Rút gọn biểu thức A.. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.. Câu 5 : 1 điểm Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN VII
Đề chính thức
Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)
Câu 1: (3,0 điểm )
a) Phân tích đa thức a b c2( )b c a2( )c a b2( )thành nhân tử.
b) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn (a b )3(b c )3(c a )3 210 Tính
giá trị của biểu thức A a b b c c a .
Bài 1: (4,0 điểm)Cho biểu thức:
2 2
a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị của A , Biết x =1
2.
c Tìm giá trị của x để A < 0 d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình: x 3 – 3x – 2 = 0.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 + 5y 2 + 2xy – 4x – 8y + 2015.
Câu 3 (3,0 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ;
P(5)= 0
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6)
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm
a) Tính tổng
' CC
' HC ' BB
' HB ' AA
' HA
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Chứng minh rằng: 4
' CC ' BB ' AA
) CA BC AB (
2 2
2
2
.
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện
tích bằng số đo chu vi
ĐÁP ÁN
1 a) Ta có a b c2( )b c a2( )c a b2( )a b c b c a2( ) 2( ) c b c c a2( )
0,5 0,5 0,5
Trang 2b) Đặt a b x ; b c y; c a z x y z 0 z (x y )
Ta có: x3 y3 z3 210 x3 y3 (x y ) 3 210 3 (xy x y ) 210
70
xyz
Do x y z, , là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 70 ( 2).( 5).7
nên
, , 2; 5;7
0,5 0,5 0,5
2a
Biểu thức:
2 2
Rút gọn được kết qủa: A 1
x 2
1,0
2b
x 1
2
2
hoặc x 1
2
A= 32 hoặc A=52
0,5 1,0 2c A < 0 x - 2 >0 x >2 0,5
2d A Z x 2 Z
1
x-2 Ư(-1) x-2{ -1; 1} x{1; 3} 1,0
3a x3 - 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0
(x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0
x = 2; x = - 1
0,75 0,75 3b
P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 3; 1
0,5 0,5 0,5 4
Ta có: P(x)(x-1), (x-3), (x-5)
Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a)
Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a)
= -105.(-2+a) +105.(6+a)
= 105.( 2 –a +6 +a) = 840
1,0 2,0
Bài 5 (6 điểm):
Vẽ hình đúng (0,5điểm)
BC '.
AA 2
1
BC '.
HA 2
1
S
S
ABC
HBC
; (0,5điểm)
B
A
C I
B’
H N
x
A’
C’
M
D B
A
C I
B’
H N
x
A’
C’
M
D
Trang 3Tương tự: SS CCHC''
ABC
HAB
; SS HBBB''
ABC
HAC
(0,5điểm)
S
S S
S S
S ' CC
' HC ' BB
' HB
'
AA
'
HA
ABC
HAC ABC
HAB ABC
HBC
(0,5điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
; MACM AIIC
BI
AI NB
AN
;
AC
AB
IC
BI
(0,5điểm )
AM IC BN CM
AN
.
BI
1 BI
IC AC
AB AI
IC BI
AI AC
AB MA
CM
.
NB
AN
.
IC
BI
(0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,5điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,5điểm)
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2
(AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
4 ' CC ' BB ' AA
) CA BC AB
(
2 2
2
2
(0,5điểm) (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều)
Câu 6 : (1đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
Trang 4xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25