Chương III. §3. Phương trình đường elip

Chương III. §3. Phương trình đường elip tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...

GV:HOÀNG THỊ THU TRANG.

Một số hình ảnh về đường elip trong

khoa học và đời sống

Bài 3

(Tiết PPCT: 38)

Định nghĩa đường Elip Phương trình chính tắc của Elip

Hình dạng của Elip

 Trên mặt bảng đóng hai cây đinh tại

2c

 Lấy một vòng dây lớn, không đàn hồi có độ dài lớn hơn Quàng vòng dây qua hai chiếc

đinh.

Cách vẽ Elip

F ,F

2F F

Cách vẽ Elip : + Đặt đầu bút chì vào trong vòng dây và kéo

căng ra tại một điểm M nào đó để vòng dây thành một tam giác

+ Di chuyển đầu bút chì sao cho sợi dây luôn căng và áp sát mặt

bảng.Đầu bút chì vạch nên 1 đường gọi là đường elip.

Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

1 Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ

dài không đổi 2a lớn hơn F1F2 Elip là tập

hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho:

F 1 M + F 2 M = 2a

Trong đó

• F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip

• Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip

0 < c < a

x

0

Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

M(x;y)

B 2

B 1

2 Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 ,F2 Điểm M

thuộc elip khi và chỉ khi F 1 M + F 2 M = 2a Chọn hệ trục tọa độ Oxy có trục Ox trùng với F1F2, trục Oy là trung trực của F1F2

như hình vẽ

(E) :

với b b 2 = a 2 –c 2

2 2

2 + 2 =1

x y

a b

1 Định nghĩa đường elip

c c

Khi đó: đó: F1(-c; 0), F (-c; 0), F2(c; 0)

M(x;y) ∈ (E)  x22 + y22 =1

a b

a > b>0

a > c>0

Tiết 37: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

(E) :

Ví dụ1:

Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình chính tắc của (E) ?

+ = −

A

x y

1

9 4

⇔ x22 + y22 =1

3 2

• F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0)

a > b>0

a > c>0

2 Phương trình chính tắc của elip

1 Định nghĩa đường elip

2 2

2 + 2 =1

x y

a b

với b b 2 = a 2 – c 2

− =

B

x y

1

9 4

− = −

D

x y

1

9 4

+ =

C

x y

1

9 4

Đáp án : C

Tiết 37: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

(E) :

Ví dụ 2:

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là

Trong các điểm sau điểm nào thuộc (E) ?

A M(1;-1)

• F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0)

a > b>0

a > c>0

2 Phương trình chính tắc của elip

1 Định nghĩa đường elip

2 2

2 + 2 =1

x y

a b

với b b 2 = a 2 – c 2

B N(3;5)

D H(0;- 3)

C P(5;3)

2 2

1

Đáp án D

Bài toán : Viết phương trình chính tắc của (E)

Bước 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giải sử phương trình chính tắc của elip có dạng

Bước 2: Dựa vào dữ kiện đề bài và các công thức liên quan để tìm a,b hay a2 ,b2 .Thay vào phương trình, kết luận.

2 2

2 2

1 (a b 0)

a + b = > >

VD2 : Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E)

có tiêu cự bằng 4 và đi qua A(0; 3)

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng:

1

{

(E) : Có tiêu cự F1F2 = 4

1









2c =4

⇒

2

9

1 b









Bài giải:

c=2



F1F2 =2c

x

0

Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

B 2

B 1

2 Phương trình chính tắc của elip

2 2

2 + 2 =1

x y

a b

1 Định nghĩa đường elip

M2

4

- x0

-y0

M1

x0

y0

3 Hình dạng của elip

• A 1 (-a; 0), A 2 (a; 0), B 1 (0;-b), B 2 (0; b)

là các đỉnh của Elip.

• A 1 A 2 = 2a = 2a gọi là trục lớn của (E)

• B 1 B 2 = 2b = 2b gọi là trục nhỏ của (E).

• (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy,

tâm đối xứng là O.

•M 1 (x ( x 0 ; y 0 ) (E) M 2 (-x ( -x 0 ; y 0 ) (E),

M 3 (-x 0 ; -y 0 ) (E), M 4 (x ( x 0 ; -y 0 ) (E).

Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

2 Phương trình chính tắc của elip

2 2

2 + 2 =1

x y

a b

• A 1 A 2 = 2a = 2a gọi là trục lớn của (E)

• B 1 B 2 = 2b = 2b gọi là trục nhỏ của (E).

1 Định nghĩa đường elip

• F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0);Tiêu cự F 1 F 2 =2c

• A 1 (-a; 0), A 2 (a; 0), B 1 (0;-b), B 2 (0; b)

là các đỉnh của Elip.

• M 1 (x 0 ; y 0 ) (E) M 2 (-x 0 ; y 0 ) (E),

M 3 (-x 0 ; -y 0 ) (E), M 4 (x 0 ; -y 0 ) (E).

a) Xác định toạ độ đỉnh và toạ độ tiêu điểm của (E)

b) Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn,

độ dài trục nhỏ của (E)

Giải:

a) Ta có:

Toạ độ đỉnh: A 1 (-5; 0), A 2 (5; 0),

B 1 (0;-3), B 2 (0; 3).

Toạ độ tiêu điểm: F 1 (-4; 0), F 2 (4; 0)

b) Tiêu cự: F1F2 = 8

Độ dài trục lớn: A1A2 = 10

Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 6

1

25x + y9 =

2

2

 ⇒ 

 =  =

= − ⇒ = − = ⇒ =

2

2

 ⇒ 

 =  =

3 Hình dạng của elip

Tiết 38: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

2 Phương trình chính tắc của elip

2 2

2 + 2 =1

x y

a b

• A 1 A 2 = 2a = 2a gọi là trục lớn của (E)

• B 1 B 2 = 2b = 2b gọi là trục nhỏ của (E).

1 Định nghĩa đường elip

• F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0);Tiêu cự F 1 F 2 =2c

• A 1 (-a; 0), A 2 (a; 0), B 1 (0;-b), B 2 (0; b)

là các đỉnh của Elip.

• M 1 (x 0 ; y 0 ) (E) M 2 (-x 0 ; y 0 ) (E),

M 3 (-x 0 ; -y 0 ) (E), M 4 (x 0 ; -y 0 ) (E).

Ví dụ5:

3 Hình dạng của elip

Lập phương trình chính tắc của elip biết :

Nhóm 1 : a Độ dài trục lớn

và trục nhỏ của (E) lần lượt là

8 và 6 ?

Nhóm 2 : b Độ dài trục lớn

bằng 10 và tiêu điểm F1(-3; 0)

Nhóm 1 : Độ dài trục lớn và trục nhỏ của (E) lần lượt là 8 và 6 ?

Nhóm 2 : b Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu điểm F1(-3; 0)

• Nhóm 1: Phương trình chính

tắc của elip (E) có dạng:

Theo bài ra

Vậy phương trình (E) là:

chính tắc của elip (E) có dạng

• Theo bài ra

• Vậy phương trình (E) là:

1



⇒ 

1

Tổng kết

y

Phương trình chính tắc của elip :

x

M

°

Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) , F2 ( c ; 0)

Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) , F2 ( c ; 0)

Tọa độ các đỉnh A1(– a ; 0) , A2 ( a ; 0) , B1 (0 ; – b) , B2(0 ; b) Trục lớn A1A2 = 2a Trục nhỏ B1B2 = 2b Các trục đối xứng : Ox , Oy

Các trục đối xứng : Ox , Oy

Tâm đối xứng : gốc tọa độ O Tâm đối xứng : gốc tọa độ O

Trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm cố định, F1F2 = 2c là tiêu cự