6 điểm Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.. b Gọi H là giao điểm của AE và BC.. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
LƯU Ý :
- Thí sinh không được mang bất cứ tài liệu nào vào phòng thi
- Không được sử dụng máy tính cầm tay
Câu 1.(4 điểm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 2
( 2)( 2 2) 1
x x x x
b) Rút gọn biểu thức: A = 2 2 2 2
) 1 (
1 2
) 4 3 (
7 )
3 2 (
5 )
2 1 (
3
n n n
Câu 2.(4 điểm)
a) Cho 1 11 0
z y
x Tính 2 2 2
z
xy y
xz x
yz
b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: 2 2 2
– – 3 – 2 4 0
x y z xy y z
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương
b) Cho a a1 , , , 2 a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3
Chứng minh rằng: 3 3 3
1 2 2016
A a a a chia hết cho 3
Câu 4 (6 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB
vẽ các hình vuông AMCD, BMEF
a) Chứng minh rằng: AE BC
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M
di động trên đoạn thẳng AB
Câu 5 (2 điểm)
Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:(abc) 2 a2 b2 c2
Tính giá trị của biểu thức: P=
ab c
c ac b
b bc a
a
2 2
2 2
2 2
2
HẾT
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán
Câu 1
(4
điểm)
a
2đ
2 ( 2)( 2 2) 1
x x x x (x2 2 )(x x2 2x 2) 1
(x 2 )x 2(x 2 ) 1x
= (x2 2x 1) 2
4 (x 1)
0.5
0.5 0.5 0.5
b
2 2
1 1
) 1 (
) 1 ( ) 1 (
1 2
n n n
n
n n
n n n
=> B = …=1- 2 ( 1 ) 2
) 2 ( ) 1 (
1
n n n
1 1
Câu 2
( 4
điểm )
a
2đ
Ta cã abc 0 th×
c b
(v× abc 0 nªn ab c) Theo gi¶ thiÕt 11 1 0
z y
x x13 y13 z13 xyz3 .
yz xz xy xyz xyz xyz A
0.5 0.5 0.5
0.5
b
2đ
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0 <=> (x2 – xy +
4
2
y ) + (z2 – 2z + 1) + (43 y2 – 3y + 3) = 0
<=> (x - 2y )2 + (z – 1)2 + 43 (y – 2)2 = 0
Có các giá trị x,y,z là: (1;2;1)
1 0,5 0.5
Câu 3
(4
điểm)
a
2đ
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z
x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A là số chính phương
0.5 0.5 0.5 0.5
Trang 32đ Dễ thấy
a a a a a là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
A a a a a a a a a a
(a a) (a a ) (a a )
Mà a a1 , , 2 a2013 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3
Do vậy A chia hết cho 3.
0.5 0.5
0.5 0.5
Câu 4
(6
điểm )
K
I O D
C
B
F E
H
0,5
a
2đ
∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM
Mà BCM + MBC = 90 0 EAM + MBC = 90 0
AHB = 90 0
Vậy AE BC
1 0,5 0,5 b
2đ
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
∆DHM vuông tại H
DHM = 90 0
Chứng minh tương tự ta có: MHF = 90 0
Suy ra: DHM + MHF = 180 0
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5 0,5 0,5 0,5 c
1,5đ
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: DMF = 90 0 MF DM mà IO DM IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF
Kẻ IK AB (KAB)
IK là đường trung bình của hình thang ABFD
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,5 0,5 0,5
Câu 5
( 2
điểm )
(a+b+c)2= 2 2 2 0
b c ab ac bc a
) )(
( 2
2 2
2 2
2
c a b a
a bc
ac ab a
a bc
a
a
0,5 0,5
Trang 4Tương tự: 2 2 2
b ac b a b c
2 ( ) )
2 2
2
b c a c
c ac
c
c
1
P
a b a c a b b c a c b c
a b a c b c
a b a c b c
0,5
0,5
Lưu ý : Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.