a Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.. b Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định.. Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ n
Trang 1PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM THƯ
( Đề gồm 01trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
Môn : Toán Năm học : 2015-2016
Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1(6đ): 1, Cho biểu thức:
1 ( 2 5 1 ) : 1
4 1
A
x
a/ Rút gọn A
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên
2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 với x = 3 3 2 2 + 3 3 2 2
Bài 2: (4đ)
a) Cho ba số dương x y z, , thoả mãn 1 1 1 1.
x y z Chứng minh rằng:
x yz y zx z xy xyz x y z
b)Tìm số tự nhiên n sao cho A n 2 n 6 là số chính phương
Bài 3 : (4đ)
a , Giải phương trình :
3x2 4x 10 2 14 x2 7
b, Tìm nghiệm của phương trình:
x2+ 2y2 + 2xy + 3y - 4 =0
Bài 4: (5 đ) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một
điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với
đường tròn (B,C là tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K
a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố
định
b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định
c) Cho biết OA= 2R Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC
nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Câu 5 ( 1.0 đ):Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho: a + b2 chia hết cho a2b - 1
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM THƯ
Năm học: 2015 - 2016 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1
(5đ)
1a)
(2đ)
a/(2đ)Cho biểu thức
4 1
x
ĐK: x
1 0; ; 1 4
A=
:
A=1-2
.
0,25 0,5
0,5 0,75
1b)
(1đ)
Ta có : b/(2đ) Tìm xZđể A nguyên
2
1 2
1 2
x
Do x 0;x 1;x Z x 0
Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên
0,5 0,5 2.(2đ)
Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), Đặt a=3 3 2 2 , b=3 3 2 2
Ta có
x= a+b x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x x3- 3x = 6 Suy ra B = 2006
0,5 0,5 0,25
0,25 0,5
Bài 2
(4đ)
a)(2đ) Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a bc b ca c ab ab bc ca
với a 1,b 1, c 1, a b c 1.
Tacó : a bc a a b c( )bc
0,75
0,75
Trang 3Tương tự: b ca b ca c ab c; ab.
Từ đó ta có đpcm Dấu bằng xảy ra khi x y z 3.
0,5
b)2đ
A n n là số chính phương nên A có dạng
4 4 24 4 (2 ) (2 1) 23
2 2 1 23 (2 2 1)(2 2 1) 23
2 2 1 1
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
0,5 0,5
0,5 0,5
Bài 3
(4đ)
a)(2đ) a) Giải pt sau: 3x2 4x10 2 14 x2 7 ĐKXĐ:
2
2
x
x
Ta có: (1) 3x2 4x10 2 7 2 x2 1 0 x2 4x42x2 1 2 2x2 1 7 7 0 2 2 2
2
2
2 0
2 2
x x
x x
(TMĐK)
Vậy PT có nghiệm là: x = -2
0,25
0,25
0,75
0,75 0,5 0,25
Bài 4
(5đ)
Vẽ
hình
B
O
H K C
M d
Trang 4b)(1đ)
c)
(1,75)
a HOK AOM
OA OK OH OM
vBOM có OB2 = OH OM
OA
R OK
2
K là điểm cố định
b
H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định
c
BC OM 2
1 BH OM S
2
Smin OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất
M A , BC OK H K M A
3 R
min
0,25
0,5 0,5 0,5 0,5 1đ
0,5 0,5 0,5 0,25
Bài 5
(1đ)
Bài 5: (1đ)
x xy y x xy x xy x y xy 2(x y xy) 2
Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k Z
k=1
2x 2y xy 2 (x 2)(y 2) 2
NêuTìm được x=4 ; y=3 Nếu k 2 2(x y ) 2( xy 2) x y xy 2 (x 1)(y 1) 1 0 v«
lÝ (lo¹i) VËy x=4 y=3
0,25 0,5 0,25
( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )