Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đường vuông góc với DE, cắt BC tại F.. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau giả thiết điểm kiểm tra là số tự nhiên từ
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
HUYỆN GIỒNG RIỀNG VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011
= = = 0o0 = = = Môn: TOÁN - lớp 8 , thời gian: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x4 + 64
b/ x3 – 19x – 30
c/ x5 + x – 1
Bài 2: (4 điểm) Thực hiện các phép tính rút gọn biểu thức:
a/ M = (a + b + c)2 + (a – b – c )2 + (b – c – a)2 + (c – a – b )2
b/ N 1235.2469 1234
1234.2469 1235
−
=
+
Bài 3: (4 điểm) Cho a + b > 1 Chứng minh rằng a4 + b4 > 1
8
Bài 4: (4,5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có µ µ 90 ;0
2
CD
A D= = AB AD= = Qua điểm E
thuộc cạnh AB, kẻ đường vuông góc với DE, cắt BC tại F
a/ Chứng minh: Tam giác BCD vuông cân
b/ Chứng minh: ED = EF
Bài 5: (1,5 điểm) Có 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học
sinh được điểm 10 Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (giả thiết điểm kiểm tra là số tự nhiên từ 0 đến 10)
Trang 2
-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8
Bài 1: (6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x4 + 64
= x4 + 16x2 + 64 – 16x2 (0,5 đ)
= (x2 + 8)2 – (4x)2 (0,5 đ)
= (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8) (0,5 đ)
b/ x3 – 19x – 30
= x3 – 9x – 10x – 30 (0,5 đ)
= x(x – 3)(x + 3) – 10(x + 3) (0,5 đ)
= (x + 3)(x2 + 3x – 10) (0,5 đ)
= (x + 3)[(x2 – 2x) + (5x – 10)]
= (x + 3)[x(x – 2) + 5(x – 2)] (0,5 đ)
= (x + 3)(x – 2)(x + 5) (0,5 đ)
c/ x5 + x – 1
= x5 + x2 – x2 + x – 1 (0,5 đ)
= x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) (0,5 đ)
= x2(x + 1)( x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) (0,5 đ)
= (x2 – x + 1)(x3 + x2 – 1) (0,5 đ)
Bài 2: (4 điểm) Thực hiện các phép tính rút gọn biểu thức:
a/ M = (a + b + c)2 + (a – b – c )2 + (b – c – a)2 + (c – a – b )2
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (0,5 đ)
(a – b – c )2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac (0,5 đ)
(b – c – a)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac (0,5 đ)
(c – a – b )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab – 2bc – 2ac (0,5 đ)
M = 4a2 + 4b2 + 4c2 (0,5 đ)
b/ N 1235.2469 1234
1234.2469 1235
−
=
+
đặt x = 1234 ta có: N =
( 1).(2 1) 2 2 1 2 2 1 1 (2 1) ( 1) 2 1 2 2 1
Trang 3Bài 3: (4 điểm) Cho a + b > 1 Chứng minh rằng a4 + b4 > 1
8
Ta có a + b > 1 > 0
⇒ (a + b)2 > 1 ⇔ a2 + 2ab + b2 > 1 (1) (0,5 đ)
Mà: (a – b)2 > 0 ⇔ a2 - 2ab + b2 > 0 (2) (0,5 đ)
Cộng (1) và (2) ta có : 2(a2 + b2) > 1 (0,5 đ)
⇒ a2 + b2 > 1
⇒ a4 + 2a2b2 + b4 > 1
4(3) (0,5 đ)
Mặc khác: (a2 – b2)2 > 0 ⇔ a4 - 2a2b2 + b4 > 0 (4) (0,5 đ)
Cộng (3) và (4) ta được: 2(a4 + b4) >1
⇒ a4 + b4 >1
Bài 4: (4,5 điểm)
a/ Chứng minh: ∆BCD vuông cân
Kẻ BH ⊥DC ⇒ ABHD là hình vuông (0,25 đ)
⇒ AB = DH = BH = AD =
2
DC
(0,25 đ)
⇒DH = HC = BH =
2
DC
(0,25 đ)
⇒ ∆BCD vuông cân tại B (0,25 đ)
b/ Từ a/ ⇒ =Cµ 450⇒·ABC=1350 (0,25 đ)
Gọi M là trung điểm của DF
Xét ∆EDF (Eµ =900) có EM là trung tuyến
2
DF
EM MF
⇒ ∆MBE cân tại M ⇒ ·MEB MBE=· (0,5 đ)
Xét ∆BDF (Bµ =900) có BM là trung tuyến
2
DF
BM MF
⇒ ∆MBF cân tại M ⇒MFB MBF· =· (0,5 đ)
Xét tứ giác MEBF có :
· 3600 2.1350 900
EMF
Vậy trong ∆EDF có EM là đường cao cũng là trung tuyến,
Bài 5: (1,5 điểm)
Theo đề bài có 45 – 2 = 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm từ 2 đến 9(0,5 đ)
Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không
quá 5.8 = 40 học sinh, ít hơn 43 học sinh (0,5 đ)
Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (0,5 đ)
//
//
H M
F A
B E