Chương III - Bài 3: Phương trình đường elip

phươngưtrinhưđườngưelípQuỹ đạo elíp trong hệ mặt trời... phươngưtrinhưđườngưelípCho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2= 2c >0.. Trong đó a là số cho tr ớc lớn hơn c.. * Khoảng cách 2c gọi

Đ3. phươngưtrinhưđườngưelíp

Quỹ đạo elíp trong hệ mặt trời

 C¸ch vÏ elÝp

F1 F2

M

Đ3. phươngưtrinhưđườngưelíp

Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2= 2c >0

Elíp là tập hợp các điểm M sao cho :

F1M + F2M = 2a

Trong đó a là số cho tr ớc lớn hơn c

* Các điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm của

elíp

* Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elíp

* Các đoạn thẳng MF1, MF2 đ ợc gọi là bán

kính qua tiêu của điểm M

1/ Định nghĩa đ ờng elíp :

F1 F2

M

2 Phươngưtrìnhưchínhưtắcưcủaưelíp:

F1 F2

M(x;y) y

x 0

Cho Elíp (E) có các tiêu điểm F1, F2

Điểm M(x;y) thuộc (E)

khi và chỉ khi

* Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c;0), F2(c;0)

* Xây dựng ph ơng trình của (E)

1

2

2 2

2





b

y a

x

Trong đó : b2  a2  c2

MF1+MF2=2a

Ph ơng trình (1) gọi là ph ơng trình chính tắc của elíp

Khi và chỉ khi :

Và a> b > 0

* Chọn hệ trục tọa độ Oxy

MF1=

a

cx

a 

a

cx

a 

; MF2= (1)

Ví dụ 1

Cho elíp (E) :

a/ Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và tính tiêu cự của (E)

b/ Trên (E) tìm tọa độ các điểm M sao

cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm

1 16

25

2

2



x

Do đó tọa độ các tiêu điểm của (E) là F1 ; F2

5

4

a

cx

a    ; MF2=

5

4

a

cx

a   

5

4 5

(

2 5

4

12

25



x

Thay x vào pt của (E) ta suy ra :

y=

3

119 ;

y=-3

119

.Vậy

a/ Từ PT chính tắc của (E) suy ra : a2= ;b 25 2= 16

suy ra c2= 25-16=9 ; suy ra c=3

b/ Gọi M(x;y) thuộc (E), ta có :

MF1=

) 3

119

; 12

25 (

3

119

; 12

25 (

(-3;0) (3;0) 6

Tiêu cự của (E) là : 2c=

Ví dụ 2

Cho elip (E) i qua 2 i m M( đi qua 2 điểm M( đi qua 2 điểm M( ểm M( 0;1 ) v à

N( 1; ) Vi t ph ơng trình chính tắc của elíp ết phương trình chính tắc của elíp

(E).

2 3

Giải

Ph ơng trình chính tắc của

elíp (E) có dạng: 2 1

2 2

2





b

y a

x

Thay tọa độ các điểm M, N vào ph ơng trình trên Từ

đó suy ra a2=4 và b2=1.

Vậy (E) có ph ơng trình chính tắc là :

1 1

4

2

2



 y x

* (E) cắt trục Ox tại A1(-a;0) ; A2(a;0) và cắt trục Oy tại

B1(0;-b); B2(0;b)

Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của (E).

Đoạn thẳng A1A2 =2a gọi là trục lớn , đoạn thẳng B1B2

=2b gọi là trục nhỏ của (E).

1

2

2 2

2





b

y a

x

Xét elíp (E) có ph ơng trình :

* (E) có các trục đối xứng là

Ox, Oy và có tâm đối xứng là

gốc O.

y

x 0

A-a a 1 A2

b B2

-b B1

a/ Tính đối xứng

 b/ Tâm sai của elíp :

*/ Định nghĩa : Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elíp gọi là tâm sai của elíp.

Kí hiệu là : e = c/a

*/ Chú ý : 0 < e < 1

*/ Ví dụ 1 : (Trang 101-SGK)

a/ Hãy xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm của (E)

b/ Tính độ dài các trục, tiêu cự va tam sai của (E).

1 16

25

2

2



x

Cho elíp (E) :

16 25

2

2



x

Ta suy ra :

a2 =

b2 =

25.

16.

Suy ra a=

Suy ra b=

5 4.

Từ đó ta có : c2 =

a2- b2= 25-16 = 9 Suy ra c = 3 a/ Tọa độ các đỉnh của elíp là :

A1(-5;0) , A2(5;0) , B1(0;-4) , B2(0;4) Tọa độ các tiêu điểm của elíp là :

F1(-3;0), F2(3;0)

c/ Liªn hÖ gi÷a ® êng trßn vµ elÝp

Cho elÝp

2 2

2





b

y a

x

(Elip vaf pheps co ddwowngf tronf)