hsg toan 6 2014-2015

Gọi OM là tia phân giác của góc BOC.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015

MễN THI: TOÁN 6.

(Thời gian làm bài 120 phỳt)

Bài 1:(5 điểm)

1 Tìm số tự nhiên a, b sao cho : (a b ) 3 aba

2 Tìm tổng sau: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2014.2015

Bài 2:(5 điểm)

1 Tìm x, biết: 2 2 2 2 202

40 88 154    x x(  3) 1540

2 Chứng minh rằng:

405n 2 405 m2 không chia hết cho 10

Bài 3: ( 3 điểm)

Chứng minh rằng hai số 2n + 1 và 6n + 5 nguyên tố cùng nhau ( nN)

Bài 4:( 3 điểm)

Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng hai số 2n + 1 và 3n + 1 đồng thời

là hai số chính phơng

Bài 5: (2 điểm)Chứng minh rằng:

2000

1

1001

1 1000

1





2 1

Bài 6: (2 điểm)

Cho các tia OB, OC nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA Gọi

OM là tia phân giác của góc BOC Tính góc AOM, biết rằng AOB 100 , 0 AOC 60 0

Hớng dẫn chấm

1

100 ( ) 999

aba

a b

a b

Xét các trờng hơp của a + b và có a= 3, b = 4 thoả mãn

2 ta có 3A = 3.( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2014.2015)

= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 2008.2009.3

= 1.2.3 + 2.3.(4 -1) + 3.4.(5 - 2) + + 2014.2015.(2016- 2013)

Khai triển rồi dùng khử liên tiếp, ta đợc: 3A = 2014.2015.2016

Suy ra A = 2014.2015.2016:3 = 2014.2015.672=

2

1 Ta có: 2 2 2 2 202

40 88 154    x x(  3) 1540

5.8 8.11 11.14    x x(  3)  1540

5.8 8.11 11.14    x x(  3) 1540

5.8 8.11 11.14    x x(  3) 1540

Sử dụng phơng pháp khử liên tiếp ta đợc

5 x 3 1540  x =305

2 ta thấy 405n có tận cùng là 5

2405 = 2404.2 có chữ số tận cùng là 2

Mà m2 không có chữ số tận cùng là 3( Vì m2 là số chính phơng)

Suy ra 405n 2 405 m2 không chia hết cho 10

3 Giả sử d = ƯCLN( 2n + 1, 6n + 5) 2n 1 ;6 d n 5 d

2n 1 d 3.(2n 1) d  6n 3 d (6n 5) (6  n 3) d  2 d

Do đó d = 1 hoặc d = 2

Vì 2n + 1 là số lẻ nên 2n + 1 không chia hết cho 2

Vậy d = 1

Suy ra 2n + 1 và 6n +5 nguyên tố cùng nhau

4 Ta có 10  n 100 nên 21 2  n  1 201

Mặt khác 2n +1 là số chính phơng lẻ , do vậy 2n + 1 chỉ có thể là 25; 49; 81; 121;

169 từ đó n chỉ có thể nhận các giá trị tơng ứng 12; 24; 40; 60; 84

3n + 1 chỉ có thể nhận các giá trị 37; 73; 121; 181; 253

Trong các số này chỉ có 121 = 112 là số chính phơng

Từ đó 3n + 1= 121 Suy ra n = 40

5

6

100 1001  20002000 2 Suy ra

100 1001  2000 2

Lần lợt tính

60 20 80

AOM AOC COM