Đoạn đường AB gồm một đoạn đường bằng phẳng và một đoạn đường lên dốc.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.. b Gọi H là giao điểm của AE và BC.. Chứng minh
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ BÀI
Câu 1 (4 điểm):
1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 8x2 19x 12 b) x3 6x2 11x 6
2 Cho A = 3 8 2 19 12
x và B = 3 6 2 11 6
B
A
.
Câu 2 (2 điểm): Giải phương trình
a) x2 - 2005x – 2006 = 0
b) |3x – 1| - |2x + 5| = 4
c) |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9
Câu 3 (5 điểm): Lúc 7h sáng, một người đi xe máy từ A đến B dài 45km Tới B, người đó
giải quyết xong công việc trong 1h30’ rồi quay về A , tới A lúc 11h Đoạn đường AB gồm
một đoạn đường bằng phẳng và một đoạn đường lên dốc Vận tốc lúc lên dốc là 24km/h, lúc xuống dốc là 45km/h và trên đường bằng là 40km/h Hỏi đoạn đường bằng dài bao nhiêu km?
Câu 4 (3 điểm):
1.So sánh A = 1997 1999 và B = 19982
2 Chứng minh rằng
a) (xy)(x3 x2yxy2 y3 ) x4 y4
b) Nếu (ab) 2 2 (a2 b2 ) thì a = b
Câu 5 (6 điểm): Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HUYỆN NHO QUAN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi : Toán
Câu 1
(4
điểm)
phần1
2đ
a) x3 8x2 19x 12
= x3 4x2 4x2 16x 3x 12
= 2 ( 4 ) 4 ( 4 ) 3 ( 4 )
x x
= ( 2 4 3 )( 4 )
x
= (x 1 )(x 3 )(x 4 )
x
= 3 3 2 3 2 9 2 6
x
= 2 ( 3 ) 3 ( 3 ) 2 ( 3 )
x x
= ( 2 3 2 )( 3 )
x
= (x 1 )(x 2 )(x 3 )
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 phần2
2đ
Ta có : A = x3 8x2 19x 12 = (x 1 )(x 3 )(x 4 )
B = x3 6x2 11x 6 = (x 1 )(x 2 )(x 3 )
=>
B
A
=
) 3 )(
2 )(
1 (
) 4 )(
3 )(
1 (
x x
x
x x x
=
2
4
x x
0.75 0.75 0.5
Câu 2
( 2
điểm )
Câu 3
(3
điểm)
a) x2 - 2005x – 2006 = 0
x2 + x – 2006x – 2006 = 0
x (x + 1) – 2006(x + 1) = 0
(x + 1)(x – 2006) = 0
x + 1 = 0 x = -1
x – 2006 = 0 x = 2006
Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={-1;2006}
0.2 0.2 0.15 0.15 0.15 0.15 b) - Có thể xét bảng hoặc không xét bảng
- ( học sinh làm theo cách khác mà trình bày đúng và kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = { 58 ;10}
1
Đổi 1h30’ = 23 giờ Gọi độ dài đoạn đường bằng là x (km) (0 < x < 45)
Thời gian lên dốc là: 4524 x (h)
Thời gian xuống dốc là: 4545 x (h)
Thời gian đi đoạn đường bằng là 402x (phải tính 2x vì ta tính thời
(GV chấm
tự chia nhỏ biểu điểm tùy theo bài
Trang 3
Câu 4
(3
điểm)
Phần 1
Phần 2
gian cả đi và về)
Theo bài ra, ta có phương trình:
4524 x + 4545 x + 2x40 + 23 = 4 Giải phương trình ta được x = 27 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy độ dài đoạn đường bằng là 27 km
Ta có: A = 1997 1999 = (1998 – 1) (1998 + 1) = 19982 - 1
mà 19982 - 1 < 19982
nên A < B
a)Ta có: (x y)(x3 x2yxy2 y3 )
= x4 x3yx2y2 xy3 x3y x2y2 xy3 y4
= x 4 y4 = VP => VT = VP (đpcm)
b) Từ (ab) 2 2 (a2 b2 )
=> a2 2abb2 2a2 2b2
=> 2 2 2 2 2 2 2 0
a
=> 2 2 2 0
a ab b
=> ( 2 2 2 ) 0
=> ( ) 2 0
=> a – b = 0 => a = b (đpcm)
làm của học sinh.
0.25 0.25 0.25 0.25
0.5 0.25 0.25
0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125
Câu 5
(6
điểm )
K
I O D
C
B
F E
H
0,5
a
2đ
∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM
AHB = 90 0
Vậy AE BC
1 0,5 0,5 b
2đ
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
0,5 0,5
Trang 4 ∆DHM vuông tại H
Chứng minh tương tự ta có: MHF = 90 0
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5 0,5 c
1,5đ
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: DMF = 90 0 MF DM mà IO DM IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF
Kẻ IK AB (KAB)
IK là đường trung bình của hình thang ABFD
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,5 0,5 0,5
Lưu ý : Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.