Phương Trình Vi Phân

Cách khác: Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là Đây là phương trình tuyến tính Ví dụ: Giải phương trình... • Thường ta tìm được nghiệm của phương trình * dưới dạng... Fx, y, C1

Chương IX PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

• Nếu thay y = ϕ(x) vào (1) mà (1) thành đồng nhất thức trên

D ⊂ℝ thì ta nói y = ϕ(x) là nghiệm của (1) trên D ⊂ℝ

• Nghiệm tổng quát của (1) thường có dạng y = ϕ(x, c1, c2, , cn) với c1, c2, , cn là những hằng số tùy ý Nếu cho (c1, c2, , cn) một bộ giá trị cụ thể thì ta có một nghiệm riêng

Định lyù: Nếu f(x, y) liên tục trên tập mở và bị chận trên D chứa M(x0, y0) thì tồn tại y = ϕ(x) là nghiệm của phương trình vi phân cấp 1: y’ = f(x, y) đi qua M(x0, y0) Hơn nữa nếu f

ii) Tìm nghiệm của (* ) qua M(3, -5)

Nghiệm của (* ) qua (3, -5) ⇒ xy = C qua (3, -5) ⇒ 3(-5) = C

⇒ C = -15 Vậy nghiệm của (* ) qua (3, -5) là

1) Phương trình có biến phân ly (có thể tách ra): là phương trình

vi phân có dạng

ϕ(y)dy = f(x)dx hay f1(x)g1(y)dx = f2(x)g2(y)dy (2)

i) Giải phương trình (1 + ex)yy’ = ex

ii) Tìm nghiệm riêng trong trường hợp y(0) = 1

2−ln2 ⇒ nghiệm riêng thỏa y (0) =1 là:

22) Phương trình đẳng cấp cấp 1: là phương trình vi phân có dạng

y’ = f( y

x ) (4) ⇔ dy = f( y

x )dx Đặt u = y

x ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu, (4) thành udx + xdu = f(u)dx ⇔ xdu = (f(u) − u))dx

đây là phương trình có biến phân ly

Ví dụ 1: Giải phương trình (2y2−2xy + x2)dx − x.ydy = 0 (5) + Khi x = 0 ⇒ dx = 0 ⇒ x = 0 là nghiệm

+ Khi x ≠ 0, (5) thành: ( y y )dx y dy

2 2

Đặt u = y

x ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (5’) thành : (2u2− 2u + 1)dx − u(udx + xdu) = 0 ⇔ (u −1)2dx − uxdu = 0 ⇔ u = 1 hay

Ví dụ 2: Giải phương trình (x2−2xy )dy − x.ydx = 0 (6)

Cách 1: (6) ⇔ x = 0 hay ( 1 y)dy y dx ( )

Đặt v = x

y ⇒ x = v.y ⇒ dx = vdy + ydv ⇒ (8) thành : (v2− 2v )dy − v(vdy + ydv) = 0 ⇔ − 2vdy − vydv = 0 ⇔ v = 0 hay dv = 2dy v = 0 hay ln ,

y e2 =c c>0

Ghi chú: phương trình vi phân sau đây có thể đưa được về

phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1: '

= ≠0 thì đặt u= −x x v0, = −y y0, với ,x y0 0 là

nghiệm của hệ phương trình

i) Nếu q(x) ≡ 0, (6) thành y = 0 hay dy

e− 2−2xC(x) x

e− 2= C’(x) x

e− 2−2xy ⇒ 2x x

e− 2= C’(x) x

e− 2⇒ C’(x) = 2x ⇒ C(x) = x2 + C1 ⇒ y = [x2 +C1] x

e− 2

Cách khác: Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

Đây là phương trình tuyến tính

Ví dụ: Giải phương trình

− +

2

2

14

x

e

III Sơ lược về số phức:

1 Định nghĩa: Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là ℂ , được định nghĩa: ℂ = {a + bi / a, b ∈ℝ với i2 = −1

Với số phức z = a + bi ta nói a = Rez là phần thực, b = Imz là phần ảo

Dạng z = a + ib gọi là dạng đại số của số phức

3 Dạng lượng giác của số phức: Cho số phức z = a + ib Đặt M=(a,b) Ta gọi r = | z | = a2+b2 = z z = |z| là môđul của z và ϕ = ( ,Ox OM)

→ →

là argument của z, ký hiệu Argz

Ta có : a = rcosϕ, b= rsinϕ ⇒ z = a + ib = rcosϕ + irsinϕ

Giả sử z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2)

Khi đó z1.z2 = r1 r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)

zn= rn[cosϕ + isinϕ]n = rn[cosnϕ + isinnϕ] Công thức Euler: i

eα = cosα + isin α

4 Khai căn cho số phức: Căn bậc n của số phức c ∈ ℂ , ký hiệu

n

c, là những số phức z sao cho: zn = z.z z = c

Nếu c≠0 thì căn bậc n của số phưc c có đúng n số phức

Ví dụ 1: Tìm 7−6 2i Giả sử 7−6 2i= a + bi, a, b ∈ℝ ⇒ 7 - 6 2i = a2 - b2 + 2abi

IV Phương trình vi phân cấp hai:

1 Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có

dạng

G(x, y, y’, y’’) = 0 (* ) hoặc y’’ = f(x, y, y’)

• Nghiệm tổng quát của (* ) có dạng y = ϕ(x, C1, C2),

cho (C1, C2) một giá trị cụ thể ta có một nghiệm riêng

• Thường ta tìm được nghiệm của phương trình (* ) dưới dạng

F(x, y, C1, C2) = 0 cho ta mối liên hệ giữa biến độc lập và nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai được gọi là phương trình tổng quát của nó

2 Vài phương trình vi phân cấp hai có thể hạ bậc :

i) Phương trình có vế phải không phụ thuộc y, y’: có dạng

4 + C1x + C2 là nghiệm tổng quát

Nên nghiệm riêng thỏa (D) là y = −1cos2x+ +x 1

ii) Phương trình có vế phải không chứa y : dạng y’’ = f(x, y’)

Đặt y’ = u, y’’ = u’ phương trình thành u’ = f(x, u)

Đây là phương trình cấp 1

Ví dụ : Giải phương trình y’’ = x - ' y

Đặt y’ = u ⇒ y’’ = u’ Khi đó

+

2 1

Khi đó phương trình thành udu

dy = f(y, u) Đây là phương trình

vi phân cấp 1 với u là hàm và y là biến độc lập Nếu phương trình này giải được, ta có u = ϕ(y, C1) hay dy

dx = ϕ(y, C1) hay dy= ϕ(y, C1)dx

Ví dụ: Giải phương trình : 2yy’’ + (y’)2 = 0

Đặt y’ = u ⇒ y’’ = udu

dy , phương trình thành : 2yudu

C

⇔ y = (hx+k)23, h, k ∈ ,ℝ h≠0

Nếu cho h = 0 ⇒ họ nghiệm (* * )

⇒ nghiệm tổng quát là y = (hx+k)23, h, k ∈ ℝ

3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2:

• Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng:

y// + a1y/ + a2y = f(x) (a)

hay y// + a(x)y/ + b(x)y = c(x)

• Nếu f(x) = 0 thì (a) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

• Nếu a1, a2 là hằng số thì (a) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi(hệ số hằng)

a Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất:

y// + a1(x)y/ + a2(x)y = 0 (b)

Ta có các kết quả:

i) Tính chất 1: Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của (b) thì

y = C1y1(x) + C2y2(x) là nghiệm của (b) (với C1, C2∈ℝ )

Định nghĩa: Các hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính trên D nếu tỉ số của chúng không phải là hằng số :

•Các hàm số y =4x và x

y =e là độc lập tuyến tính trên ℝ

iii) Tính chất 3: Nếu biết một nghiệm riêng y1(x) của (b) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của (b) với y1, y2 độc lập tuyến tính bằng cách đặt y2 = y1(x)u(x)

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của ''y x y' y

một nghiệm riêng y1 = x

Giải: Ta tìm một nghiệm y2 = xu(x), thay y2 vào phương trình đã cho ta có :

2 1 2

b Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất:

Cho phương trình không thuần nhất (a) (ở trên) với f(x) ≠ 0 phương trình y// + a1y/ + a2y = 0 (a’) được gọi là

phương trình thuần nhất tương ứng (liên kết) với (a)

i) Tính chất 1: nghiệm tổng quát của (a) là tổng của nghiệm

tổng quát của (a’) với một nghiệm riêng nào đó của (a) ii) Tính chất 2: (nguyên lý chồng chất nghiệm) cho phương trình không thuần nhất y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) + f2(x) (c)

nếu y1 là nghiệm riêng của y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) và y2 là nghiệm riêng của y’’ + a1y’ + a2y = f2(x) thì y1 + y2 là nghiệm riêng của (c) (định lý vẫn đúng khi vế phải = f1 + f2 + + fn)

iii) Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange: Giả sử cho phương trình tuyến tính không thuần nhất (a) (như trên) và giả sử biết nghiệm của phương trình thuần nhất (a’) là: y = C1y1 + C2y2

(a’’) Hãy tìm nghiệm của (a)

Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của (a) dưới dạng

y = C1y1 + C2y2 (* ) trong đó C1, C2 là các hàm theo x

2 x2 + C2 = C1x2 + C2, C1 = C

2 Biểu thức: y = C1 (x).x2 + C2(x) là nghiệm của phương trình nếu

C1, C2 là nghiệm của

1212

6

Nghiệm tổng quát là

4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số không đổi:

a Phương trình tuyến tính thuần nhất:

a2y’’ + a1y’ + a0y = 0

với , ,a a a0 1 2 là các hằng số và a2≠ 0

phương trình trên tương đương: y’’ + α1y’ + α0y = 0 (iv)

o

a a

Ta cần tìm 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (iv)

Ta tìm nghiệm riêng của (iv) dưới dạng y = ekx với k cần xác định Ta có: y’ = kekx, y’’ = k2ekx thế vào (iv) có :

≠ hằng số Suy ra nghiệm tổng quát của (iv) là y = k x k x

C e1 +C e 2

1 2 với C1, C2 tùy

ý ∈ℝ

Ví dụ 1: Giải phương trình : y’’ - 7y’ + 10y = 0

Phương trình đặc trưng là :

k2 - 7k + 10 = 0 ⇔ =k 2hay k =5

Nghiệm tổng quát là y = C1e2x + C2e5x

• k1 = k2∈ ℝ : Khi đó 1 nghiệm riêng của (iv) là y1 = k x1

Ta tìm nghiệm riêng y2 độc lập tuyến tính với y1 dưới dạng

Ví dụ 2: Giải phương trình y’’ + 6y’ + 9y = 0

Phương trình đặc trưng là k2 + 6k + 9 = 0 có nghiệm kép là

k = -3 ⇒ nghiệm tổng quát là y = (C1 + C2x)e-3x

là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (iv)

⇒ y = C1eaxcosbx + C2eaxsinbx là nghiệm tổng quát của (iv)

Ví dụ 3: Giải phương trình y’’ - 3y’ + 5y = 0

Phương trình đặc trưng là k2 -3k + 5 = 0 ⇔ k = 3±i 11

⇒ 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính là

b Vài dạng đặc biệt:

Cho phương trình y’’ + α1y’ + α0y = f(x) (1) trong đó α1, α2 là 2 hằng số.Ta xét các trường hợp riêng sau đây của f(x):

• f(x) = ek x Pn(x) với k không là nghiệm của phương trình đặc trưng Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng

y1 = ek x Qn(x), trong đó Pn(x), Qn(x) là các đa thức bậc n

Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm thỏa điều kiện ban

đầu của phương trình vi phân sau :

y" + 2y’ + 2y = 4x2 ( A) với y(0) = 2; y’(0) = −3

Phương trình đặc trưng : k2 + 2k + 2 = 0 ⇔ k= − ±1 i.Vậy

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

⇒ nghiệm tổng quát của (A) là

y(0) = 2 và y’(0) = −3 ⇒ c1 = 0 và c2 = 1

Vậy nghiệm của (A) thỏa y(0) = 2 và y’(0) = −3 là

y = x2− x+ +e−xsinx

Ví dụ 2 : Giải y" – 4 y’ + 4y = ( x2 +1) e x (B)

Phương trình đặc trưng : k2 – 4 k + 4 = 0 có nghiệm kép k=2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

2 1

Ví dụ 5 : y" + 3y’ + 2y = 6 e3 x có nghiệm riêng có dạng

y = a e3 x

• f(x) = ek x Pn(x) với k là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng Khi đó (1) có một nghiệm riêng có dạng

y1 = x.ek x Qn(x), trong đó Pn(x), Qn(x) là các đa thức bậc n

Ví dụ 1: Giải y" + 3y’ – 18 y = ( 2x + 1) e3 x ( C )

Phương trình đặc trưng : k2 +3k – 18 = 0 ⇔ =k 3hay k= −6

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là

Vậy một nghiệm riêng của (C) là y1 = 1

y = x.( ax2 +bx + c) e2 x vì k = 2 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng ( ứng với e2 x )

Ví dụ 3: y" + 3y’ – 18 y = ( 2x + 1) e3 x có nghiệm riêng có dạng

y1 = x2.ek x Qn(x), trong đó Pn(x), Qn(x) là các đa thức bậc n

Ví dụ 1: Giải y" + 6 y’ + 9 y = 6 x

e−3 ( D ) Phương trình đặc trưng : k2 + 6k + 9 = 0 có nghiệm kép

k= −3.Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là y =e−3x(c +c x)

Ví dụ: Giải y" + y = cos3 x = cos3 x+1cos3x

Vì i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên

y" + y = cos3 x = cosx (E1)

y" + y = cos3 x = cos1 3x (E2)

Thế vào ( E2 ) ta có

− a.cos x − bsin x= 1cos x,∀ ⇔ =x a −1

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (E ) là

y = y3 + y = 3x.sinx

32 + cosc1 x+ c2sinx với c1, c2∈ℝ