Đề thi HSG toán 9 +Đáp án

Bài 5: Từ M là 1 điểm bên ngoài đờng tròn O kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đờng tròn đó.. Chứng minh rằng khi cát tuyến MAB quay quanh M ta luôn có MT2 = MA.MB b.. Tính b

phòng giáo dục đào tạo gia viễn Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1:

Rút gọn các biểu thức sau

a M =

45 27 2 18 3

20 12 2 8 3









b N =

6 )

2 3 (

2 2 4

2









x x

x

Bài 2:

Giải phơng trình sau:

3 x 6  x  3 x 6  x  3

Bài 3:

Cho 2 phơng trình ax2 + bx + c = 0 (1)

và cx2 + bx + a = 0 (2)

trong đó a ≥ c > 0 Giả sử (1) và (2) cùng vô nghiệm Chứng minh rằng: b < a + c

Bài 4:

Cho phơng trình x2 + (2m - 1)x - m = 0 có 2 nghiệm x1, x2 Tìm m để x12 + x2 - 6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5:

Từ M là 1 điểm bên ngoài đờng tròn (O) kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đờng tròn đó

a Chứng minh rằng khi cát tuyến MAB quay quanh M ta luôn

có MT2 = MA.MB

b Cho MT = 20cm và cát tuyến dài nhất cùng xuất phát từ M bằng 50cm Tính bán kính của đờng tròn

phòng giáo dục đào tạo gia viễn hớng dẫn chấm Đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút

a M =

5 3 3 3 2 2 3 3

5 2 3 2 2 2 2 3







=

) 5 3 2 2 3

(

3

) 5 3 2 2 3

(

2









=

3

2

1,0đ 0,5đ

b N =

6

2 3

2 2 2

4

2









x x

x

x

=

) 2 (

3 ) 2 (

2 2 2

2

2









x x

x

x

=

) 3 )(

2 (

2 2 2

2







x x

x

=

3

1

2



x ( x2 ≠ 2)

1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ

Đặt X = 3 x 6  x thì   

2

9 6

3   X2

x x

Ta có phơng trình: X -

2

9

2 

 X2 - 2X - 3 = 0

 X = -1 hoặc X = 3

Với X = -1 ta có 3 x 6  x = -1: vô nghiệm

Với X = 3 ta có 3 x 6  x = 3 có hai nghiệm

x = 6; x = -3

Vậy phơng trình có hai nghiệm: x = 6; x = -3

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

Ta có: 1 = 2 = b2 - 4ac

Vì cả hai phơng trình vô nghiệm   < 0  b2 < 4ac

mà 4ac < (a + c)2

do đó b2 < (a + c)2

 b < a + c

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

Ta có x12 + x2 - 6 x1 x2 = ( x1 + x2)2 - 8 x1x2

= (1 - 2m)2 + 8m

= 4m2 + 4m + 1

= (2m + 1)2  0

khi đó x12 + x2 - 6 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi m=-1/2

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

- Vẽ hình đúng

0,5đ

a Ta có MTA = MBT ( cùng chắn cung TA)

TMB chung

T

B

D C

A



MT

MB MA

MT

  MT2 = MA.MB

0,5đ 0,5đ 0,5đ

b Trớc hết chứng minh cát tuyến dài nhất xuất phát từ M là

cát tuyến MCD qua tâm O

Thật vậy: CBD vuông ở B nên CD > CB

mà MD = MC + CD > MC + CB > MB

Theo ý a ta có: MT2 = MC.MD

 202 = (50 - 2R).50

 R = 21

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

L

u ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.