Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.. Câu 4 4 điểm: Cho đoạn thẳng AB và số k không âm, chứng minh có duy nhất một điểm M chia trong hay chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k.. Trê
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TIÊN YÊN
-KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
-ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) (Ngày thi: 10/12/2013)
Câu 1(5 điểm): Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
Tính giá trị biểu thức:
x +y +xy
P =
xy-1
Câu 2 (4 điểm): Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9x + 2 = y2 + y
Câu 3 (3 điểm):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A (-2; -2), điểm B (0; 2), điểm C(2 ; 1) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông
Câu 4 (4 điểm):
Cho đoạn thẳng AB và số k không âm, chứng minh có duy nhất một điểm M chia trong hay chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k
Câu 5 (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD tại O Trên đoạn thẳng OA lấy điểm E sao cho ∠BDE=∠BAC Trên đoạn thẳng OD lấy điểm F sao cho
∠CAF=∠BDC Chứng minh rằng BE//CF
====Hết====
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TIÊN YÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN HỌC LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút) (Ngày thi: 10/12/2013)
1 Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
Tính giá trị biểu thức:
x +y +xy
P =
xy-1
Hướng dẫn :
Ta có : x2 + y = y2 + x (x – y)(x+ y -1) = 0 => x = y hoặc x + y = 1
+ Với x = y =>
2
x +x +x.x 3x
P =
x.x-1 x -1 (Giá trị của P phụ thuộc giá trị
của x)
+ Với x + y = 1
=>
x +y + xy x +y +2xy - xy (x+y) - xy 1- xy
2đ 1,5đ
1,5đ
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 9x + 2 = y2 + y
Hướng dẫn :
Viết lại phương trình thành : 9x + 2 = y(y + 1) (1)
Ta thấy vế trái của (1) là 9x + 2 là số chia cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2
Nếu y chia hết cho 3 hoặc y chia cho 3 dư 2 thì y(y + 1) đều chia hết cho 3, trái với kết luận trên
Do đó y chia cho 3 dư 1 Đặt y = 3k + 1 (k Z) thì y +1 = 3k + 2
Khi đó ta có :
9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2) => 9x = 9k(k + 1) => x = k(k + 1)
Thử lại x = k(k + 1) và y = 3k + 1 thoả mãn phương trình đã cho
Vậy nghiệm nguyên của phương trình (1) là x = k(k + 1) và y =
1đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ
Trang 33k + 1 (k Z).
3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A (-2; -2), điểm B (0; 2), điểm C(2 ; 1) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông
Hướng dẫn:
Áp dụng định lý pitago cho
tam giác vuông ABF, BCD
và ACE ta tính được:
AB = 20 ; BC = 5 ; AC = 5
Ta thấy : AC2 = AB2 + BC2
=> tam giác ABC vuông tại B
3đ
4 Cho đoạn thẳng AB và số k không âm, chứng minh có duy nhất một điểm M chia trong hay chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k
Hướng dẫn:
+ Trường hợp 1: điểm M chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số k
Nói các khác M thuộc AM => AB = MA + MB
Theo bài ra, điểm M chia AB thành hai phần theo tỉ số k; giả sử: MA/MB = k
MA = k.MB = k (AB – MA) => MA(k +1) = k.AB
MA = k.AB/(k+1)
Vì AB và k cố định cho trước nên k.AB/(k+1) cố định => điểm M
cố định Hay M là điểm duy nhất chia đoạn AB theo tỉ số k
+ Trường hợp 2: M là điểm chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k
Khi đó ta có MA/MB = k ; M không thuộc đoạn AB và 3 điểm M, A, B thẳng hàng Giả sử: MB = MA + AB ( M nằm về phía A)
Tương tự trường hợp 1 ta có: MA = k.AB/(1-k)
Hay M là điểm duy nhất chia đoạn AB theo tỉ số k
2đ
2đ
5 Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD tại O Trên đoạn thẳng
OA lấy điểm E sao cho ∠BDE=∠BAC Trên đoạn thẳng OD lấy điểm F sao cho ∠CAF=∠BDC Chứng minh rằng BE//CF
Trang 4Hướng dẫn:
Kéo dài DE cắt AB tại M Có ∠MAO=MDO (gt)
=>tứ giác AMOD nội tiếp
Có ∠AOD= 900=> ∠AMD= 900 => DM⊥AB
=> E là trực tâm của tam giác ABD => BE⊥AD (1)
Tương tự chứng minh được CF⊥AD (2)
Từ (1) và (2) => BE//CF
1đ
1đ 1đ 0.5đ 0.5đ Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa