iii Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ... Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại kiểu I có nghiệm Phương pháp giải chung: i Bước 1: Đặt điều kiện nếu có
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI
(KIỂU) I
I Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0 g(x, y) = 0
ìïï íï
f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)
ìïï íï ïî
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y
Chú ý:
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv
iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
3 3
x y xy 30
x y 35
ïï
íï + =
GIẢI
Đặt S = x + y, P = xy, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
2
2
30 P
90
S
ìïï =
î ïï èïî çç ÷÷ø
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình 3 3
xy(x y) 2
-ïï
íï - =
GIẢI
Đặt t = - y, S = x + t, P = xt , điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
xt(x t) 2 SP 2
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
2 2
1 1
x y
1 1
x y
ìïï + + + = ïïï
íï
ïïïî
GIẢI
Điều kiện x ¹ 0, y ¹ 0.
Hệ phương trình tương đương với: 2 2
ïç + ÷+ ç + ÷=
ïç ÷÷ ç ÷÷
ïí
ïç + ÷÷+ ç + ÷÷=
ïçè ÷ø çè ÷ø ïî
æ ö æ÷ ö÷ æ öæ÷ ö÷
=çç + ÷÷÷+ çç + ÷÷÷ =çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³
Trang 2S 2P 8
ïç + ÷+ ç + ÷= ï
î ïï èïîçç + ÷÷÷øèçç + ÷÷÷ø=
1
x
y
ìïï + = ì
ï + = ïî ïïïî
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
2 2
x y 2xy 8 2 (1)
x y 4 (2)
ïïí
GIẢI
Điều kiện x, y ³ 0 Đặt t = xy ³ 0, ta có:
2
xy = t và (2) Þ x + y =16- 2t. Thế vào (1), ta được:
2
t - 32t + 128 = 8- t Û t = 4 Suy ra:
II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P (*)
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm
thực:
x x y y 1 3m
ìï + = ïïí
GIẢI
Điều kiện x, y ³ 0 ta có:
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
Đặt S = x + y ³ 0, P = xy ³ 0, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
2
P m
S 3SP 1 3m
Từ điều kiện S³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có 0 m 1
4
£ £
Ví dụ 2 Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2
x y xy m
x y xy 3m 9
ïï
-ïî có nghiệm thực.
GIẢI
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
Trang 3Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: S P m
SP 3m 9
ì + = ïï
íï =
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2 - mt + 3m- 9 = 0
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình x 4 y 1 4
x y 3m
ìï - + - = ïí
ï + =
GIẢI
Đặt u = x- 4 ³ 0, v = y- 1³ 0 hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
2
ì + = ï
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m
2
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm
0 13 2
0
P 0
2
ì
-ï D ³ ï
ï
Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m
ïï
GIẢI
2 2
(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ì
Đặt u =(x+ 2)2 ³ 0, v = (y+ 2)2 ³ 0 Hệ phương trình trở thành:
uv 4(u v) m 16 P m 24
Điều kiện
2
S 4P
P 0
ìï ³
ïïï ³ Û - £ £
íï
ï ³
ïïî
Trang 4
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1 2 2
x y xy 5
x y xy 7
ïï
íï + + =
ïî Đáp số:
ï Úï
2
x xy y 3
2x xy 2y 3
ïï
íï + + =
ì = - ï = ï =
ï = - ï = - ï =
3 3 3
x y 2xy 2
ïï
íï + =
ïî Đáp số:
ï Úï
4
3 3
xy(x y) 2
ïï
íï - =
ïî Đáp số:
ì = - ì =
ï = - ï =
5 x2 y2 2xy 5
x y xy 7
ïï
íï + + =
ì = ì =
6
2 2
2 2
1 (x y)(1 ) 5
xy 1 (x y )(1 ) 49
x y
ïïï
íï
ïïïî
Đáp số:
7 3 5 7 3 5
7 x y y x 30
x x y y 35
ïïí
ïïî Đáp số:
ï Úï
8
1
x xy y xy 78
ïï
íï
ïïî
(chú ý điều kiện x, y > 0) Đáp số: x 4 x 9
ï Úï
9 ( 3 2 3 2)
2(x y) 3 x y xy
ïïí
y 64 y 8
10 Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình
xy yz zx 4
ïï
íï + + =
ïî Chứng minh
x, y, z
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình
xy z(x y) 4 xy z(x y) 4
Trang 52 2
(x y) 2[4 z(x y)] 8 z
xy z(x y) 4
-ïï
Û íï
ïî
(x y) 2z(x y) (z 16) 0
xy z(x y) 4
ïï
Û íï
ïî
xy (z 2) xy (z 2)
ì + = - ì + = -
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
2
-ê
Đổi vai trò x, y, z ta được 8 x, y, z 8
11
x y 1
ìï æ ö æ ö
ïç ÷ ç ÷
ïç ÷+ ç ÷ =
ïç ÷÷ ç ÷÷
í è ø è ø
ïï + =
ïïî
Đáp số:
1 x 2 1 y 2
ìïï = ïï íï
ï = ïïî
12
sin (x y)
2 2
2(x y ) 1
+
p
ïï
ïî
HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1:
sin ( x y)
2 2
sin (x y) 0 x y (1)
2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2) 2(x y ) 1
+ p
î
Z
2
2 2
2
1
y
ì
x y 0
(1)
é + =
ê
Þ êê + = ± thế vào (2) để giải
Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành:
sin S
2 2
S
4P 2S 1 2(S 2P) 1
p
î
Z
Từ điều kiện S2 ³ 4P ta suy ra kết quả tương tự
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
ï = ï = - ï = - ï =
Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu
1 Tìm m để hệ phương trình
2x xy 2y m
ïï
íï + + =
ïî có nghiệm thực duy nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
Trang 62 2
m 21
+ m = – 3:
2(x y) xy 3 2(x y) xy 3
+ m = 21:
x xy y 27 (x y) xy 27
2x xy 2y 21 2(x y) xy 21
Vậy m = 21
2 Tìm m để hệ phương trình: x2 xy 2y m 1
x y xy m
ïï
ïî có nghiệm thực x > 0, y > 0.
HƯỚNG DẪN GIẢI
x xy y m 1 (x y) xy m 1
xy(x y) m
x y xy m
î
Hệ có nghiệm thực dương m 0 2 0 m 1 m 2
ì >
Û íï ³ïî Ú ³ Û £ Ú ³ . Vậy 0 m 1 m 2
4
< £Ú³
3 Tìm m để hệ phương trình x y m
ìï + = ïïí
ïïî có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI
3
ìï
Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình 2 m2 m
3
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm
2
m 0
ì
Vậy m = 0 1Ú££ m 4
4 Tìm m để hệ phương trình
2 2
2
x y 2(1 m) (x y) 4
ïï
íï + =
ïî có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
HƯỚNG DẪN GIẢI
x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)
xy 1 m xy 1 m
ï + = ï + =
Trang 7
Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi (±2)2 = 4(1- m) Û m = 0.
5 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình x2 y 2 2m 2 1
ì + = -ïï
-ïî Tìm m để P = xy nhỏ nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt S = x + y, P = xy, điều kiện S2 ³ 4P
S 2m 1
S 2m 1
3
2
ì = -ï
ï
Ta có min f(m) f 4 2 11 6 2, m 4 2 4; 2
÷
Vậy min P 11 6 2 m 4 2