TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC

KHÔNG GIAN THAM SỐ CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC .... Chương này trình bày về khái niệm ánh xạ - Chương 3: Không gian tham số của họ các ánh xạ tựa đa thức... Ánh xạ giải tích và ánh xạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Ph ạm Thị Thái

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2014

LỜI CẢM ƠN

Đông về sự hướng dẫn tận tình của thầy Trong suốt quá trình nghiên cứu,

đạt được những thành tựu và kinh nghiệm quý báu

điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

C hương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Ánh xạ giải tích và ánh xạ bảo giác 3

1.2 Ánh xạ tựa bảo giác 5

1.3 Phép lặp 8

1.4 Tập Fatou và tập Julia 9

1.5 Không gian phủ và phép nâng 10

1.5.1 Không gian phủ 10

1.5.2 Vài tính chất của phủ 11

1.5.3 Nhóm cơ bản 11

1.5.4 Phép nâng 13

1.6 Đa tạp và cấu trúc hầu phức 14

1.6.1 Đa tạp 14

1.6.2 Cấu trúc hầu phức 16

1.7 Mặt Riemann 16

1.7.1 Khái niệm và phân loại mặt Riemann 16

1.7.2 Mêtric Riemann và mêtric Poincare (mêtric Hyperbolic) 17

1.8 Định lý ánh xạ đo được Riemann (định lý Ahlfors – Bers) 18

1.9 Ánh xạ mở rộng – Hàm hyperbolic 22

C hương 2 ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC 24

2.1 Định nghĩa và ví dụ về ánh xạ tựa đa thức 24

ánh xạ 27

2.3 Định lý Straightenning 30

2.3.1 Giới thiệu định lý 30

2.3.2 Chứng minh định lý 34

C hương 3 KHÔNG GIAN THAM SỐ CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC 45

3.1 Họ giải tích các ánh xạ tựa đa thức 46

3.1.1 Định nghĩa 46

3.1.2 Ánh xạ nhúng tubing 47

3.1.3 Phân hoạch Mane-Sad-Sullivan (M.S.S) thứ nhất 47

3.1.4 Phát biểu và chứng minh các định lý chính 48

3.2 Họ một tham số các ánh xạ bậc hai 56

3.2.1 Ánh xạ chỉnh hình tôpô 56

3.2.2 Tính chỉnh hình tôpô của c 59

3.2.3 Trường hợp M compact trong định lý 4 60

3.2.4 Một số kết quả khác về mối liên hệ giữa M và M 63

K ẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

DANH M ỤC CÁC HÌNH VẼ

2

2 1

c

Q z = z - c

có

c

Hình 3.1 Tập Mandelbrot 45

  cosz

f z  63

lĩnh vực toán học mà còn trong lĩnh vực nghệ thuật Được mệnh danh là “dấu

đó được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới như Pierre Fatou,

đo được đã mang đến rất nhiều ứng dụng cho động lực phức Chúng ta có thể

thức” nêu ra một số kết quả liên quan đến ánh xạ tựa đa thức như tập Julia và

Mandelbrot Công cụ nghiên cứu động lực phức cổ điển được sử dụng bởi

Bers

- Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số khái

- Chương 2: Ánh xạ tựa đa thức Chương này trình bày về khái niệm ánh xạ

- Chương 3: Không gian tham số của họ các ánh xạ tựa đa thức Chương này

Chương 1

1.1 Ánh xạ giải tích và ánh xạ bảo giác

Định nghĩa 1.1.1: Một hàm f được gọi là giải tích thực trên một tập mở

Định nghĩa hàm giải tích phức (chỉnh hình) được phát biểu tương tự

Định nghĩa 1.1.2: Cho M là một đa tạp phức Một tập con AÌ M được

{ : 1( ) N( ) 0}

AÇU= zÎ U g z = = g z =

Như vậy một tập giải tích (phức) được định nghĩa một cách địa phương

là tập các không điểm chung của hữu hạn hàm chỉnh hình

{zÎ : Imz³ 0}, chỉnh hình trên nửa mặt phẳng trên {zÎ : Imz> 0} ,

một thác triển giải tích trên toàn mặt phẳng phức

Lưu ý, nguyên lý này có thể áp dụng với các đĩa đơn vị vì tồn tại đẳng cấu chỉnh hình giữa nửa mặt phẳng trên với đĩa đơn vị

Định nghĩa 1.1.5: Cho G là một miền trong  Hàm số f G: ¾¾®

Định nghĩa 1.1.6: Miền G1 gọi là tương đương bảo giác với miền G2

Định lý 1.1.7

Định nghĩa 1.1.8: Cho D là tập mở khác rỗng trong  Hàm chỉnh hình

hình địa phương tại c DÎ nếu và chỉ nếu f c¢( )¹ 0 (tức là f bảo giác tại c)

Định lý 1.1.10

1.2 Ánh xạ tựa bảo giác

Ánh xạ tựa bảo giác được giới thiệu bởi Grötzsch (1928) và được đặt tên

bởi Ahlfors (1935), là một đồng phôi giữa các miền phẳng mà đạo hàm cấp

trực quan, các ánh xạ bảo giác bảo toàn độ lớn và hướng của góc Một ánh xạ

khi độ lớn các góc này không được bảo toàn

z

z

f f

m=

phương trình Beltrami Nhận xét rằng m< n1 ếu f bảo toàn hướng và

0

elip vô cùng bé, nghĩa là, một sự lựa chọn hướng và tâm sai tại mỗi điểm Khi

tương ứng trùng với trường elip liên kết với m

( )

o o

được gọi là độ co dãn của f

như thế không phụ thuộc vào elip nào được biến thành đường tròn Mặt khác,

đổi hướng nhưng không thay đổi tâm sai của một elip như thế (được biểu diễn như trong phương trình (1) ở trên)

(1)

Nếu f và g là các đồng cấu tựa bảo giác trơn trên các mặt cầu ¥ có

Tổng quát, tính khả vi của f có thể được thay thế bởi điều kiện yếu hơn

L D Trong trường hợp này, f được gọi là nghiệm yếu của

î

0

kì của z Ta có điểm bất động của f là điểm của chu kì 1

M ệnh đề 1.3.2

Ở đây, tích thứ hai có được do sự sắp xếp lại tích thứ nhất

f ¢

đưa ra sự phân loại các vòng tuần hoàn như vòng tuần hoàn đẩy, hút, trung hòa…

1.4 Tập Fatou và tập Julia

nghĩa này ta có: F R ( ) mở và J R compact ( )

phần phân biệt F F1, 2, ,F q của F R ( )

1.5 Không gian phủ và phép nâng

1.5.1 Không gian phủ

Cho X là một không gian tôpô Không gian phủ của X là không gian

cơ sở và T được gọi là không gian toàn thể của phủ Với x bất kỳ trong không

gian cơ sở, tập các tạo ảnh của x trong T là một không gian rời rạc và được

gọi là thớ của x Các lân cận mở đặc biệt U của x trong định nghĩa được gọi là

các lân cận phủ đều (evenly-covered neighborhoods) Các lân cận phủ đều tạo

thành một phủ mở của không gian X Các bản sao đồng phôi trong T của một lân cận phủ đều được gọi là các tờ của U

1: 1

Ví dụ

X có cùng các tính ch ất địa phương Nếu X đơn liên và T là liên thông thì

p- U

n ph ần tử thì ta nói phủ p là ph ủ n tờ (Trường hợp 1 n= , phủ là phủ tầm thường)

Cho X là một không gian tôpô và x0Î X Ta quan tâm đến tập các

í

ïî

viết p1(X) thay vì p1( ,X x0)

nhóm c ảm sinh, viết là p( )f Nếu f g X, : ¾¾®Y liên tục với

Suy ra hai không gian liên thông đường tương đương đồng luân có các

1.5.4 Phép nâng

Định nghĩa 1.5.4.1: Nếu p T: ¾¾® X là một phủ và γ là một đường

đường thì có một song ánh giữa thớ của x và thớ của y theo tính chất nâng

Định nghĩa 1.5.4.2: Cho p T: ¾¾® X là một phủ và f Z: ¾¾®X là

f(z) (nghĩa là p c( )= f z( )), nếu tồn tại một ánh xạ liên tục g Z: ¾¾®T sao

Hơn nữa, nếu ánh xạ nâng như thế tồn tại thì nó duy nhất Đặc biệt, nếu

đơn liên, tính chất nâng đối với các đường là một trường hợp đặc biệt của tính

Nếu p T: ¾¾®X là một phủ và cÎ T x, Î X sao chop c( )= x, thì đồng

Cho (M T là m, ) ột không gian tôpô Hausdorff, có một cơ sở đếm được

tôpô Hausdorff, có cơ sở đếm được cùng với một bản đồ (atlas)

M là đa tạp trơn nếu - 1

đồ (atlas) gọi là được định hướng nếu định thức của ma trận Jacobi - 1

j j

dương khắp nơi Một đa tạp định hướng là một đa tạp trơn với một bản đồ

Trong các định nghĩa trên:

đó

phương trên Ua xác định bởi j a

1.6.2 C ấu trúc hầu phức

2

hướng được

1.7 Mặt Riemann

1.7.1 Khái niệm và phân loại mặt Riemann

Điểm chính của các mặt Riemann là các hàm chỉnh hình có thể được định nghĩa giữa hai mặt Riemann Các mặt Riemann có thể được thiết lập để nghiên cứu dáng điệu toàn cục các hàm này, đặc biệt là các hàm đa trị như hàm căn thức, logarit phức

chứa cấu trúc khác (đặc biệt là cấu trúc phức) cần cho việc định nghĩa các hàm chỉnh hình

Định lý 1.7.1.1 (Định lý Đơn trị hóa)

iii) g > 0

1.7.2 Mêtric Riemann và mêtric Poincare (mêtric Hyperbolic)

Một mặt Riemann X được trang bị một cấu trúc cho phép đo các góc trên

đa tạp, nghĩa là các lớp tương đương, được gọi là các mêtric Riemann Hai

mêtric như thế được gọi là tương đương nếu các góc chúng đo giống nhau

Độ dài của một đường cong g trong mặt phẳng phức được cho bởi công thức

Toán tử Laplace - Beltrami được cho bởi

Độ cong Gauss của mêtric ( )l z dz được cho bởi

2

loglog

Kl = - Dl l = - D l

l

Mêtric Poincare là tenxơ mêtric mô tả mặt hai chiều với độ cong hằng

âm Nó được sử dụng trong các tính toán hình học hyperbolic hoặc mặt Riemann

1.8 Định lý ánh xạ đo được Riemann (định lý Ahlfors – Bers)

1960 bởi Lars Ahlfors và Lipman Bers trong giải tích phức và lý thuyết hàm hình học Đây không phải là mở rộng trực tiếp định lý ánh xạ Riemann Nó là kết quả liên quan các ánh xạ tựa bảo giác và nghiệm của phương trình

Beltrami z

z

f f

=

dz

=

:¾¾®

¶

j m j

được s trên một mặt Riemann X có tỉ số co dãn bị chặn theo cấu trúc phức

:U ¾¾®V

các điểm của U Những ánh xạ như vậy được sử dụng như các bản đồ với

x

: x

u T X ¾¾® là ánh xạ - tuyến tính với cấu trúc s x

Î và ( )E x x X

Î

=

¶

độ dài của các trục Tỉ số k này là tỉ số co dãn của s tại x theo cấu trúc phức

¢ = ¢=

1

u a v

au

+

=+

Liên quan đến sự phụ thuộc vào các tham số, ta sẽ sử dụng hai kết quả

n n

¶

=

¶

j m

số m < sao cho u1 m

¥ £

¶

l l l

, , ,

W R- W R- W 

của

Định nghĩa 1.9.1: Một hàm hữu tỷ R được gọi là hàm hyperbolic trên

cho tồn tại A> 1để s (R z( ) ) R z¢( )³ A s( )z , " Îz J

0

( )

k k

R z R ¢ z ³ A z " ³n

B ổ đề 1.9.2: Giả sử ¥ Ï J Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

Nh ận xét

Chương 2

Trong chương này, chúng ta quan tâm đến các mặt phẳng động lực Mục

tương đương hoặc liên hợp giữa các ánh xạ Mục 2.3 trình bày về định lý

2.1 Định nghĩa và ví dụ về ánh xạ tựa đa thức

Định nghĩa 2.1: Một ánh xạ tựa đa thức bậc d là bộ ba (U U, , ¢ f),

(nghĩa là ánh xạ chỉnh hình sao cho mọi điểm trong U có đúng d tạo ảnh

Hình 2.1 Ba phần tử (U U, , ¢ f) tạo thành ánh xạ tựa đa thức

nhiễu giải tích nhỏ của p U c : ¾¾®V cũng là một ánh xạ tựa đa thức Sau đây, chúng ta xét một số ví dụ về các ánh xạ tựa đa thức

Ví d ụ 1 Cho P:¾¾® là đa thức bậc d, U= D R là đĩa bán kính R

( )

(U U, , ¢ P U¢) là ánh xạ tựa đa thức

Ví d ụ 2 Cho P là đa thức bậc 3 có một điểm tới hạn w1 tiến ra ¥ qua

Một cách tổng quát, ta xét P là một đa thức bậc d, U Ì là tập mở sao

1

Ví d ụ 3 Cho f z( )= pcos , z U¢= {z:- p - Rez < 2; Imz <1.7},

Ví dụ 5 Một nhiễu giải tích nhỏ của các ánh xạ tựa đa thức bậc d vẫn là

Định nghĩa 2.2: Với :f U¢¾¾®U là một ánh xạ tựa đa thức bậc d, ta

0 n( )

f n

= Ç

M ệnh đề 2.1

Mệnh đề 2.2

M ệnh đề 2.3

Các điều kiện sau là tương đương:

( )

( )

d f t ³ l t

Ta trình bày sau đây các kiểu tương đương của các ánh xạ chỉnh hình Ta nói

f và g là các ánh x ạ tương đương tôpô (kí hiệu f top g) nếu có một phép

Nếu hai ánh xạ tương đương tôpô, động lực phức của chúng là “giống

conf

Lưu ý: Đối với các ánh xạ xác định trên toàn mặt phẳng phức, ta có thể

( )z az b

g là tương đương lai (hybrid equivalence), (kí hiệu f hb g) nếu nó là tương

Ta có

f  gÞ f  gÞ f  gÞ f  g

Định lý này giải thích tại sao ta có thể tìm thấy các bản sao của các tập

( )

c

này cũng đúng cho các họ ánh xạ tựa đa thức khác có bậc lớn hơn 2, miễn là

Ví d ụ 6 Trong ví dụ 2, xét ( ) 3 2 3

a

do Q z 0( ) là đa thức duy nhất dạng này có điểm tới hạn là điểm bất động

Hình 2.4 T ập Julia đầy của ( ) 2

0

Q z = z có màu tr ắng (bên trái)

T ập Julia đầy của P- 0.6( )z có màu tr ắng (bên phải)

tương ứng với tập Julia đầy của ánh xạ tựa đa thức bậc 2

Ví dụ 7 Một lần nữa trong việc xây dựng ví dụ 2, ta xét đa thức

tương đương lai với một đa thức bậc 2 và do đó, tương đương lai với một đa

Hình 2.5 Tập Julia đầy R- 0.75 có màu trắng (bên phải)

T ập Julia đầy Q- 1( )z = z2- 1 có màu tr ắng (bên trái)

tương ứng với tập Julia đầy của ánh xạ tựa đa thức bậc 2

Ví d ụ 8 Xét hàm nguyên siêu việt f z( )= pcosz khi hạn chế lên U¢ là

0

Q z = z

Hình 2.6 Thành ph ần liên thông lớn nhất trong U¢ tương ứng với tập

Julia đầy của ( )f z = pcosz hạn chế lên U¢

đồng phôi với hình thỏ Douady (Douady rabbit)

Hình 2.7 Tập Julia đầy của Q , v c0 ới c0 - 1.76+ 0.01i

Hình 2.8 Trái: Hình thỏ Douady hay tập Julia đầy của 1( )

2 1

2.3.2 Ch ứng minh định lý

2.3.2a Tương đương ngoài (external equivalence) và ánh xạ ngoài

Cho f U1: 1¢¾¾®U1 là ánh xạ tựa đa thức hạn chế của f lên U¢1 với

S , liên

Nếu K f, K không liên thông, ta l g ấy liên hợp giải tích thực của các ánh

M ệnh đề 2.4

d

cấu j từ T1 lên W1= V1\D, với V1 là một lân cận mở của D trong  sao

j s = s j trên mỗi tập con liên thông của X mà j có mở rộng giải tích

2.3.2b K ết hợp một lớp lai với một lớp ngoài

M ệnh đề 2.5

:

h S ¾¾®S là

S trong  Nếu V¢được chọn đủ nhỏ, tồn tại

Q = B B¢

A

f

Q Trên A, định nghĩa cấu trúc phức s bằng ( )f n *s trên 1 f- n(Q f \¶A¢) và

được

Vì f chỉnh hình, hệ số co dãn của s bằng hệ số co dãn của s1, do đó bị

với K f, K liên thông Gi g ả sử j :U1¾¾®V1 là một tương đương lai và

í

f = jïî

:

hướng đã có

Rõ ràng,   i  

đòi hỏi tính bất biến ở trên trong một bài toán tổng quát hơn

thỏa K f, K liên thông Cho g j :U1¾¾®V1 là một tương đương lai và

B ổ đề 2.2

Chứng minh bổ đề

( )z dz

( ; f )

M z

d z K

1 -

B ổ đề 2.3

Chứng minh bổ đề

H U và tìm một chặn cho tâm sai (excentricity) của

ï

Ch ứng minh mệnh đề 2.6

H ệ quả 2.1

tương đương lai và tương đương ngoài thì chúng tương đương giải tích

H ệ quả 2.2

Ta nêu sau đây một tương đương tựa bảo giác bậc 2

K , bằng 0 trên \K P1 Đặt k= m0 ¥ , 1k< Với tÎ D 1 k tùy ý, tồn tại

( ) ( )

t t

1 và 2

Chương 3

trình bày về đặc trưng của họ các tập tựa Mandelbrot và các bản sao đồng

3 1 Họ giải tích các ánh xạ tựa đa thức

i) A và ¢A là đồng phôi trên L vào L ´ D ( với D= {z z: < 1} )

l

liệu Pl vỏ j l cụ thể được chọn liởn tục, hay thậm chợ lỏ giải tợch theo l hay khừng

3.1.2 ạnh x ạ nhỷng tubing

Chọn R > 1, đặt 1d ỏ { : }

R

Rđ= R v Q = z Rđê z ê R

C

: , , ( )

3.1.3 Phón ho ạch Mane-Sad-Sullivan (M.S.S) thứ nhất

Cho ( )Pl l ẽ L lỏ một họ giải tợch cõc đa thức (hoặc hỏm hữu tỉ), Mane,

mỗi lân cận V của z o, có một lân cận W của lo sao cho với mỗi l Î W , hàm

co rút được và tubing T của  đã có

S Ánh xạ fl và P z o:  được dán với z d

- Theo định lý đơn trị hóa, tồn tại duy nhất một phép đẳng cấu

như vậy đối với tôpô Hausdorff

R d

Định lý này suy ra từ mệnh đề 3.3 và hệ quả 3.2 bên dưới

Định lý 3

, , ,

( )t n

Vì l ( )t Î M," Ît V nên ta có dãy ( )u p các hàm giải tích trên V xác

định bởi:

khi l ¾¾® lo theo chuẩn trong 1

m =

=ïî

1

n l l

 Điều này cũng dẫn đến diện tích của Al,n \Kl hội tụ đều về 0 trên mỗi tập

n

( ) ( ) ( )

an l < m l < bn l

Vì m l ¾¾® n( ) 0 từng điểm, n l ¾¾® n( ) 0 từng điểm nên n l ¾¾® n( ) 0 đều

ểu và bỏ qua chứng minh kết quả sau về quỹ tích của tương

M ệnh đề 3.4

H ệ quả 3.2

Ch ứng minh

B ổ đề 3.1 (đúng cho bậc bất kì)

Chọn l Î Lo , cho ( )ln là một dãy trong L hội tụ đến l o Khi đó tồn

bảo giác j của flo với P

Lưu ý

Nếu l Î Âo thì bổ đề trên được suy ra từ mệnh đề 2.3, với P= Plo

Ch ứng minh bổ đề

M ệnh đề 3.5

Ch ứng minh

Trước hết ta chứng minh rằng c o= c l( )o Î ¶M Cho ( )m là mn ột dãy

2.7

cách sử dụng một tubing nào đó) và tập hợp 1( )

M= c- M

M

Lưu ý

( )

y

lượt là lân cận của x và y, đồng phôi với đĩa mở đơn vị D và thỏa mãn

( )V U

j Ì và { } 1( )

y V  - x

M ệnh đề 3.6