngh trên, và d i s h ng d n c a th y TS.BÙI KIÊN

C NG Em dã ch n đ tài “Các đa th c tr c giao”ălàm đ tài lu n v n t t nghi p

c a mình

Khoá lu n c a em g m các n i dung sau:

Ch ng1: C s lí thuy t

Ch ng2: Các đa th c tr c giao

Qua đây, em xin bày t l i c m n sâu s c t i giáo viên h ng d n TS BÙI

KIÊN C NG ng i đã h ng d n, giúp đ em hoàn thành khoá lu n này

Cu i cùng em xin c m n các th y cô trong t gi i tích, các th y cô trong khoa toán đã giúp đ em trong 4 n m h c qua !

Hà N i, Ngày 9 tháng 5 n m 2010

Sinh viên

BÙI V N L NG

Ch ng 1

c s lí thuy t

1 1.T ích vô h ng

1 1.1 nh ngh a:

Cho không gian tuy n tính X trênătr ng K (K là tr ng s th c R ho c

tr ng s ph c C) ta g iălàătíchăvôăh ng trên không gian X v i m i ánh x

t tích Descartes XX vàoătr ng K, ký hi u .,. , th aămưnătiênăđ :

x  x x ,

Khi đó  x y ,  X ta có b t đ ng th c Cauchy-Schwarz

x y ,  x y

1.3 a th c tr c giao

Cho (a,b) làăkho ngăm ătrong R, h uăh năho căvôăh n,ăhàmă ( ) x  0

trên kho ngă(a,b) , sao cho ( ) ( 0,1, 2 )

b n a

x  x dx n

 làăh iăt ătuy tăđ i T năăăăăăăăăăăăă

t iăduyănh tăădưy  Pn 0 cácăđaăth căcóăd ngăăăăăP0 1;P1  x a0;

gi iăh ăph ngătrìnhătaăxácăđ nhăđ căh ăs ăb và 0 b1trongăăđaăth cP2

T ngăt ănh ătrênătaăgi iăh ăbaăph ng trình

P P3, 2   P P3, 1   P P3, 0   0,

ta xác đ nh đ căh ăs c c c0, ,1 3trongăđaăth căP3

Ti păt căquáătrìnhătrênătaăxácăđ nhăđ căh ăs ăc aăPn nh ăđi uăki nătr căgiao

Nh ăv y,ăhàm ( )x ătrênă làăhàmătr ngătrênăkho ngă(a,b), t năt iăduyă

nh tăăă

dãy  Pn 0 c aăcácăđaăth căxácăđ nhăb iăđi uăki n:

i Pnlàăđaăth căb căn

ii P Pn, m  0 v iăm iăm n 

iii.ăH ăs ăc aă n

x trong P là 1 n

B đ 1:ăGi ăs ă Pn 0 làădưyăcácăđaăth c,ăsao cho Pn làăđaăth căb căn

v iăm iăn Khi đóăm iăđaăth căb căk (k=1,2,3, ) làăt ăh pătuy nătínhăc aă

f c P cóăcùngăh ăs ăc aă k 1

x  Doăđóă f c Pk k ck1Pk1 làăđaăth căb căk-2 Chúngătaăti păt căquáătrìnhănàyăchoăck1, , 0c sao cho

0

0

k

n n n

( ) ( ) ( )

( )

n

n n

Ch ng 2 Các đa th c tr c giao

v yPnlàăm tăđaăth căb căn

M tăvàiăđaăth căLegendreăb cănh :

3 3

4 2 4

5 3 5

0 1

2 2

3 3

4 2 4

( ) 1,( ) 2 ,( ) 4 2,( ) 8 12 ,( ) 16 48 12

Hnlàăđaăth căb căn,ăs ăh ngăcaoănh tălàă(2 )x n

Xét trong không gian L R vµ L R2( ) 2( ) v iăhàmătr ngă 2

u f x

d

dv e dxdx

du f x dxd

1( )

n x n

d

f x e dxdx

Tíchăphânăti păt că(n-1) l nătaăđ c:

N

txtx

Do gi ăthuy tătrênăcácătíchăphână ăbênăph iăđ uătri tăti u.ăTheoăđ nhălíă

Nh ăv yăcôngăth c Taylor:

n n

Nh ă v y,ă cácă đa th că Hermiteă là c că hàmă riêngă c aă bàiă toánă Liouville k ăd :

ex2y  ex2y0,    x , (34)

v iă“đi uăki năbiên” làănghi măc aă bài toán thu c 2

L (R)

V iăm căđích kh cănhau ng iătaăcúăth thayăth ăđaăth căHermiteăb ngă

ph ngătrìnhăHermiteăhnđ căxácăđ nhăb i:ă

Cho  làăm tăs ăth căsaoăchoă> -1.ă aăth călaguerreăth ăn ,

Kíăhi uăLn t ngă ngăv iăm tăthamăs ăđ căxácăđ nhăb i:

≠0 làăđaăth căLaguerreăt ngăquátă

Côngăth cătíchăs ăc aăđ oăhàmătaăcó:

0

1( )

!( )!

k x n k n n

nL

N uăf làăđaăth căb cănh ăh năn ,ăN u f  Lm v iăăm<ănăthìă ( )

ălàmăđi uănàyătaăchuy năbàiătoánăt ă(0, ) đ nă( , ) b ngăcáchă

s ăd ngăcôngăth căsau:

Hàm F kh ătíchătrênă(0, ) ,Ln làăt ăh pătuy nătínhă(ătheoăB ăđ ă1),ăcácă

đi uăki nă g L, n 0

Vìăv yătheoăđ nhălíă(12),ăg=0 ฀

Chúă ý:ă Gi ă thi tă > -1 c nă thi tă trongă đ nhă líă 15.ă N u  ≤ -1 ,

( )x x e x

   làăkhôngăkh ăviăt iăg c.ăVìăv yătíchăphână L Ln, nk

không xác

đ nhă Ln 2

làăt tăc ăphânăkì

Ta th yăđaăth căLaguerreăth aămưnăph ngătr nh Laguerre:

Cácăđaăth căLaguerreăLn 0,1 th aămưnăph ngătrìnhă(42)

   ăT ăđóăP=0 vàădoăđóăynth aămưnă(42)

Th tăv y,ăb ngă(45):

0( ) k( ) x

tăăăăăăăăăăăăăăă 1

0

( ) ( ) x

x k

x k

 taăcóăđi uăph iăch ngăminh.ăăă

T ă nhălíă16 taăth yăph ngătrìnhăLaguerreăLn làănghi măriêngăc aă

bài toán Sturm-Liouvillătrênăkho ngă(0, ) liênăk tăv iăph ngătrìnhăviăphân

( )

(1 )

xz z n

Côngăth căđúngăv iă z nh ,ăch ngăminhă(47) cho các z, (47)ălàăđúngăv i

z < 1 đ iăv iăphânătíchă ăv ăph iăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă฀

2.5 a th c Chebyshev

aăth căChebyshevăth ănăkíăhi u Tnđ căxácăđ nhăb ngăcôngăth c:

Tn(cos ) cosn (48) cosn Reein Re(cos sin ) n

!

( 1) (2 )!( 2 )!

n k k n

N uăfătr căgiaoăv iăm iăTn,

Thì f= 0, làătínhăđ yăc aăđaăth căChebyshev

Tínhăchu năc aăđaăth căChebyshev:

1

2 1/ 2 1

( ) ( ) ( )

(1 )

n n n

1

1 2

n n

Khi     0, Pn( , )  làăđaăth căLegendreăPn

Ki mătraăđaăth căLegendreămangăl iăk tăqu ăt ngăt ăchoăđaăth căJacobi:

i iă v iă m iă  và  ,  ( , ) 

2 ( )

n n

aă th că Chebysheră làă tr ngă h pă riêngă c aă Jacobiă 1

     ,ăchu n hóaăđaăth căJacobiăkhácănhauăvàăg iălàăđaăth că

Gegenbauerăth ăn ,Kíăhi uăCn v iăthamăs ă  0 đ căxácăđ nhăb iă:

C ăth ălà,ăđi uănàyăđúngăP P0, , ,1 Pn1 ,ădoăđóă P Pn, m  0 v iăm<n

N uă f làă đaă th că cóă b că l nă h nă n, thìă taă hoánă v ă m,n taă c ngă cóăă

n m

P P  v iăm>n Nh ăv yăPnlàătr căgiaoăt ngăh

M tăkhác,ăn uă  ,ătheoăcôngăth că(3)ătaăcó:

( , 1) 2

32

( )2

( )2

Vì P'n làăđaăth căb căn-1,nên x P 2 n làăđaăth căb căn+1 Nên g(x) làăđaă

th căb căn Doăcôngăth că(3)ă,nênăs ăh ngăcaoănh tălà:

Nh ăv yă ( )g x n n( 1)Pn làăđaăth căb căn-1 (theo (3)) Doăđó,ătheoă

B ăđ (1), nó làăt ăh pătuy nătính c aăP P0, , ,1 Pn :

' 2

( 1) ,2 n j

j

j

g n n P Pc

nh lí 2 nóiă r ngă đaă th că Legendreă là hàm riêngă c aă ph ngă trìnhă

c uănghi măc aă(7)ăt iăx 1

Tómăl iăt iăđi măx 1đ uăsuyăbi nătrongă(7).ăD ădàngăxácăđ nhăs ăm ă

đ cătr ngă ănh ngăđi mănàyălàăb ngăkhông.ăDoăđóăv iă b tăkìăthìăph ngă

trình (7) cóăm tănghi măkhôngăt măth ng,ăđâyălàăphânătíchă t iăx=1 Trong

tr ngăh păb tăkìăhaiănghi măđ căl păthìălogarităs ăcóătínhăkìă

d ăDoăđóătaăcó th ăápăđ tăđi uăki năbiênăchoă(7)ăb ngăcáchăchoănghi mă

khôngăkìăd ăt iăx 1.ăNóăđ căbi uădi nănh ăsau:

Cho  0 nh ătu ăý, t năt iăhàmăg làăhàmăliênăt cătrênăđo nă1,1

Vìăv yă f   v iăă 0 tùy ý, ngh aălàăăăf=0 ฀

Trongă nhălíă1ăs ătri năkhaiăthànhăchu iăc aăhàmă 2

 h iăt ătheoăchu n,ănóăcóăth ăh iăt ătheoăt ngăđi m,ăv iă

đi uăki năf tr năt ngăkhúc,ăc ngăgi ngănh ătr ngăh păchu iăFourier

Taăth y 2

(x 1)n làăm tăhàmăch năc aăx.ăVìăv yăđ oăhàmănóăn l năthìă

2nn P x ! ( ) làă hàmă ch nă ho că l ă tùyă vàoă n làă ch nă hayă l ă Vìă v yă chúngă taăthôngăquaăchu iăFourierătrênă ,  t iăchu iăăFourieră - cos, Fourier - sin

trên  0, ,ătaăthôngăquaăchu iăc aăcác đaăth căLegendreătrênă1,1

Vi că ch ngă minhă r tă d ă dàng,ă doă tínhă ch tă c aă tíchă phână m tă hàmă

ch n(l )ă trênă m tă t pă đ iă x ngă vàă phépă ch ngă minhă trongă khôngă giană2

( 1,1)

L 

Hàm P2n và P2n+ 1 là hàm riêngăc aăbài toán Sturm-Liouville trên(0,1)

đ căxácăđ nhăb ngăph ngătrìnhăLegendreă(7)ăvàăđi uăki năbiênălà:

Ch ngăminh:ă

Cho x  1,1,  làăvòngătrònăbánăkínhă1ăđ x n mătrongăm tăph ngă

ph c.ăÁpăd ng côngăth căCauchyăchoăđ oăhàmăđ iăv iăcôngăth că(2),ătaăcó:

n nz

0

2( ) Re

2 2

n n

z   x i  x ,c ăth ălàă1.ăCôngăth căđúngăv iă

t tăc ăz sao cho z  1

11( 1)

1

n n

n n



 và

0( 1)nzn







t ngă ng

V yăăăPn(1)= 1,Pn(-1)=( 1) n

Côngăth c (10) làăm tăcáchăgi iăthíchăv tălíăthúăv ăN uăs tíchăđi nă(ă

ho cătr ngăt iă)ăđ c t aăđ ăaătrongă 3

R ,ăvi căgâyăraăt nhăđi nă(ătr ngăl că)ăth ăvàoăđi măx làăm tăh ngăs ,ăsaiăkhácăm tăs ăkhôngăđ i 1

x a  ,

Gi ăs ă a làăđ năv ăkho ngăcáchăđ năg că,choăr= xvà cho  là góc

gi aăvect ăx và a.ăýăngh aăhìnhăh c:

x a   P  r

 

óălàăđaăth căLegendreăchoăvi căkhaiătri năc a th ăn ngăquanhăđi mă

g cătheo l yăth aăc aăr  x

1 1

cos sinsin sincos

0 u

  ă d ngă

( ) ( ) ( )

u R r     thayăth ăvàoăph ngătrìnhă 2

0u

m và tách theo r và  :

2 2  ' 

2

sin 2

V ătráiăph ăthu căvào r,ăv ăph iăph ăthu căvàoă nên nóălàăh ngăs

 '  2

2

sin

0 sin sin

Ph ngătrìnhă(15)ăbi năđ iăthànhăph ngătrìnhăLegendreăb ngăcách

thayăth ăăăs  cos 

N uăq làăđ iăl ngăph ăthu căvàoăs và s ph ăvàoă , ta có:

   

Do v y n uăđ t s  cos  , S s ( )  S  cos     ( ) 

Vàăl uăýăr ng sin2   1 s2 ,ta có

trình legendre liên k t c a b c m

Khi m là m t s d ng,ă trongă tr ng h p ta xét nó d dàngă tìmă đ c

C th ta l y   n n (  1)và  làăđaăth c Legendre Pn ,ătaăcóăph ngătrìnhăLegendre liên k t P : nm

n mP

n m n





Tính tr c giao c a Pnm và Pnm v i n n,ăsauăđóăb ng cách l y tích phân

m k

P trong L2( 1,1)  thì hàm

( ) (1 )

m

d P s d

1 1

Ymn    ,  eimPnm( )  v i (n=0,1,2,3…; m  n)

là hàm c u trên hình c uăđ năv S trong 3

R , t oăthànhăc ăs tr c giao c a 2

Y

 (26)

1 1

 

0 0

1

4

n n

1

1 2 cos

n n

N u chỳng ta th đ ng th c trờn vào (28), và g i y là đi m mà trong t a

đ c u nú cú to đ là1, ,  .ă Chỳngă taă đ c (27), v i x n m trờn ph n

d ng c a tr c Oz Nh ng(27) là bi u th c đ c l p v i h to đ Decarters đư

cho, vỡ th v i x làăvect ăb t k , chỳng ta ch n h to đ Decarters mà x n m

trờn chi uăd ngăc a tr c Oz, lý lu n trờn cho ta th yă(27)ăđỳngăt i x

Tính toán đơn giản ta thấy:

0

1

2 2

3 3

4 2 4

Hnlàăch năho căl ătùyăvàoăn làăch năhayăl ă(ăvìă 2

x

e làăhàmăch nă)

Hnlàăđaăth căb căn,ăs ăh ngăcaoănh tălàă(2 )x n

Xét trong không gian L R vµ L R2( ) 2( ) v iăhàmătr ngă 2

u f x

d

dv e dxdx

du f x dxd

1( )

n x n

d

f x e dxdx

txtx

n n

V iăm căđích kh cănhau ng iătaăcúăth thayăth ăđaăth căHermiteăb ngă

ph ngătrìnhăHermiteăhnđ căxácăđ nhăb i:ă

Cho  làăm tăs ăth căsaoăchoă> -1.ă aăth călaguerreăth ăn ,

Kíăhi uăLn t ngă ngăv iăm tăthamăs ăđ căxácăđ nhăb i:

≠0 làăđaăth căLaguerreăt ngăquátă

Côngăth cătíchăs ăc aăđ oăhàmătaăcó:

0

1( )

!( )!

k x n k n n

2 ( 1)

!n

nL

ălàmăđi uănàyătaăchuy năbàiătoánăt ă(0, ) đ nă( , ) b ngăcáchă

s ăd ngăcôngăth căsau:

Hàm F kh ătíchătrênă(0, ) ,Ln làăt ăh pătuy nătínhă(ătheoăB ăđ ă1),ăcácă

đi uăki nă g L, n 0

Vìăv yătheoăđ nhălíă(12),ăg=0 ฀

Chúă ý:ă Gi ă thi tă > -1 c nă thi tă trongă đ nhă líă 15.ă N u  ≤ -1 ,

Ta th yăđaăth căLaguerreăth aămưnăph ngătr nh Laguerre:

   ăT ăđóăP=0 vàădoăđóăynth aămưnă(42)

Th tăv y,ăb ngă(45):

0( ) k( ) x

x k

x k

 taăcóăđi uăph iăch ngăminh.ăăă

T ă nhălíă16 taăth yăph ngătrìnhăLaguerreăLn làănghi măriêngăc aă

bài toán Sturm-Liouvillătrênăkho ngă(0, ) liênăk tăv iăph ngătrìnhăviăphân

( )

(1 )

xz z n

=

0

2

n x

Côngăth căđúngăv iă z nh ,ăch ngăminhă(47) cho các z, (47)ălàăđúngăv i

z < 1 đ iăv iăphânătíchă ăv ăph iăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăă฀

2.5 a th c Chebyshev

aăth căChebyshevăth ănăkíăhi u Tnđ căxácăđ nhăb ngăcôngăth c:

Tn(cos ) cosn (48) cosn Reein Re(cos sin ) n

n k k n

Làătínhătr căgiaoăc aăđaăth căChebyshev

N uăfătr căgiaoăv iăm iăTn,

Thì f= 0, làătínhăđ yăc aăđaăth căChebyshev

Tínhăchu năc aăđaăth căChebyshev:

1

2 1/ 2 1

( ) ( ) ( )

(1 )

n n n

1 2

n n

Khi     0, Pn( , )  làăđaăth căLegendreăPn

Ki mătraăđaăth căLegendreămangăl iăk tăqu ăt ngăt ăchoăđaăth căJacobi:

i iă v iă m iă  và  ,  ( , ) 

1 ( , ) 2 ( 1) ( 1)

2 ( )

n n

     ,ăchu n hóaăđaăth căJacobiăkhácănhauăvàăg iălàăđaăth că

Gegenbauerăth ăn ,Kíăhi uăCn v iăthamăs ă  0 đ căxácăđ nhăb iă:

aă th că Jacobiă Pn((k3)/2,(k3)/2) ho că t ngă đ ngă v iă đaă th căGegenbauer Cn(k2)/2

óngăvaiătròăquanătr ngătrongălíăthuy tăhàmăđi uăhòaăc uătrongă k

R nh ăđaă

th căLegendreătrongă 3

R

K T LU N

Khóa lu nă“Cácăđaăth c tr căgiao”ăemătrìnhăbàyătínhătr c giao c aăcácăđaă

th c Legendre, a th c Hermite, a th c Laguerre, a th c Chebyshev, a

th c Jacobi Các tính ch t c aăcácăđaăth căđó,ăvàăcácăph ongătrìnhăviăphânăd n

đ n vi cătìmăraăcácăđaăth c tr c giao trên

Lu năv n có ýăngh aăquanătr ng trong vi c nghiên c u sâu v m t s v n

đ c a v t lý

Do th i gian có h n nên khóa lu n không th tránh kh i nh ng thi u sót

Em r tămongăđ c s đóngăgópăýăki n nhi t tình c a các th y cô giáo và các

b năđ khóa lu năđ c hoàn thi năh n

Em xin chân thành c mă năs h ng d n t n tình c a th yăgiáoăh ng d n TSăBùiăKiênăC ng,ăc ngănh ăcácăth yăcôăgiáoăđưăgiúpăđ em trong th i gian

th c hi n khóa lu n

TÀI LI U THAM KH O

1 ình Thanh (2002), Ph ng pháp toán lí, Nxb giáo d c

2 Phan Huy Thi n (2006), Ph ng pháp toán lí, Nxb giáo d c

3 PGS.TS Nguy n Ph Hy (2006) , Gi i tích hàm, Nxb Khoa h c và k thu t

4 Tr n c Long - Nguy n ình Sang ậ Hoàng Qu c Toàn (2003), Giáo trình gi i tích t p 3, Nxb i H c Qu c gia Hà N i

5 Nguy n V n Khuê ậ Lê M u H i (1997), Hàm bi n ph c, Nxb i

H c Qu c gia Hà N i

6 TSKH Nguy n M nh Hùng (2002), Ph ng trình đ o hàm riêng.Nxb giáo d c

7 Phan H ng Tr ng(2001), Giáo trình i s tuy n tính, Tr ng i

h c S ph m Hà N i 2,