0 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng SAH.. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với đáy, đáy ABCD là
Trang 1GV ATr Pro 01677 10 19 15
Bài tập về nhà: Thể tích khối chóp
I TÍNH TRỰC TIẾP
Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy, các cạnh SB = SC = 1 và các góc
ASBBSCCSA60 Tính thể tích của hình chóp S.ABC ĐS 1
8
V
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, ABa 2 Gọi I là trung điểm của cạnh BC Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn IA 2IH
Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 60 0 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH)
ĐS
3 15 6
a
V ,
2
a
d
Bài 3 Trong mp(P) cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng của A qua I Trên
đường thẳng vuông góc với mp(P) tại điểm D, lấy điểm S sao cho 6
2
a
SD Gọi H là hình chiếu của I trên SA, tính theo a thể tích khối chóp H.ABC ĐS
3 2 24
a
V
Bài 4 Cho khối chóp S.ABC có BC = 2a, 0 0
90 , 30
BAC ACB Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác
SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a ĐS
3 3 12
a
V
Bài 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, SA(ABC) và SA = 3a Gọi M, N lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a ĐS
3
400
a
V
Bài 6 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC Cho biết
mp(AMN) vuông góc với mp(SBC) Tính thể tích khối chóp S.ABC ĐS
3 5 24
a
V
Bài 7. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại Ccạnh huyền bằng 3a G là trọng tâm tam giác
2
a
SB Tính thể tích hình chóp S ABC và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC
ĐS 3 ,3 3 65
13
a
V a d
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = 4, BC = 2, SA 4 3, 0
30
SABSAC Tính thể tích khối chóp S.ABC
ĐS V 4
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.0
2
V a
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3a, AC = 4a Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.0
ĐS V 2a3
Trang 2GV ATr Pro 01677 10 19 15
Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, AB = a, BCa 3, SA vuông góc với đáy Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC Góc giữa hai mp(SAC) và (SBC) là 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC 0
ĐS
3 6 12
a
V
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có mp(SAC) vuông góc với mp(ABC), SA = AB = a, AC = 2a và 0
90
ASC ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin góc giữa hai mp(SAB) và (SBC) ĐS
3
3 ,
a
V cos
Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A Mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy Hai mặt
bên còn lại tạo với mặt đáy góc 45 Gọi M là trung điểm của SA Cho biết chiều cao của hình chóp là a Tính thể tích 0 khối chóp S.ABC và số đo góc giữa hai đường thẳng AB cà CM
ĐS
3
,
a
V cos
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA =a, ADa 2 và SA(ABCD) Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh (SAC)(SMB) Tính thể tích khối
3 2 12
a
V
Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình
chữ nhật có AB = a, BCa 3, điểm I thuộc đoạn thẳng SC sao cho SI = 2CI và thỏa mãn AI SC Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS
3 15 3
a
V
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BCa 3 Tam giác SAC đều và nằm trong
mp vuông góc với đáy Gọi (P) là mp đi qua trọng tâm G của tam giác SAC và song song với cạnh SA, mặt phẳng (P) cắt cạnh SC tại M và cắt AC tại E Tính theo a thể tích khối chóp M.BCDE
ĐS
3 4 9
a
V
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, ADa 2, góc giữa hai mp(SAC) và (ABCD) bằng 60 Gọi H là trung điểm của AB Biết mặt bên SAB là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mp vuông góc với 0 đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS
3
3
a
V
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, mặt bên SAB vuông góc với đáy, tam
giác SAB cân đỉnh S và có trọng tâm G Biết khoảng cách từ G đến mp(SCD) là 2 3
3
a
Tính thể tích khối chóp
3
3
a
V
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân tại S
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SA Chứng minh rằng (SIJ)(ABCD) Tính thể tích khối chóp
3 3 32
a
V
Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a.Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vuông góc với AI
3
Trang 3GV ATr Pro 01677 10 19 15
Bài 21 Cho hình vuông ABCD tâm I Các nửa đường thẳng Ax, Cy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng
phía đối với mặt phẳng đó Trên Ax, Cy lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = m, CN = n, m,n 0 góc tạo bởi hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng 300.Tính thể tích của khối chóp B.AMNC Tìm điều kiện của m theo n để góc MIN vuông ĐS. V m m n2( )
Bài 22 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách
từ G đến mp(SCD) bằng 3
6
a
Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD) và thể tích khối chóp S.ABCD, trong đó O là giao
điểm của hai đường chéo AC và BD ĐS 3
4
a
d ,
3 3 6
a
V
Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc
với đáy Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
ĐS
3
18
a
V
Bài 24 Cho hình thang ABCD nằm trong mp(P), có 0
90
BADCDA , AB = AD = a, CD = 2a Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại H, lấy điểm S sao cho góc tạo bởi SC và (P) là
0
60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD ĐS
3
2 15 5
a
V
Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với BC là đáy nhỏ, H là trung điểm của
AB Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mp vuông góc với đáy, SCa 5 và khoảng cách từ
D tới mp(SHC) bằng 2a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
ĐS
3 3(1 10) 3
a
V
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD), AB = 2CD = 4a, BCa 10 Gọi O là giao điểm của AC và BD Biết SO vuông góc với mp(ABCD) và mặt bên SAB là tam giác đều Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC ĐS 3 2
6 2,
5
V a cos
Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a, SAa 3, hai mặt bên (SDC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Gọi G là trọng tâm của tam giác DBC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mp(SBC) theo a ĐS
3 2 ,
V d
Bài 28 Cho hình hình chóp S.ABCD có cạnh SA = 3
4, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Chứng minh rằng tam giác
SAC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABCD ĐS 39
16
V
Trang 4GV ATr Pro 01677 10 19 15
II SỬ DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài 1(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A với ABACa Biết SA vuông góc với mặt đáy và SAa 3 Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = b Tính thể tích của khối chóp S.AMN theo a và b Tìm mối liên hệ giữa a và b để góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) bằng 60 0
ĐS
2 3 24
ab
V , đk: ba 2
Bài 2(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, cạnh SB tạo với mặt đáy góc 0
60 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3
3
a
AM , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM ĐS
3
27
a
V
Bài 3(Tỉ số). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a
ĐS
3
27
a
V
Bài 4(Tỉ số). Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là hình thang, AD và BC cùng vuông góc với AB,
ABADa, BC2a; mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SC, CD Tính thể tích khối chóp ADMN theo a ĐS
3 3 48
a
V
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
I LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có AB 2 , a BC a 2, 0
30
Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ' A BC ) ĐS 6
3
a
d
Bài 2* Cho hình hộp đứng ABCD A ’ B ’ C ’ D’ có AB = AD = a, AA ’ = a 3
2 , góc BAD bằng 60
0
.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh AC’vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện
AA’BDMN theo a ĐS
3 7 32
a
V
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A Góc giữa AA’ và BC’ bằng 0
30 và khoảng cách giữa chúng là a Gọi M là trung điểm của AA’ Tính thể tích khối tứ diện MA’BC’
ĐS
3 3 3
a
V
Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có các mặt bên là các hình vuông cạnh a Gọi D;E, F lần lượt là các trung điểm của các cạnh BC, C1A1,C1B1. Hãy tính thể tích tứ diện ABC1A1 và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, A1F theo
a ĐS
3
,
V d
Trang 5GV ATr Pro 01677 10 19 15
Bài 5* * Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy là hình bình hành, trong đó , ' 3
2
a
ABa AA Gọi M, N là trung điểm của A’D’ và A’B’ Biết AC’ vuông góc với mp(BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN
ĐS
3 3 16
a
V
Bài 6 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có các cạnh AA’ = AB = 3a, BC = 4a, CA = 5a và M là trung điểm của cạnh bên
BB’ Tính theo a thể tích khối lăng trụ và diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mp(P) qua A’ và vuông góc với AM
ĐS
2
18 ,
2
a
V a S
Bài 7 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng
(ABB’A’) góc 60 và AB = AA’ = a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC và Q là một điểm trên cạnh 0
AB sao cho BQ =
4
a
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng (MAC)(NPQ) ĐS
3
15
4
a
V Chứng minh AM (NPQ)
Bài 8. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’, biết A’A = AB = a, AC = 2a, 0
60
BAC Gọi M là giao điểm của A’C
và AC’ Tính thể tích của tứ diện MBB’C’ ĐS
3 3 12
a
V
Bài 9. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, 0
' 2 5, 120
A A a BAC Gọi M là trung điểm của cạnh CC’ Tính thể tích khối chóp M.ABA’ và khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BM)
ĐS
3
,
V d
Bài 10 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và có 0
45
BAD Các đường chéoAC và 1
1
DB lần lượt tạo với đáy các góc 450
và 600 Cho biết chiều cao của khối lăng trụ bằng 2 Hãy tính thể tích khối lăng trụ
3
V
Bài 11. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, 0
120
ACB và đường thẳng A’C tạo với mp(ABB’A’) một góc 0
30 Gọi M là trung điểm của BB’ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, CC’ theo a ĐS
3
,
V d
Bài 12. Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông có CACBa, góc giữa đường thẳng BA'và mặt phẳng(ACC A' ') bằng 300 Gọi M là trung điểm của cạnh A B' ' Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
' ' '
ABC A B C và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng A BC'
ĐS
3 2 ,
V d
Bài 13 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) là
2
a
Tính
theo a thể tích khối lăng trụ đã cho ĐS
3
16
a
V
Trang 6GV ATr Pro 01677 10 19 15
II LĂNG TRỤ XIÊN
Bài 14. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy AB = a Biết độ dài đường vuông góc chung của AA’ và BC là 3
4
a
Tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C theo a
ĐS
3 3 18
a
V
Bài 15. Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm tam giác ABC Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa cạnh AA’ và cạnh BC theo a, biết góc giữa mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 0 ĐS
3
,
V d
Bài 16 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,BCa 2, hình chiếu của A’ trên mp(ABC) là trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt đáy góc Tính thể tích của khối lăng trụ đó
ĐS
3 6 6
a
V
Bài 17 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) trùng
với tâm O của tam giác ABC Mp(P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 2
3
8
a
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho ĐS
3 3 12
a
V
Bài 18. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 Hình 0 chiếu H của điểm A trên mp(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ Tính thể tích khối lăng trụ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ theo a ĐS
3
,
V d
Bài 19. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = AC = 4a, 0
120
BAC và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó Góc giữa cạnh bên với đáy là 30 Tính theo a thể tích của 0
lăng trụ và khoảng cách giữa AA’ với BC ĐS 3
16 ,
V a d a
Bài 20 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A’ cách đều các đỉnh A, B, C
Khoảng cách giữa cạnh bên AA’ và mặt bên (BCC’B’) là 3
4
a
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
ĐS
3 3 4
a
V
Bài 21 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, AB = a Góc giữa mặt phẳng (A’BC) với
mp(C’B’BC) là 90 Tính theo a thể tích khối chóp A’.BCC’B’ 0
ĐS
3 2 12
a
V
Bài 22. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều các đỉnh A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy ABC góc 600 Gọi I là trung điểm của BC TÍnh thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và BA’ theo a
ĐS
3 3 ,
V d