Đoàn Vương Nguyên CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI KIỂU I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I.. iii Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn p
Trang 1ThS Đoàn Vương Nguyên
CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0 g(x, y) = 0
ìïï íï
ïî , trong đó
f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)
ìïï íï ïî
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y
Chú ý:
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP
ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv
iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
2 2
3 3
ïí
GIẢI
Đặt S= x+y, P= xy, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
2
2
30 P
90
S
ìïï =
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình xy(x3 3y) 2
-ïï
íï - =
GIẢI
Đặt t= -y, S= x+t, P = xt, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
2 2
2 2
ìïï + + + = ïïï
íï
ïïïî
GIẢI
Trang 2ThS Đoàn Vương Nguyên
Điều kiện x ¹ 0, y ¹ 0
ïí
ïî
=çç + ÷÷÷+çç + ÷÷÷ = çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³
2
S 2P 8
ïç + ÷+ç + ÷= ï
ïî
1
x
y
ïïïî
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình
2 2
x y 2xy 8 2 (1)
x y 4 (2)
ïïí
GIẢI
Điều kiện x, y³ Đặt 0 t = xy ³ 0, ta có:
2
xy = t và (2)Þ x+ =y 16-2t Thế vào (1), ta được:
2
t -32t+128 = - Û = 8 t t 4 Suy ra:
II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P (*)
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x x y y 1 3m
ìï + = ïïí
Trang 3ThS Đoàn Vương Nguyên
Điều kiện x, y³ ta có: 0
3 3
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
Đặt S = x + y ³ 0, P = xy ³0, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:
2
î
4
Ví dụ 2 Tìm điều kiện m để hệ phương trình x2 y xy2 m
ïï
GIẢI
2 2
î
Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành: S P m
ì + = ïï
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2 -mt+3m- = 9 0
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2 2
-ê
Ví dụ 3 Tìm điều kiện m để hệ phương trình x 4 y 1 4
ïí
ï + =
GIẢI
Đặt u = x- ³4 0, v= y- ³1 0 hệ trở thành:
2 2
2
ì + = ï
2
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm
/ 0 3m 13
0 13 2
0
P 0
2
ì
-ïD ³ ï
ï
Trang 4
ThS Đoàn Vương Nguyên
Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
ïí
GIẢI
2 2
2 2
ì
Đặt u =(x+2)2 ³ 0, v =(y+2)2 ³0 Hệ phương trình trở thành:
(S = u + v, P = uv)
Điều kiện
2
ìï ³
ïï
íï
ï ³
ïïî
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
ïï
íï + + =
2
2 2
ïí
ì = - ï = ï =
ï = - ï = - ï =
ïï
íï + =
4
3 3
ïí
ïï
íï + + =
6
2 2
2 2
1
xy 1
x y
ïïï
íï
ïïïî
Đáp số:
Trang 5
ThS Đoàn Vương Nguyên
x x y y 35
ïïí
8
1
ïï
íï
ïïî
(chú ý điều kiện x, y > 0) Đáp số: x 4 x 9
3 3
2(x y) 3 x y xy
ïï
íï + =
10 Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
ïí
x, y, z
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ phương trình
-ï
ïî
ï
ïî
Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:
2 2 2
2 2
-ê
x, y, z
11
x y
ïç ÷÷ ç ÷÷
ïï + =
ïïî
Đáp số:
1 x 2 1 y 2
ìïï = ïï íï
ï = ïïî
12
sin (x y)
2 2
p +
ïí
ïî
HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1:
sin (x y)
2 2 2 2
2 2
p +
î
Z
2
2 2
2
1
y
ì
(1)
é + =
ê
Þ ê + = ±êë thế vào (2) để giải
Trang 6ThS Đoàn Vương Nguyên
Cách 2:
Đặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành:
sin S
2 2
S
p
î
Z
Từ điều kiện S2 ³ 4P ta suy ra kết quả tương tự
Hệ có 4 nghiệm phân biệt
ï = ï = - ï = ï =
ï = ï = - ï = - ï =
Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu
1 Tìm m để hệ phương trình
2 2
ïí
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:
+ m = – 3:
(loại)
+ m = 21:
(nhận)
Vậy m = 21
ïï
HƯỚNG DẪN GIẢI
2 2
î
ì >
ïï
4
Trang 7ThS Đoàn Vương Nguyên
x y xy m
ìï + = ïïí
HƯỚNG DẪN GIẢI
3
ìï
Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình
2
2 m m
3
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm
2
ì
Vậy m = Ú £0 1 m £ 4
4 Tìm m để hệ phương trình
2 2 2
ïí
HƯỚNG DẪN GIẢI
Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( )2
5 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình x2 y 2 2m 2 1
-ïï
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt S= x+y, P= xy, điều kiện S2 ³ 4P
3
2
-ï
ï
÷÷