phương trình lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC1.. Phương trình đưa về dạng tích 1.1.. Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc,…

CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình đưa về dạng tích

1.1 Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác: công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích, công thức hạ bậc,…

Ví dụ 1 Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1)

Giải

2 7

7 2

2 3

x k

x

x

x

π















⇔  = ⇔ = + ∈



 + =



*Lưu ý: Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng

hoặc hiệu các góc bằng nhau

Ví dụ 2 Giải phương trình:

cos3 cos sin 3 sin

8

(2) Giải

−

2 4cos 4 2 1 cos 4 2 3 2 cos 4

k

*Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử

dụng công thức nhân 3

Ví dụ 3 Giải phương trình :

π

 

(3) Giải

( )3 1 cos 4 3 cos 4 4cos2 1 sin 4 3 cos 4 2 2cos( 2 1)

π

π

 

 

,

k

⇔ = + ∨ = + ∈¢

1.2 Phương trình sử dụng một số biến đổi khác

Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung nhanh nhất, sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó

2 2

sin 1 cos 1 cos , cos 1 sin 1 sin

1 cos 2 sin 2 2cos (sin cos )

1 sin 2 sin cos

1 cos 2 sin 2 2sin (sin cos )

1 sin 2 sin cos

sin cos

1 tan

cos

2 sin

x

x x

+

⊕ + =

π

 + = +

 ÷

 

Ví dụ 4 Giải phương trình: 2sin (1 cos 2 ) sin 2x + x + x= +1 2cosx

(4) Giải

Cách 1:

( )4 ⇔2sin 2cosx 2x+2sin cosx x= +1 2cosx⇔(2cosx+1 2sin cos) ( x x− =1) 0

1 cos

2 sin 2 1

x x

 = −



⇔

=



phần còn lại dành cho bạn đọc Cách 2: ( )4 ⇔2sin cos 2x x− −(1 sin 2 ) 2(cosx − x−sin ) 0x =

2sin x cosx sinx cosx sinx cosx sinx 2 cosx sinx 0

(cosx sinx)(2sin x cosx 2sin2x cosx sinx 2) 0

(cosx sinx) (2sin cosx x 2cos2x cosx sinx) 0

(phần còn lại HS tự làm)

Ví dụ 5.Giải phương trình: cos 2x+3sin 2x+5sinx−3cosx=3

(5) Giải

( )5 (6sin cos 3cos ) (2sin2 5sin 2) 0

3cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0

(2sin 1)(3cos sin 2) 0

Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản (HS tự làm)

2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức

Ví dụ 6 Giải phương trình:

2cos 4 cot tan

sin 2

x

x

= +

(6) Giải

ĐK:

2 sin 2 0

x

k

x

π

≠





 ≠



3

x l

π π

=





 =



Kiểm tra điều kiện ta được

, 3

x= ± +π l l Zπ ∈

Ví dụ 7 Giải phương trình:

2

0

x

=

−

(7) Giải

ĐK:

2

k

x− ≠ ⇔c x≠ ⇔ ≠ +x π π k Z∈

( ) ( ) ( ) ( )

2

4

2

2 3

π

 = − +







= ± +





Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm

2 , 3

m

Ví dụ 8 Giải phương trình:

2 3tan 3 cot 2 2 tan

sin 4

x

(8) Giải

ĐK:

os3x 0

4 sin 4 0

x

k Z

x x

π

≠

  ≠



(*)

sin 4 os3 cos os3 sin 2 sin 4 4sin 4 sin 2 os2 cos 2 os3 4sin 4 sin os3 cos 2 os3

4sin 4 sin os3 cos 8sin 2 os2 sin 2sin 2 sin (*)

os2

− ⇔ = ±  ÷+ ∈

 

Nghiệm này thỏa mãn ĐK

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) os3 os2 cos 1 0 2) 2 2 sin cos 1

12

3)(1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan 4)sin 2 sin 2cot 2

sin 2 2sin

π

 

 

3

tan 2

2 cos sin 1

7)2 2 os 3cos sin 0 8)

1 9)cos cos 2 os3 sin sin 2 sin 3

2

11) tan tan 2 sin 3 cos 2

12)sin cos 4

x

x

π

−

 

   

− =  + ÷  − ÷

    + = −

2

7 sin 2 4sin

13)sin sin cos sin 1 2cos

14)2sin cot 2sin 2 1

sin 3

3sin 4

x

x

x

π π

 

− =  − ÷−

 

 

 