3 CD3 phuong trinh luong giac

Định nghĩa hàm số lượng giác: 1.. Định nghĩa các hàm số lượng giác: a.. Hàm số lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt: + −... PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải một phươn

Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Đơn vị đo gĩc và cung:

1 Độ:

Góc 0 = 180 1 góc bẹt

2 Radian: (rad)

180 0 = π rad

3 Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số gĩc (cung ) thơng dụng:

6

π

4

π

3

π

2

π

3

2π

4

3π

6

II Gĩc lượng giác & cung lượng giác:

1 Định nghĩa:

2 Đường trịn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: ¼AM = a + pk2

M

π

π π

π

π

π

π π

k

C A

k C

k A

+

→

→

+

→

+

→

+

→

→

2

D B,

k

,

2 2

D

2k

2 2

B

2k

x

y

(tia gốc)

Z) (k 2 )

,

+

t

(tia ngọn)

O

α

.

o

180

O

+

−

x

y

O

B

D

x

y

B

α

(điểm gốc)

+

t

(điểm ngọn)

π

α k 2

III Định nghĩa hàm số lượng giác:

1 Đường tròn lượng giác:

• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )

• y'Oy : trục sin ( trục tung )

• t'At : trục tang

• u'Bu : trục cotang

2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho ¼AM =a

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

Ta định nghĩa:

cos sin tan cot

OP OQ AT BU

α α α α

=

=

=

=

b Các tính chất :

• Với mọi α ta có :

• cota xác định ∀ ≠α kπ

c Tính tuần hoàn

k k k k

(k∈Z)

+

−

x

y

O

B

D

1

1 1

=

R

1

−

1

−

'

x

'

t

't

'

y

'

u

'

t

t

x u

'

y

'

t

1

−

Q

B

T

α

M

α

A P U

Trục cosin

Trục tang

+

−

IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

- 3

-1

- 3/3

(Ñieå m goá c)

t

t'

y

y'

x x'

u u'

1

1 -1

-1

-π/2

π

5 π /6

3 π /4

2 π /3

- π /6

- π /4

- π /3

-1/2

- 2/2

- 3/2

-1/2

- 2/2

- 3/2 1/2 2/2 3/2

3/2 2/2 1/2

A

π /3

π /4

π /6

3/3

3

O

Góc Hslg

0 6

π

4

π

3

π

2

π

3

2π

4

3π

6

2

1 2

2 2

2

3

2

2

2

2

3 2

2 2

2

1

−

2

2

−

2

3

3

3

3

3

3

3

V Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

+

−

Đĩ là các cung :

1 Cung đối nhau : vàα -α (tổng bằng 0) (Vd:

6

&

6

π

,…)

2 Cung bù nhau : vàα -π α ( tổng bằng π ) (Vd:

6

5

&

6

π π

,…)

3 Cung phụ nhau : và

2

π

2

π

) (Vd:

3

&

6

π π

,…)

4 Cung hơn kém

2

π

: và

2

π

α +α (Vd:

3

2

&

6

π π

,…)

5 Cung hơn kém π : vàα π α+ (Vd:

6

7

&

6

π π

,…)

1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau:

sin( ) sin

cos( ) c

tan cot

o

s

cot

t

sin( ) s

i

ot

n

c

π α

α α

π α

α

α π

3 Cung phụ nhau: 4 Cung hơn kém

2

π

:

2

2

2

2

tan

cos( ) sin 2

sin( )

2 cot(

s

2

co 2

n

π α

α

α

π α

+

=

=

5 Cung hơn kém π:

tan(

) tan

co

in

t( ) cot

π α

π

α α

α

α

α π

+

+

−

=

=

VI Cơng thức lượng giác:

1 Các hệ thức cơ bản:

π

sin bằng cos cos bằng trừ sin

tang , cotang

sin

cos cos

sin

α α

α α α

α

2

2 2

2

1

cos 1

sin tan cot = 1

α

α α

α

+ +

2 Công thức cộng:

tan +tan tan( + ) =

1 tan tan

1 tan tan

α β

α β

−

−

−

+

3 Công thức nhân đôi:

2 2

2

1 2sin

2tan

1 tan

α α

α α

α

= −

=

=

−

4 Công thức nhân ba:

3

3

5 Công thức hạ bậc:

cos2 1 cos2 ; sin2 1 cos2 ; tan2 1 cos2

+

-a

6 Công thức tính sin ,cos ,tg α α α theo tan

2

α

=

2

c os a = + a

sin

2

a =

α α

2

1 cos

4

cos 3 3 cos

4

3 sin sin

3

2

7 Công thức biến đổi tích thành tổng :

1

2 1

2 1

2

8 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos

cos cos

α β

α β

+

−

9 Các công thức thường dùng khác:

3 cos4

4

5 3cos4

8

B BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho góc ;

2

ç

a Î ççè p÷÷ø mà

1 sin

5

6

ça + ÷

Bài giải

♥ Từ hệ thức: cos2a +sin2a = và 1 ;

2

ç

a Î ççè p÷÷ø

Ví dụ 2: Cho góc 3 ; 2

2

ç

a Î ççè p÷÷ø mà

1

=- Tính sin 2a

Bài giải

4

4

a

=-♥ Do

16 16

2

ïï

ïî

cos

4

a =

8

=-Ví dụ 3: Cho góc ;3

2

ç

9 cos

41

4

ça - ÷

Bài giải

♥ Do a Î pæçç p÷ö÷÷

3

;

2

2 2

2

♥ Do đó

tan

40

9

Ví dụ 4: Cho a là góc mà sin 1

4

a = Tính (sin 4a +2sin 2 cosa) a

Bài giải

♥ Ta có: (sin4a +2sin2 cosa) a =(cos2a +1 2sin2 cos ) a a

2cos 4sin cos= 2a a 2a

( )

2 2

Ví dụ 5: Cho a là góc mà tana =2 Tính 3 sin 3

=

Bài giải

♥ Vì tana =2 nên sina ¹ 0, do đĩ:

1

C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các bước giải một phương trình lượng giác

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu cĩ) của ẩn số để hai vế của pt cĩ nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu cĩ)

Bước 4: Kết luận

1 Định lý cơ bản: ( Quan trọng )

u = v+k2 sinu = sinv

u = -v+k2

u = v+k2

u = -v+k2

2 cotu = cotv u = v+k (u;v

k

π

π

π π

π

π



⇔ 







( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k∈Z)

2 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :

a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác đã biết cách giải.

b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số.

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:

B=0

⇔  hoặc

A=0

C=0

A BC







c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng cĩ thể đặt ẩn số phụ.

Một số dấu hiệu nhận biết :

• Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

• Phương trình cĩ chứa (cosx±sin ) vàx sinx.cosx.

3 Các phương trình lượng giác thường gặp:

a Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m∈R)

(Phương trình lượng giác cơ bản)

* Gpt : sinx = m (1)

• Nếu m>1 thì pt(1) vô nghiệm

• Nếu m≤1 thì ta đặt m = sinα và ta có

(1) sinx = sin

x = ( - )+k2

α





* Gpt : cosx = m (2)

• Nếu m>1 thì pt(2) vô nghiệm

• Nếu m≤1 thì ta đặt m = cosβ và ta có

β





* Gpt: tanx = m (3) ( pt luôn có nghiệm ∀m∈R)

• Đặt m = tanγ thì

(3) ⇔ tanx = tan γ ⇔ x = +kγ π

* Gpt: cotx = m (4) ( pt luôn có nghiệm ∀m∈R)

• Đặt m = cotδ thì

(4) ⇔ cotx = cot δ ⇔ x = +kδ π

Các trường hợp đặc biệt:

2 sinx = 0 x = k

2

2

π

π

⇔

⇔

b Dạng 2:

2 2 2 2

( a≠0)

+

−

x

y

O

B

D

(Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác)

Cách giải:

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)

Ta được phương trình : at2+ + =bt c 0 (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x

Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu cĩ)

c Dạng 3:

cosa x b+ sinx c= (1) ( a;b 0)≠

(Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx)

Cách giải:

• Chia hai vế của phương trình cho a2+b2 thì pt

a

a

c

a c

a

b b

α

⇔

+

⇔

+

Pt (3) cĩ dạng 1 Giải pt (3) tìm x

Chú ý :

Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2+b2≥c2

d Dạng 4:

asin2x b+ sin cosx x c+ cos2x=0 (a;c 0)≠ (1)

(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx)

Cách giải 1:

2

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho cos x ta được pt:2

atan2x b+ tanx c+ =0

Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k

2

π

= + π có phải l nghiệm của (1) không?

e Dạng 5:

(cosa x+sin )x b+ sin cosx x c+ =0 (1)

(Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx)

Cách giải :

4

2

2 1 0

2

t

4

x−π =t

tìm x

Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cosa x−sin )x b+ sin cosx x c+ =0

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Giải phương trình sin 5x+2cos2x= (1)1

Bài giải

2

ç

cos 5 cos 2

2

æ p÷ö

ç + =÷

ç

Û

2

k

ê

p

ê + =- + p ê

ê

¢

2

2

k x

k k

x

ê

ê ê

¢

♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 , 2 ( )

Î ¢ r

Ví dụ 2: Giải phương trình sin 3x- 3 cos3x=2sin 2x (1)

Bài giải hoctoancapba.com

♥ Ta có: ( )1 sin 31 3cos3 sin 2

sin 3 sin 2

3

æ p÷ö

ç - =

Û

3

3

ê

Û ê

p

ê ê

k k

x

ê = + p ê

ê ê

¢

k

Î ¢ r

Ví dụ 3: Giải phương trình 4cos5 cos3 2 8sin( 1 cos) 5

Bài giải

♥ Ta có: ( )1 Û 2 cos 4( x+cosx)+8sin 2x- 2cosx= 5

Û 2cos 4x+8sin 2x- =5 0

Û 4sin 22 x- 8sin 2x+3=0 (Biến đổi về pt bậc hai theo sin2x)

· sin 2 3

2

ë

¢

Ví dụ 4: Giải phương trình 2cos 5 cos 3x x+sinx=cos8x (1)

Bài giải

♥ Ta có: ( )1 Û cos8x+cos 2x+sinx=cos8x

Û 2sin2x- sinx- = = 1 0 0

1 sin

2

x x

ê ê Û

=-ê

(Biến đổi về pt bậc hai theo sinx)

2

7

2 6

ç

ê ê

¢

Ví dụ 5: Giải phương trình 2 sin( x- 2cosx)= -2 sin 2x (1)

Bài giải

♥ Ta có: ( )1 Û 2 sinx- 2 2 cosx+2sin cosx x- 2= 0

Û sinx(2cosx+ 2)- 2 2cos( x+ 2)= 0

Û (sinx- 2 2cos)( x+ 2)=0 (Biến đổi về pt tích số)

· sinx- 2= Û0 sinx= 2: phương trình vô nghiệm

4

Î ¢ r

Ví dụ 6: Giải phương trình sinx+4cosx= +2 sin 2x (1)

Bài giải

♥ Ta có: ( )1 Û sinx+4cosx- 2sin cosx x- 2= 0

Û (sinx- 2 2cos)( x- 1)=0 (Biến đổi về pt tích số)

· sinx- 2= Û0 sinx= : phương trình vô nghiệm2

Î ¢

3

Î ¢ r

Ví dụ 7: Giải phương trình cos sin 2 0

Bài giải

♥ Ta có: ( )1 Û sinx+2sin cosx x= 0

Û sin 1 2cosx( + x)=0 (Biến đổi về pt tích số)

· sinx= Û0 x= pk

3

Î ¢ r

Ví dụ 8: Giải phương trình sin 3x+cos 2x- sinx=0 (1)

Bài giải

♥ Ta có: ( )1 Û 2cos 2 sinx x+cos 2x= = 0 0

Û cos 2 2sinx( x+ =1) 0 (Biến đổi về pt tích số)

k

7

2 6

ç

ê ê

¢

k

Î ¢ r

Ví dụ 9: Giải phương trình 2cos 2x+sinx=sin 3x (1)

Bài giải hoctoancapba.com

♥ Ta có: ( )1 Û 2cos 2x+sinx- sin 3x= 0

Û 2cos 2x- 2cos 2 sinx x= 0

Û cos 2 sx( inx- 1)=0 (Biến đổi về pt tích số)

k

2

Î ¢

k

Ví dụ 10: Giải phương trình ( )2

1 2sin+ x cosx= +1 sinx+cosx (1)

Bài giải

♥ Ta có: ( )1 Û 2 1 sin( + x)sin 2x- (1 sin+ x)= 0

Û (1 sin+ x)(2sin 2x- 1)=0 (Biến đổi về pt tích số)

2

ë

¢

Ví dụ 11: Giải phương trình 1 tan 2 2 sin

4

Bài giải

2

+ p

cos

x

x

Û (sinx+cosx)(2cosx- 1)=0 (Biến đổi về pt tích số)

4

Î ¢

Î ¢

Đối chiếu điều kiện: các nghiệm tìm được đều thỏa điều kiện.

Î ¢ r

D BÀI TẬP

Giải các phương trình

1) cos5x−cosx+2sin 3x=0 2) cos 7x+cos3x+2cos5x=0

2

x x= + x 4) cos3x+tan sin 3x x=1

5) cos3x+ 3 sin 3x=2cosx 6) cos5x+cos 2x+sin 3 sin 2x x=0

7) sin 2x+cos 2x−3sinx−cosx+ =1 0 8) sin 2 cos 2 sin 2cos2 0

2

x

9) 4cos4x+8sin4 x=cos 4x+3 10) 4cos 23 x+6sin2x=3

2

π

13) 1 5sin− x+2cos2x=0 14) cos 2 3 2 cos 3 0

x

1

1 sin2

= +

x 16) 5sinx− =2 3 1 sin tan( − x) 2x

in2

2

s

x

19)

3

2

sin

x

x

+ + = 20)

2

2

cos

x

in2

1 2s

x

3

23) cos7x−sin5x= 3 cos5( x−sin7x) 24) 2cos2 2 3cos4 4cos2 1

π

3

  26) 2sin 2x 6 4sinx 1

π

x

π

2

  30) 2sin2x−cos2x=7sinx+2cosx−4

4

  32) 2cos6x+2cos4x− 3cos2x=sin2x+ 3