Câu 3:3,5 điểm Cho đường tròn O; R cố định có đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB.. b Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp trong một đường tròn.. Chứng
Trang 1SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2014-2015 Khóa ngày 17 tháng 3 năm 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 9
SỐ BÁO DANH:……… Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề gồm có 01 trang
Câu 1:(2.0 điểm)
b) Không sử dụng máy tính, chứng minh Q= 2014 2 + 2014 2015 2 2 + 2015 2 là số nguyên
Câu 2:(2.0 điểm)
a) Giải phương trình: x+ + 2 3 2x− + 5 x− − 2 2x− = 5 2 2
b) Cho phương trình x2 +ax+ =b 0 có hai nghiệm nguyên dương biết a, b là hai
số thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm đó
Câu 3:(3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) cố định có đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt AC và
AD lần lượt tại E,F
a) Chứng minh CA CE DA DF + = 4R2
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp trong một đường tròn
c) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh điểm I nằm trên một đường thẳng cố định
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =2015 Chứng minh rằng:
2015 2015 2015
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 5:(1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh là các số nguyên và bình phương độ dài đường chéo chia hết cho diện tích của nó Chứng minh ABCD là hình vuông
Trang 2
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: Toán (Khóa ngày 17 tháng 3 năm 2015)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
Yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Ta có:
2
2 28 ( 4) ( 1)( 8)
( 1)( 4)
P
=
( 1)( 4)
=
4 4 ( 1)( 4)
1 ( 1)( 4) ( 1)( 4)
x
1,0 điểm
0,25 0,25
0,5 b)
2014 2014 2015 2015
2014 2015 2.2014.2015 2014 2015 2.2014.2015
(2014 2015) 2014 2015 2.2014.2015
2014 2015 2.2014.2015 1 (1 2014.2015) 1 2014.2015
Vậy Q là số nguyên
1,0 điểm
0,5 0,25 0,25
Trang: 2 - Đáp án Toán 9
Trang 3a) ĐK: 5
2
x≥
2 3 2 5 2 2 5 2 2
2 4 6 2 5 2 4 2 2 5 4
2 5 6 2 5 9 2 5 2 2 5 1 4
( 2 5 3) (1 2 5) 4
| 2x 5 3 | |1 2x 5 | 4 2x 5 3 |1 2x 5 | 4
|1 2 5 | 1 2 5 1 2 5 0
5
2
− ≤ ⇔ ≤ ≤
1,0 điểm
0,25
0,25 0,25 0,25
a) Gọi x x x1 , ( 2 1 ≤x2 ) là hai nghiệm nguyên dương của phương trình.
Ta có: x1 + = −x2 a; x x1 2 =b
Khi đó : 5( − −x1 x2 ) +x x1 2 = 22 ⇔ x x1 2 − 5x1 − 5x2 + 25 47 =
1
2 1
2
5 1
( 5)( 5) 47
52
5 47
5 1
x
x x
x
− =
− =
=
=
− = −
− = −
Khi đó: a = – 58 và b = 312 thoả 5a + b = 22 Và phương trình có nghiệm
là x1 = 6; x2 = 52
1,0 điểm
0,25
0,5 0,25
3
3,5 điểm
0,5
Trang: 3 - Đáp án Toán 9
I
B
C A
M O
Trang 4
Hình vẽ chỉ cần dùng để giải được câu a cho điểm tối đa
a) Trong tam giác vuông ABE có: CA CE CB = 2
Trong tam giác vuông ABF có: DA DF =DB2
Ta có: CA CE DA DF CB + = 2 +DB2 =CD2 = 4R2
0,25 0,25 0,5
b) Ta có: ·ACD= ·ABD
ABD DBF+ = DFB DBF+ = ⇒ABD DFB=
180
ACD DFB= ⇒ECD DFE+ =
Vậy tứ giác CDFE nội tiếp
0,25 0,25 0,25 0,25 c) I là giao điểm của trung trực CD và trung trực của EF, I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Gọi M là trung điểm của EF MI vuông
góc với EF nên MI song song với AB
Ta có CAM· +·ACD AEM=· +·AFM = 90 0
Suy ra: AM vuông góc với CD nên AM song song với OI
Do đó AOIM là hình bình hành nên IM=AO=R (không đổi)
Vậy I thuộc đường thẳng d cố định là đường thẳng song song với tiếp
tuyến tại B và cách tiếp tuyến này một khoảng bằng R
0,25 0,25 0,25 0,25
4 Ta có:
2
2015 a + bc = (a b c a+ + ) + bc = a b c( + +) a + bc
2
Suy ra:
=
Tương tự:
;
Do đó:
1
2015 2015 2015
Dấu bằng xảy ra khi 2015
3
a b c= = =
1,5 điểm
0,5
0,5
0,25
0,25
Trang: 4 - Đáp án Toán 9
Trang 5Gọi ,a b là hai cạnh của hình chử nhật ⇒a b N, ∈ *
Theo giả thiết ta có: (a2 +b2)Mab
Đặt d=(a,b), ta có: a xd b= ; = yd với (x,y)=1, x y N, ∈ *
Suy ra: (d x2 2 +d y2 2)Md xy2 ⇒( x2 + y2)Mxy⇒ x2 + y2 = kxy k N, ∈ *
Ta có:x x kxy x2M, M⇒ y x2M⇒ y xM (do ( , ) 1)x y = ⇒ ≥y x
Tương tự: x≥ y , suy ra x=y nên a=b.
Vậy ABCD là hình vuông
1,0 điểm
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang: 5 - Đáp án Toán 9