HỆ PT ĐỐI XỨNG

Dạng 1: ìïïíï ïî fx, y = 0 fy, x = 0 đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia Phương pháp giải chung Cách giải 1 Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về p

CHUYÊN ĐỀ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Phần I

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

I Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:

f(x, y) = 0 g(x, y) = 0

ìïï íï

f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)

ìïï íï ïî

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P

iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y

Chú ý:

i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP

ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv

iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

x y xy 30

x y 35

ìï + = ïí

GIẢI

Đặt S= +x y, P =xy, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:

2

2

30 P

90

S

ìïï =

ïî

ì - = -ïï

íï - =

GIẢI

Đặt t= - y, S= +x t, P =xt, điều kiện S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:

xt(x t) 2 SP 2

ï = ï = ï =

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

1 1

x y

1 1

x y

ìïï + + + = ïïï

íï

ïïïî

Điều kiện x¹ 0,y¹ 0.

Hệ phương trình tương đương với: 2 2

ïç + ÷+ç + ÷=

ïç ÷÷ ç ÷÷

ïí

ïç + ÷÷+ç + ÷÷=

ïçè ÷ø çè ÷ø ïî

Đặt S x 1 y 1 ,P x 1 y 1 ,S2 4P

æ ö æ÷ ö÷ æ öæ÷ ö÷

=çç + ÷÷÷+çç + ÷÷÷ =çç + ÷÷÷çç + ÷÷÷ ³

2

ïç + ÷+ç + ÷= ï

ï è øè ø ïî

1

x

y

ìïï + = ì

ï + = ïî ïïïî

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

x y 2xy 8 2 (1)

x y 4 (2)

ïïí

GIẢI

Điều kiện x,y³ 0 Đặt t= xy ³ 0, ta có:

2

xy = và (2)t Þ x+ =y 16 2t- Thế vào (1), ta được:

2

t - 32t+128= -8 t Û t =4 Suy ra:

II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm

Phương pháp giải chung:

i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P (*)

iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m

Chú ý:

Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v

Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

x x y y 1 3m

ìï + = ïïí

GIẢI

Điều kiện x,y³ 0 ta có:

x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m

Đặt S= x+ y ³ 0,P = xy ³ 0, S2 ³ 4P Hệ phương trình trở thành:

2

S 3SP 1 3m

Từ điều kiện S³ 0,P ³ 0,S2 ³ 4P ta có 1

0 m

4

£ £

x y xy 3m 9

ì + + = ïï

-ïî có nghiệm thực.

GIẢI

xy(x y) 3m 9

x y xy 3m 9

Đặt S = x + y, P = xy, S2³ 4P Hệ phương trình trở thành: S P m

SP 3m 9

ì + = ïï

íï =

Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t2- mt+3m 9- =0

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm

2 2

é ³ -ê

x y 3m

ìï - + - = ïí

ï + =

GIẢI

Đặt u= x- 4³ 0,v= y 1- ³ 0 hệ trở thành:

u v 4

u v 4

21 3m

2

ì + = ï

Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m

2

Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm

/ 0 3m 13 0

13 2

21 3m 0 3

P 0

2

ì

-ï D ³ ï

ï

Ví dụ 4 Tìm điều kiện m để hệ phương trình

x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m

ìï + + + = ïí

ïî có nghiệm thực.

(x 4x) (y 4y) 10

x y 4x 4y 10 xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m

ì

Đặt u =(x+2)2 ³ 0,v=(y+2)2 ³ 0 Hệ phương trình trở thành:

uv 4(u v) m 16 P m 24

Điều kiện

2

S 4P

P 0

ìï ³

ïïï ³ Û - £ £

íï

ï ³

ïïî

BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau

1 x2 y2 xy 5

x y xy 7

ïï

íï + + =

ïî Đáp số:

ì = ì =

ï Úï

ï = ï =

2

x xy y 3

2x xy 2y 3

ìï + + =

ïí

ï + + =

ì = - ï = ï =

ï = - ï = - ï =

3 x3 y 3 2xy 2

ïï

íï + =

ïî Đáp số:

ì = ì =

ï Úï

ï = ï =

4

xy(x y) 2

ìï - =

ïí

ïî Đáp số:

ì = - ì =

ï = - ï =

5 x2 y2 2xy 5

x y xy 7

ïï

íï + + =

ïî Đáp số:

ì = ì =

6

2 2

1 (x y)(1 ) 5

xy 1 (x y )(1 ) 49

x y

ìïï + + =

ïïï

íï

ïïïî

Đáp số:

7 x y y x 30

x x y y 35

ïïí

ïïî Đáp số:

ì = ì =

ï Úï

ï = ï =

8

1

x xy y xy 78

ïï

íï

ïïî

(chú ý điều kiện x, y > 0) Đáp số: x 4 x 9

ì = ì =

ï Úï

ï = ï =

9 ( 3 2 3 2)

2(x y) 3 x y xy

ïïí

x 8 x 64

y 64 y 8

10 Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình

xy yz zx 4

ìï + + = ïí

ïî Chứng minh

x,y,z

HƯỚNG DẪN GIẢI

Hệ phương trình

x y 8 z (x y) 2xy 8 z

xy z(x y) 4 xy z(x y) 4

(x y) 2[4 z(x y)] 8 z

xy z(x y) 4

-ï

Û íï + + =

ïî

(x y) 2z(x y) (z 16) 0

xy z(x y) 4

ï

Û íï + + = ïî

x y 4 z x y 4 z

xy (z 2) xy (z 2)

ì + = - ì + =

Do x, y, z là nghiệm của hệ nên:

2

( 4 z) 4(z 2) 3 3

-ê + ³ Û ê- -ê ³ + Û - £ £ . Đổi vai trò x, y, z ta được 8 x,y,z 8

11

x y 1

ìï æ ö æ ö

ïç ÷ ç ÷

ïç ÷+ç ÷=

ïç ÷÷ ç ÷÷

í è ø è ø

ïï + =

ïïî

Đáp số:

1 x 2 1 y 2

ìïï = ïï íï

ï = ïïî

12

sin (x y)

2(x y ) 1

p +

ïí

ïî

HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1:

sin (x y)

sin (x y) 0 x y (1)

2(x y ) 1 2(x y ) 1 (2) 2(x y ) 1

p +

î

Z

2

2

1

ì

x y 0

(1)

é + =

ê

Þ ê + = ±ê thế vào (2) để giải

Cách 2:

Đặt S = x + y, P = xy Hệ trở thành:

sinS

2 2

S

4P 2S 1 2(S 2P) 1

p

î

Z

Từ điều kiện S2 ³ 4P ta suy ra kết quả tương tự.

Hệ có 4 nghiệm phân biệt

ï = ï = - ï = ï =

ï = ï = - ï = - ï =

Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu

1 Tìm m để hệ phương trình

2x xy 2y m

ìï + + = + ïí

ïî có nghiệm thực duy nhất.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành:

m 21

+ m = – 3:

2(x y) xy 3 2(x y) xy 3

+ m = 21:

x xy y 27 (x y) xy 27

2x xy 2y 21 2(x y) xy 21

ì + = - ì + = ì =

Vậy m = 21

2 Tìm m để hệ phương trình: x2 xy 2y m 1

x y xy m

ïï

íï + =

ïî có nghiệm thực x > 0, y > 0.

HƯỚNG DẪN GIẢI

x xy y m 1 (x y) xy m 1

xy(x y) m

x y xy m

î

ì + = ì + =

Hệ có nghiệm thực dương m 0 2 1

ì >

ïï

Û íï ³ïî Ú ³ Û < £ Ú ³ .

Vậy 0 m 1 m 2

4

< £ Ú ³

3 Tìm m để hệ phương trình x y m

x y xy m

ìï + = ïïí

ïïî có nghiệm thực.

HƯỚNG DẪN GIẢI

3

ìï

Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình t2 mt m2 m 0

3

Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm

2

m 0

1 m 4

ì

Vậy m= Ú £0 1 m£ 4

4 Tìm m để hệ phương trình

2

x y 2(1 m) (x y) 4

ìï + = + ïí

ïî có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

HƯỚNG DẪN GIẢI

x y 2(1 m) (x y) 2xy 2(1 m)

xy 1 m xy 1 m

ï + = ï + =

Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( )2

2 4(1 m) m 0

5 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình x2 y 2 2m 12

ì + = -ïï

íï + = +

-ïî Tìm m để P = xy nhỏ nhất.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt S= +x y, P =xy, điều kiện S2 ³ 4P

S 2m 1

S 2m 1

3

2

ì = -ï

ï

Từ điều kiện suy ra (2m 1)2 6m2 12m 8 4 2 m 4 2.

Ta có minf(m) f 4 2 11 6 2, m 4 2 4; 2

Vậy minP 11 6 2 m 4 2

http://kinhhoa.violet.vn

CHUYÊN ĐỀ

Phần II.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

1 Dạng 1: ìïï

íï

ïî

f(x, y) = 0

f(y, x) = 0 (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia) Phương pháp giải chung

Cách giải 1

Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

3 3

x 2x y (1)

y 2y x (2)

ìï + = ïïí

Giải

Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

x - y +3x- 3y= Û0 (x- y)(x +y +xy+3)= 0

y 3y

Û - êêëççè + ÷÷ø + + úúû= Û = Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được:

3

x + = Ûx 0 x=0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 0

y 0

ì = ïï

íï =

ïî .

2y 3 4 x 4 (2)

ìï + + - = ïïí

ïïî

Giải

Điều kiện:

3

x 4 2

3

x 4 2

ìïï - £ £

ïï

íï

ï - £ £

ïïî

Trừ (1) và (2) ta được:

( 2x+ -3 2y+3) (+ 4 y- - 4 x- ) =0 (2x 3) (2y 3) (4 y) (4 x) 0

Thay x = y vào (1), ta được:

2x+ +3 4 x- = Û4 x+ +7 2 (2x+3)(4 x)- =16

ì - ³ ïï

Û - + + = - Û íïïî - + = Û = Ú = (nhận).

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11 x

y 9

ìïï =

ì = ï

ï = ï

î ïïî =

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

3 3

x 2x y (1)

y 2y x (2)

ìï = + ïïí

ïïî

Giải

Trừ và cộng (1) với (2), ta được:

x 2x y (x y)(x xy y 1) 0

y 2y x (x y)(x xy y 3) 0

ì

+ x y 0 x 0

+ x2 y 0 2 y2 x x 1 x 1

+

2 2

xy 1

x xy y 3

ïî

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: x 0 x 1 x 1 x 3 x 3

Cách 3 Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y

2y 3 4 x 4 (2)

ìï + + - = ïïí

ïïî

Giải

Điều kiện:

3 x 4 2

3 x 4 2

ìïï - £ £

ïï

íï

ï - £ £

ïïî

Trừ (1) và (2) ta được:

2x+ -3 4 x- = 2y+ -3 4 y- (3)

Xét hàm số f(t) 2t 3 4 t, t 3; 4

2

ë û, ta có:

f (x)/ 1 1 0, t 3; 4

2 2t 3 2 4 t

æ ö÷ ç

= + + - > " Î -ççè ÷÷øÞ (3)Û f(x)=f(y)Û x= y

Thay x = y vào (1), ta được:

2x+ +3 4 x- = Û4 x+ +7 2 (2x+3)(4 x)- =16

2 2x2 5x 12 9 x x 3 x 11

9

Û - + + = - Û = Ú = (nhận)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

11 x

y 3 y 11

9

ìïï =

ì = ï

ï = ï

î ïïî =

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

3 3

x 2x y

y 2y x

ìï + = ïïí

Giải

Xét hàm số f(t)= t3+2t Þ f (t)/ =3t2+ >2 0, t" Î ¡

Hệ phương trình trở thành f(x) y (1)

f(y) x (2)

ïï

íï =

+ Nếu x> Þy f(x)>f(y)Þ y> (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn).x

+ Nếu x< Þy f(x)<f(y)Þ y< (mâu thuẩn).x

Suy ra x = y, thế vào hệ ta được x3+ = Ûx 0 x=0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 0

y 0

ì = ïï

íï =

ïî .

Chú ý:

Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1 Nếu giải không được mới nghĩ đến cách

2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1!

Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003) Giải hệ phương trình:

2 2 2 2

x 2 3x

y

y 2 3y

x

ï = ïï ïí

ïï = ïïî

Giải

Nhận xét từ hệ phương trình ta có x 0

y 0

ì >

ïï

íï >

ïî Biến đổi:

2

2 2 2

2 2 2

2

x 2

y

3yx y 2 (2)

y 2 3y

x

ï =

ï = ïïî Trừ (1) và (2) ta được:

(x- y)(3xy+ +x y)= Û0 x=y (3xy+ + >x y 0)

Với x=y : (1) Û 3x3- x2- 2=0Û (x 1)(3x- 2+2x+2)= Û0 x=1 Vậy hệ có 1 nghiệm x 1

y 1

ì = ïï

íï =

ïî .

2 Dạng 2: ìïï

íï

ïî

f(x, y) = 0

g(x, y) = 0 , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng

Phương pháp giải chung

Cách giải 1

Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

2

x y (1)

2x xy 1 0 (2)

ìïï = -ïïí

ïï - - = ïïî

Giải

Điều kiện: x¹ 0, y¹ 0 Ta có:

æ ö÷ ç

Û - ç + ÷÷= Û = Ú =

-çè ø + Với y = x: (2)Û x2- 1= Û0 x = ± 1

+ Với 1

y

x

= - : (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 x 1

ì = ì =

ï Úï

ï = ï =

Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được)

Đưa phương trình đối xứng về dạng f(x)=f(y)Û x= với hàm f đơn điệu.y

x y 3y 18 0 (2)

-ïï

íï - - =

Giải

Tách biến phương trình (1), ta được:

(1) Û x- cosx= -y cosy (3)

Xét hàm số f(t)= -t costÞ f (t)/ = +1 sint>0, t" Î ¡

Suy ra (3) Û f(x)=f(y) Û x= y

Thay x = y vào (2), ta được:

x - 3x 18- = Û0 (x- 3)(x +3x+6)= Û0 x =3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x 3

y 3

ì = ïï

íï =

ïî .

Chú ý:

Cách giải sau đây sai:

2

x y (1)

2x xy 1 0 (2)

ìïï = -ïïí

ïï - - = ïïî

Giải

Điều kiện: x¹ 0, y¹ 0.

Xét hàm số f(t) t 1, t \ {0} f (t)/ 1 12 0, t \ {0}

= - Î ¡ Þ = + > " Î ¡ Suy ra (1) Û f(x)=f(y) Û x= !y

Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0)

BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau

1)

2

2

x 3y 2 0

y 3x 2 0

ìï - + =

ïïí

ïïî Đáp số:

ì = ì =

ï Úï

ï = ï =

2)

2

2

x xy x 2y

y xy y 2x

ìï + = +

ïïí

ïïî Đáp số:

3 x

2

ìïï =

ì = ï

ï = ï

ïïî

3) x 1 y 7 4

ìï + + - =

ïïí

x 8

y 8

ì = ïï

íï =

ïî .

4) x 1 y 2 3

ìï + + - =

ïïí

x 3

y 3

ì = ïï

íï =

ïî .

5) x 3 2 y 3

ìï + + - =

ïïí

ì = ì =

ï Úï

ï = ï =

6)

3

3

x x 2y

y y 2x

ìï = +

ïïí

ï = +

ïïî Đáp số:

ì = ï = ï =

ï = ï = ï =

2

3 2x y

x 3 2y x

y

ìïï + =

ïïï

íï

ï + =

ïïïî

Đáp số: x 1

y 1

ì = ïï

íï =

2

2

1 2x y

y 1 2y x

x

ìïï = + ïïï

íï

ïïïî

Đáp số: x 1

y 1

ì = ïï

íï =

ïî .

9)

x y 4 y

xy 4 x

ìï - =

ïïí

ïïî Đáp số:

x 2

y 2

ì = ïï

íï =

ïî .

10)

3 2

3 2

x x x 1 2y

y y y 1 2x

ìï - + + =

ïïí

ì = ì =

ï Úï

ï = ï =

11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003)

3

x y (1)

2y x 1 (2)

ìïï = -ïïí

ïïî

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x¹ 0, y¹ 0.

Û - + = Û - ç + ÷÷= Û = Ú =

-çè ø + Với x= : (2) y x 1 x 1 5.

2

- ±

Û = Ú =

+ Với y 1: (2) x4 x 2 0.

x

f(x) x x 2 f (x) 4x 1 0 x

4

æ ö- ÷

ç ÷= - > = +¥ Þ > " Î

ç ÷

Cách khác:

+ Với x < Þ1 x+ > Þ2 0 x4+ + > x 2 0

+ Với x ³ 1Þ x4 ³ x ³ - xÞ x4+ + > x 2 0

Suy ra (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

ì =

12) x siny (1)

y sinx (2)

ì =

ïï

íï =

ïî

Hướng dẫn giải

Trừ (1) và (2) ta được:

x- y=siny- sinx Û x+sinx= +y siny (3)

Xét hàm số f(t)= +t sint Þ f (t)/ = +1 cost ³ 0, t" Î ¡

(3) Û f(x)= f(y)Û x=yÞ (1) Û x- sinx=0 (4)

Xét hàm số g(x)= -x sinx Þ g (x)/ = -1 cosx³ 0, x" Î ¡ Þ (4) có không quá 1 nghiệm

Do g(0)= Þ0 (4) Û x= Vậy hệ có 1 nghiệm 0 ìïï xy=00

íï =

ïî .

http://kinhhoa.violet.vn

Phần III.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

3.1 Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng không giải được theo cách giải “quen thuộc” về hệ phương trình đối xứng giải được theo cách giải “quen thuộc”

35

x y y x

x x y y







• Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen

thuộc”

• Dùng ẩn phụ u= x và v= y đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”

• Nghiệm của hệ phương trình là (4;9),(9; 4)

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

4

4

1 1

1 1







• Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen

thuộc”

• Dùng ẩn phụ u= 4 x−1 và v=4 y−1 đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải

“quen thuộc”

• Nghiệm của hệ phương trình là (1;1)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

2

2







• Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen

thuộc”

• Dùng ẩn phụ u= x và v= y đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen

thuộc”

• Nghiệm của hệ phương trình là (0;0),(2; 2),(2; 2),( 2; 2),( 2; 2).− − − −

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình

5



 − + + + − =



• Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen

thuộc”

• Dùng ẩn phụ u= +x y và v= −x y đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải

“quen thuộc”

• Nghiệm của hệ phương trình là ( ; ),( ; ),(1 3 3 1 1; 3),( 3; 1),( ;3 1),

2 2 2 2 − −2 2 − −2 2 2 −2 ( 3 1; ),

2 2

− ( ;1 3),

2 −2

1 3

( ; )

2 2

−

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình

1 1

4

1 1

4

x y

x y

 + + + =





 + + + =



• Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và nếu giải theo cách giải “quen thuộc”

thì dẫn đến hệ phương trình rất phức tạp

• Dùng ẩn phụ u x 1

x

= + và v= +y 1y đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải

“quen thuộc”

• Nghiệm của hệ phương trình là (1;1)

Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình đối xứng ta không thể giải được theo cách giải “quen thuộc” và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về cách giải “quen thuộc”, khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết Các ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho hai trường hợp như thế.







Giải Điều kiện x y, ∈ −[ 7;11]

Cộng vế theo vế ta có ( 7+ +x 11− +x) ( 7+ +y 11−y) 12= (*)

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có ( 7+ +x 11−x) 6≤ và ( 7+ +y 11−y) 6≤ nên

( 7+ +x 11− +x) ( 7+ +y 11−y) 12≤ Do đó (*) 7 11



⇔ 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 2)

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình 2 2







Bài toán này không thể giải quyết được theo phương pháp đánh giá như trên

Giải Điều kiện x y, ∈[ ]0; 2

Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được :

x− y+ − −y − = ⇔x x− − =x y− − ⇔y f x = f y

trong đó ( )f t = t − 2−t với 0≤ ≤t 2 Dễ thấy ( )f t là hàm đồng biến trên khoảng (0;2) Vì thế

( ) ( )

f x = f y ⇔ =x y

Thay x= y vào phương trình x+ 2− =y 2 ta được x+ 2− =x 2⇔ =x 0 hoặc x=2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0;0) và (2; 2)

3.2 Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng

• Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi tương đương

• Dùng ẩn phụ u=4 6−x và v= 4 x−2 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một với cách giải “quen thuộc”

• Nghiệm của phương trình là x=2 và x=6

• Dạng tổng quát của bài toán này là n a+ f x( )+n b f x− ( )=c

Ví dụ 9 Giải phương trình x3+ =1 2 23 x−1

• Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi trực tiếp

• Dùng ẩn phụ u=3 2x−1 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”

• Nghiệm của phương trình là 1 5

2

x=− ± và x=1.

• Dạng tổng quát của bài toán này là x n + =b a ax b n −

• Nếu dùng phép biến đổi tương đương sẽ dẫn đến phương trình bậc bốn phức tạp

• Dùng ẩn phụ u= +9 x đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”