De thi HSG toan 8 co dap an 1542016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Năm học: 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x3 − 8x2 + 7x

b) x3 + 2016x2 + 2016x+ 2015

c) (x+ 3)(x+ 7)(x+ 11)(x+ 15) 144 −

d) 4x4 + 1

Bài 2:: (1.5điểm)

a) Giải phương trình : 2016 2015

b) Tính B = 2 2 2 2 2

1 + + + ×××+ 2 3 2015 2016 +

Bài 3:( 1.5 điểm).

a) Cho a> 0;b> 0 và a b+ ≤ 4 Tìm GTNN của biểu thức: P = 2 2

2

+ +

a b ab b) Tìm các số tự nhiên x,y biết: 1711< <x y 2923 và 9x= 8y− 31

Bài 4: (2,0 điểm)

a) Cho abc = 1 Rút gọn biểu thức: M = a

+ + + +

b) Cho a3 + =b3 c ab c(3 − 2) và a b c+ + = 3 Tính GT của BT: K = 675(a2016 +b2016 +c2016)+ 1

Bài 5: (3,0 điểm)

Cho O là trung điểm của đoạn AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.

a Chứng minh AB 2 = 4 AC.BD

b Kẻ OM vuông góc CD tại M Chứng minh AC = CM

c Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H Chứng minh BC đi qua trung điểm MH

d Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG

MÔN: TOÁN 8

m

Bài 1

(1,5

đ)

a) 3 2

− +

x x x=x x( 2 − + 8x 7)= ( 2 )

− − +

x x x x =x x x[ ( − − 1) 7(x− 1)]=x x( − 7)(x− 1) 0,5 b) x3 + 2016x2 + 2016x+ 2015=x3 − + 1 2016(x2 + +x 1)

=(x− 1)(x2 + + +x 1) 2016(x2 + +x 1)=(x2 + +x 1)[(x− + 1) 2016]

=(x2 + +x 1)(x+ 2015)

0,25 0,25 c)(x+ 3)(x+ 7)(x+ 11)(x+ 15) 144 − =(x+ 3)(x+ 15)(x+ 7)(x+ 11) 144 −

= 2

(x + 18x+ 45)(x+ 18x+ 77) 144 − = 2 2 2

(x + 18x+ 45) + 2(x + 18x+ 45)16 256 400 + −

=(x2 + 18x+ 45) 2 − 20 2=(x2 + 18x+ 65)(x2 + 18x+ 25)=(x+ 5)(x+ 13)(x+ + 9 56)(x+ − 9 56)

0,25 0,25 d)4x4 + 1= 4x4 + 4x2 + − 1 4x2=(2x2 + 1) 2 − (2 )x 2

=(2x2 − 2x+ 1)(2x2 + 2x+ 1)

0,25 0,25

Bài 2

(1,5

đ)

a) Giải phương trình : x− 22016+ −x 32015 = 1 Dễ thấy x = 2 hoặc x = 3 là nghiệm

của phương trình

- Với x> 3 ta có: x− > ⇒ − 2 1 x 22016+ −x 32015> ⇒ 1 PT vô nghiệm

- Với x< 2 ta có: x− > ⇒ − 3 1 x 22016+ −x 32015> ⇒ 1 PT vô nghiệm

- Với 2 < x < 3 Ta có: 1 > − >x 2 0; 1 3 > − >x 0 ⇒ − (x 2) 2015 < ⇒ − 1 (x 2) 2016 < −x 2;

(3 −x) < ⇒ − 1 (3 x) < − 3 x; ⇒ −x 22016+ −x 32015< − + − = ⇒x 2 3 x 1 PTVN

- Vậy nghiệm của PT là x = 2; x = 3

0,25 0,25

1 + + + ×××+ 2 3 2015 2016 + ( 2 2 2 2 2)

⇒ B= + + + ×××+ +

⇒ B= − + − + − + ×××+ − + + +

2(1.2 2.3 3.4 2015.2016)

+ + + + ×××+ Đặt: K=(1.2 2.3 3.4 + + + ×××+ 2015.2016)

3 (1.2.3 2.3.3 3.4.3 2015.2016.3)

⇒ K = + + + ×××+

3K = [1.2.(3 0) 2.3.(4 1) 3.4.(5 2) − + − + − + ×××+ 2015.2016.3(2017 2014)] −

3K = 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 − + − + ×××− 2014.2015.2016 2015.2016.2017 +

2 2016(1 2016 1350.2017) 2016.2017.1351 1008.1351.2017

0,25 0,25 0,5

Bài 3

(2,0

đ)

a) 0; 0 1 0;

2

> > ⇒ >

ab (Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương: 2 2

1

+

a b và 1

2ab)

2

2

+ + ab a b ab

a b (1) (Dấu bằng xãy ra ⇔a = b) (Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương:(a2 +b2) và 2ab)

(a +b ) 2 + ab≥ 2 (a +b )2ab (2) (Dấu bằng xãy ra ⇔a = b)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được:

P

a b ab a b ab a b (Vì a b+ ≤ 4 )

- Vậy Pmin= 1

4; Dấu = xãy ra ⇔ a b+ = 4 Kết hợp với ở trên ta có dấu = xãy ra ⇔

a = b = 2

0,25

0,25 0,25 0,25

Tìm các số tự nhiên x,y biết: 1711< <x y 2329 và 9x= 8y− 31

Ta có: x N y N∈ ; ∈ và 9x= 8y− ⇒ 31 8y− 31 9 M ⇒ 9y− 27 ( − +y 4) 9 M ⇒ +y 4 9 M

Từ: 9 8 31 8 31 8 31

−

= − ⇒ = −x = y

y y y Lại có: 1711< <x y 2329⇒1711 8< y9−y31 23< 29

⇔ ≤ ≤y ⇔ ≤ + ≤y ⇔ < + <y ⇒ + =y ⇒ =y ( Vì y+ 4 9 M)

25

⇒ =x vậy các số tự nhiên (x; y) cần tìm là ( 25; 32) và phân số đó là: 25

32

0,25 0,25

0,25 0,25

Bài 4

(2,0

đ)

a) Thay abc = 1 vào

1

c

ac c+ + , nhân cả tử và mẫu của 1

b

bc b+ + với a ta có:

a

1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1

M

a bc b ac c abc ab

+ + + +

0,5

0,5 B) Từ a3 + =b3 c ab c(3 − 2) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

3 3 3

3 3

a b c a ab b ac bc c ab a b c

a b c a b c ab ac bc

⇒ + + − =

⇒ + + − + + =

⇒ + + + + − − + − + + =

⇒ + + + + − − − =

⇒a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c ≠ 0)

⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0

0,25

⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0

Vì (a – b)2 ≥ 0 ∀a, b; (b – c)2 ≥ 0 ∀b,c; (c – a)2 ≥ 0 ∀a, c

Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 ∀a, b,c ;

Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 ∀a, b,c

Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0

⇒a = b = c Lại có: a + b + c = 3⇒a = b = c = 1

Vậy: K = ( 2016 2016 2016)

675 1 + 1 + 1 + = 1 675.3 1 2016 + =

0,25

0,25

0,25

Bài 5

(3,0đ)

Hình vẽ:

a) Chứng minh: ΔOAC ΔDBO (g - g) ∽

OA AC

OA.OB AC.BD

DB OB

2

AB AB

AC.BD AB 4AC.BD

2 2

0,25 0,25

b) Theo câu a ta có: ΔOAC ΔDBO (g - g) OC AC

OD OB

⇒ =

∽

Mà OA OB OC AC OC OD

= ⇒ = ⇒ = +) Chứng minh: ΔOAC ΔDOC (c - g - c) ∽ ⇒ ACO OCM· = ·

+) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) ⇒ AC MC = (đpcm)

0,25 0,25

c)Ta có ΔOAC = ΔOMC OA OM; CA CM ⇒ = = ⇒ OC là trung trực của AM

⇒ OC ⊥ AM,

Mặc khác OA = OM = OB ⇒ ∆AMB vuông tại M

⇒ OC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI

+) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi qua trung điểm

AI ⇒ IC = AC

+) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: MK BK KH

IC BC AC

⇒ = =

Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒ BC đi qua trung điểm MH (đpcm)

0,25

0,25 0,25

0,25 d) Tứ giác ABDC là hình thang vuông

ABDC

1

S (AC BD).AB

2

Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có

2

2 ABDC

Dấu “=” xảy ra ⇔ AC BD AB OA

2

= = = Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA

0,25

0,25 0,25 0,25