Độ đo Gauss trên không gian Hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘINGÔ THỊ HƯỜNG Tên đề tài ĐỘ ĐO GAUSS TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGÔ THỊ HƯỜNG

Tên đề tài

ĐỘ ĐO GAUSS TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Ngô Hoàng Long

HÀ NỘI, NĂM 2017

Mục lục

1.1 Không gian xác suất 1

1.2 Toán tử trong không gian Banach 6

1.3 Không gian Hilbert 8

2 Độ đo Gauss trên không gian Hilbert 17 2.1 Sơ lược 17

2.2 Không gian Hilbert một chiều 17

2.3 Không gian Hilbert hữu hạn chiều 19

2.4 Độ đo trên không gian Hilbert 23

2.5 Độ đo Gauss 27

2.6 Các biến ngẫu nhiên Gauss 35

2.7 Không gian Cameron-Martin và tiếng ồn trắng 44

3 Sự tương đương và kì dị của các độ đo Gauss trên không gian Hilbert 50 3.1 Giới thiệu và đặt vấn đề 50

3.2 Tính tương đương và kì dị của tích các độ đo 51

3.3 Công thức Cameron-Martin 58

3.4 Định lý Feldman-Hajek 59

i

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Độ đo Lebesgue đóng vai trò trung tâm trong giải tích trên không gian hữu hạn chiều.Một trong những đặc điểm quan trọng của độ đo Lebesgue đó là tính tịnh tiến bất biến,tức là độ đo của một tập sẽ không thay đổi khi ta tịnh tiến toàn bộ tập đó theo một véc

tơ bất kì Trong không gian vô hạn chiều, người ta đã chứng minh được rằng chỉ có độ đotầm thường đồng nhất 0 là có tính chất tịnh tiến bất biến, tức là không tồn tại độ đo kiểuLebesgue trên không gian vô hạn chiều Do đó để nghiên cứu giải tích trên không gian vôhạn chiều người ta đã đưa vào độ đo Gauss

Với mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn về độ đo Gauss, tôi quyết định chọn đề tài “Độ

đo Gauss trên không gian Hilbert” cho luận văn thạc sĩ của mình

Trước tiên luận văn sẽ trình bày phương pháp xác định độ đo Gauss trên không gianchiều hữu hạn và sau đó lấy tích vô hạn các độ đo đó trên không gian Hilbert vô hạn chiều.Tiếp đó, cụ thể hóa độ đo Gauss không suy biến trên không gian Hilbert vô hạn chiều táchđược sinh ra không gian Cameron-Martin và tiếng ồn trắng Cuối cùng, luận văn trình bày

về tính tương đương và kì dị của các độ đo Gauss và công thức Cameron-Martin, một công

cụ cơ bản để xác định tính liên tục tuyệt đối và kì dị của các độ đo

II MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về độ đo Gauss trong không gian Hilbert vô hạn chiều tách được, tínhtương đương và kì dị của các độ đo

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

• Độ đo Gauss trên không gian Hilbert

• Tính tương đương và kì dị của các độ đo Gauss

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu lý luận

ii

V CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Nội dung của luận văn bao gồm ba chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương II: Độ đo Gauss trên không gian Hilbert

Chương III: Sự tương đương và kì dị của các độ đo Gauss trên không gianHilbert

1

Luận văn tốt nghiệp với đề tài "Độ đo Gauss trên không gian Hilbert" là côngsức nghiên cứu của em trong hai năm học thạc sỹ tại trường Đại học Sư phạm Hà Nộicùng với sự giúp đỡ của một số cá nhân và tập thế.

" Một cây làm chẳng nên non" Đúng vậy, đề tài của em sẽ không thể có và không thểhoàn thành nếu không có sự giúp đỡ của thầy - TS Ngô Hoàng Long Vì vậy, em xin gửilời cảm ơn sâu sắc tới thầy - Người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo cho emtrong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Ngoài ra, em cũng xin gửi lời cảm ơn tập thể giảng viên khoa Toán, trường Đại học Sưphạm Hà Nội - những người thầy đã truyền cho em tri thức, giúp em có kiến thức căn bản

để hoàn thành luận văn một cách thuận lợi

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình đã luôn ở bên, độngviên, giúp đỡ và tạo điều kiện giúp em trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu

Em rất mong nhận được những góp ý đáng quý của các thầy cô, bạn bè và những ngườiquan tâm để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 1 tháng 5 năm 2017

Sinh Viên

Ngô Thị Hường

0

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất

Với A ∈ F bất kỳ, ký hiệu Ac là phần bù của A và hàm chỉ tiêu 1A xác định như sau:

Luật của X là độ đo xác suất X]P trên (E, B(E)) xác định như sau:

X]P(I) = P(X−1(I)) = P(X ∈ I), I ∈ B(E)

Mệnh đề 1.1 Cho X là biến ngẫu nhiên trong (Ω, F , P) với giá trị trong E

Cho ϕ : E → R là ánh xạ Borel bị chặn Khi đó, ta có:

Chứng minh Do ϕ là ánh xạ Borel bị chặn nên ta chỉ cần chứng minh định lý khi hàm

ϕ = 1I với I ∈ B(E) Ta có: với mọi ω ∈ Ω,

ϕ(x)X]P(dx).

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.2 (Định lý Randon-Nikodym) Giả sử µ và ν là hai độ đo xác suất trên (Ω, F ).Nếu µ  ν thì tồn tại duy nhất một hàm ρ ∈ L1(Ω, F , ν) sao cho:

Giả sử P, Q là các độ đo xác suất trên (Ω, F ) thỏa mãn P  Q Theo Định lý 1.2, tồn tạihàm Z = dP

dQ Khi đó, EP(X) = EQ(XZ) với mọi biến ngẫu nhiên X

!

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 3

= EQ(XZ)

Bước 2: Nếu X > 0 Khi đó, tồn tại dãy biến ngẫu nhiên đơn giản Xn ↑ X

Theo Bước 1 ta có: EP(Xn) = EQ(XnZ) Do Xn là các biến ngẫu nhiên đơn giản nên

Một số tính chất của hàm đặc trưng

Giả sử X có hàm phân phối F và ϕ(t) là hàm đặc trưng của nó Khi đó,

a |ϕ(t)| 6 ϕ(0) = 1, |ϕ(t + h) − ϕ(t)| 6 2p1 − Reϕ(h), trong đó Rez là phần thựccủa z

b ϕ(t) liên tục đều trên R

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 5

trong đó, A = (aij)ni,j=1 là ma trận đối xứng, xác định dương

Khi đó, hàm đặc trưng của X là:

ϕX(t) = exp

i(t − a) − 1

2(M t, t)

,trong đó, M = A−1

Định lý 1.3 Đối với véc tơ a ∈ Rn bất kỳ và ma trận đối xứng xác định dương M cấp ntùy ý, hàm:

ϕX(t) = exp{i(t − a) − 1

2(M t, t)}, t ∈ Rn, (1.3)

là hàm đặc trưng của phân phối chuẩn N (a, M ) với hàm mật độ tương ứng được cho bởi(1.2), trong đó M = A−1

Ý nghĩa xác suất của phân phối chuẩn nhiều chiều:

Giả sử X = (X1, , Xn) với hàm đặc trưng ϕ(t) có dạng (1.3), M = (mij)ni,j=1 Khi đó,trong (1.3) ta có: a = (EX1, , EXn)0, còn M chính là ma trận covarian của X nghĩa là

M = (cov(Xi, Xj))ni,j=1

Véc tơ X có phân phối N (a, M ) còn được gọi là véc tơ Gauss

Chú ý: Xét công thức (1.3) với M là ma trận suy biến, xác định không âm Khi đó, ϕ(t)cũng là hàm đặc trưng của phân phối nào đó trên Rn; với a, M được xác định như trên.Véc tơ X với hàm đặc trưng như vậy cũng được gọi là véc tơ Gauss

Tương quan giữa các véc tơ Gauss

Giả sử X, Y là hai véc tơ ngẫu nhiên Gauss với giá trị trong Rn, Rm Xét Z là véc tơ ngẫunhiên với giá trị trong Rn+m có dạng Z = (X, Y )0

Ký hiệu: MX, MY, MZ là các ma trận covarian của X, Y, Z tương ứng Còn MX,Y là matrận covarian của X và Y Nghĩa là,

MX,Y = E(X − EX)(Y − EY )0 = EXY0− (EX)(EY )0.Lúc đó,

MZ = MX MX,Y

MX,Y0 MY

!

Định lý 1.4 Nếu X, Y là các véc tơ Gauss độc lập thì Z cũng là véc tơ Gauss và MX,Y = 0.Ngược lại, nếu Z là véc tơ Gauss và MX,Y = 0 thì X và Y độc lập

Định lý 1.5 Giả sử MX không suy biến Lúc đó:

E(Y | X = x) = EY + MY,XMX−1(x − EX)

1.2 Toán tử trong không gian Banach

1.2.1 Toán tử compact

Định nghĩa 1.6 Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính f đượcgọi là compact nếu f ({x ∈ E : kxk6 1}) là compact tương đối trong F Nghĩa là: bao đóngcủa nó là compact trong E

Mệnh đề 1.7 Giả sử E và F là các không gian định chuẩn Khi đó, đối với toán tử tuyếntính f : E −→ F, các khẳng định sau tương đương

i) f là compact

ii) Với mọi dãy bị chặn {xn} ⊂ E, tồn tại một dãy con {xnk} để f (xnk) hội tụ trong F.Mệnh đề 1.8 Nếu f, g là các toán tử compact từ không gian định chuẩn E tới không gianđịnh chuẩn F thì αf + βg cũng là toán tử compact

Mệnh đề 1.9 Nếu f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, G), ở đây E, F, G là các không gian định chuẩn.Khi đó, g ◦ f : E −→ G là compact nếu f hoặc g là compact

Định lý 1.10 Nếu {fn} ∈ L(E, F ) là dãy các toán tử compact giữa các không gian Banach

E và F hội tụ tới f ∈ L(E, F ) thì f cũng là toán tử compact

g.f := g ◦ f, ∀g, f ∈ L(E)

Khi đó:

kgf k = kg ◦ f k ≤ kgkkf k, ∀g, f ∈ L(E)

Định nghĩa 1.12 (Đại số các toán tử)

Đại số như vậy ta thường gọi là đại số Banach Đại số L(E) có phần tử đơn vị là toán tửđồng nhất 1E : E −→ E sao cho f.1E = 1E.F = f với ∀f ∈ L(E)

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 7

Định nghĩa 1.13 (Hàm giải tích giá trị Banach)

Giả sử D là tập mở trong K và f : D −→ E là hàm trên D với giá trị trong không gianBanach E Ta nói:

a f giải tích tại λ0 ∈ D nếu ∃δ > 0 sao cho:

b f giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi λ ∈ D

Định nghĩa 1.14 Giả sử E là không gian Banach và f ∈ L(E) là toán tử trong E Tanói, λ ∈ K là giá trị chính quy của f nếu f − λ1E là khả nghịch trong L(E)

Trong trường hợp ngược lại, λ được gọi là giá trị phổ của f Từ nay về sau, ta viết f − λthay cho f − λ1E Ký hiệu, S(f ) là tập tất cả các giá trị chính quy của f, còn σ(f ) là tậptất cả các giá trị phổ của f Ta có: σ(f ) = K \ S(f )

Trong không gian Banach hữu hạn chiều thì giá trị phổ còn được gọi là giá trị riêng.Định lý 1.15 Giả sử E là không gian Banach trên trường K thực hoặc phức Khi đó, phổσ(f ) của f ∈ L(E) là tập compact trong K và hàm λ 7→ (f − λ)−1 là giải tích trên S(f ).Định nghĩa 1.16 Ta gọi bán kính phổ của f ∈ L(E) là số:

rf =X{|λ| : λ ∈ σ(f )}

Nếu K = R thì có thể σ(f ) = ∅ Và trong trường hợp này, ta coi rf = −∞

Mệnh đề 1.17 σ(A) = σ(A0), ∀A ∈ L(E)

Định lý 1.18 Giả sử A ∈ L(E) là toán tử compact và λ ∈ K, λ 6= 0 Khi đó,

Nλ := ker(A − λ) là không gian con hữu hạn chiều, còn Rλ = Im(A − λ) là không giancon đóng đối chiều hữu hạn tức là dim(ERλ) < ∞

Định nghĩa 1.19 Giả sử A ∈ L(F ) Số λ ∈ K được gọi là giá trị riêng của A nếu tồntại x ∈ E, x 6= 0 để Ax = λx Véc tơ x như vậy được gọi là véc tơ riêng của A ứng với giátrị riêng λ Không gian Nλ = Ker(A − λ) gọi là không gian riêng của giá trị riêng λ.Định lý 1.20 Giả sử A ∈ L(E) là toán tử compact và λ 6= 0 là giá trị phổ của A Khi

đó, λ là giá trị riêng của A

Nhận xét 1 Nếu E là không gian Banach vô hạn chiều và A ∈ L(E) compact thì 0 ∈ σ(A).Nên ngoài giá trị phổ λ = 0, phổ σ(A) của A gồm toàn các giá trị riêng

Định lý 1.21 Phổ σ(A) của mọi toán tử compact A ∈ L(E) chỉ có một số hữu hạnhay đếm được các giá trị khác nhau Trong trường hợp sau có thể viết σ(A) = {λn} với

|λ1| > > |λn| > và lim

n→∞λn= 0

1.3 Không gian Hilbert

1.3.1 Dạng Hermite và tích vô hướng

Định nghĩa 1.22 Cho E là không gian véc tơ (phức) Dạng Hermite trên E là ánh xạ

Giả sử ϕ là dạng Hermite không âm trên không gian véc tơ E Khi đó,

|ϕ(x, y)|2 6 ϕ(x, x)ϕ(y, y), ∀x, y ∈ E

Mệnh đề 1.25 (Bất đẳng thức Minkowski)

Nếu ϕ là dạng Hermite không âm trên không gian véc tơ E thì:

pϕ(x + y, x + y) 6pϕ(x, x) +pϕ(y, y), ∀x, y ∈ E

1.3.2 Tích vô hướng và không gian Hilbert

Định nghĩa 1.26 Tích vô hướng trên không gian véc tơ E là dạng Hermite ϕ > 0 trên

E thỏa mãn thêm điều kiện:

ϕ(x, x) = 0 =⇒ x = 0

Sau đây, ta ký hiệu ϕ(x, y) bởi hx, yi và gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x và y

Bổ đề 1.27 Dạng Hermite ϕ > 0 trên E là tích vô hướng nếu và chỉ nếu ϕ không suybiến, có nghĩa là:

x ∈ E, x = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y) = 0 ∀y ∈ E

Nếu không gian định chuẩn này là đầy thì E gọi là không gian Hilbert.

Mệnh đề 1.29 Nếu E là không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng của nó liên tục trên

E × E

Mệnh đề 1.30 (Đẳng thức Pythagore)

Nếu x ⊥ y thì:

kx + yk2 = kxk2+ kyk2Tổng quát: Nếu x1, , xn ∈ E và xi ⊥ xj với mọi i 6= j thì:

Như vậy, {xα}α∈I là hệ trực chuẩn nếu và chỉ nếu:

Giả sử, {xn}n>1 là một dãy các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian Hilbert E Khi

đó, tồn tại một dãy trực giao {yn}n>1 sao cho yn là tổ hợp của x1, , xn với mọi n > 1

và gọi là phần bù trực giao của M

Bổ đề 1.37 Cho tập con M ⊂ E Khi đó,

a M ∩ N ⊂ {0}, với mọi N ⊥ M

b M ⊆ (M⊥)⊥ := M⊥⊥

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 11

c M⊥ là không gian con đóng của E

Định nghĩa 1.38 Giả sử M, N là hai không gian con đóng của E Ta nói E là tổng trựcgiao của M và N nếu thỏa mãn hai điều kiện:

a E = M + N

b M ⊥ N

Định lý 1.39 (về sự tồn tại của phép chiếu trực giao)

Giả sử F là không gian con đóng của không gian Hilbert E Khi đó, tồn tại phép chiếu trựcgiao từ E lên F

Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert

Định lý 1.40 (Riesz)

Giả sử, E là không gian Hilbert Khi đó:

a Với mọi a ∈ E, tương ứng x 7→ hx, ai xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục fa trên

E với kfak = kak

b Ngược lại, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E, tồn tại duy nhất a ∈ E

để f = fa, tức là f (x) = hx, ai x ∈ E

Nhận xét 2 Nếu E là không gian Hilbert thì công thức:

(REx)(y) = hy, xi, x, y ∈ E,xác định một đẳng cấu phản tuyến tính giữ nguyên chuẩn giữa E và E0 Ngoài ra RE thỏamãn:

u(x) = hx, RE−1ui, u ∈ E0, x ∈ E

Như vậy công thức:

hu, vi = hR−1E v, R−1E ui, u, v ∈ E0,xác định một tích vô hướng trên E0 thỏa mãn:

kuk2 = hu, ui, u ∈ E0.Vậy E0 là không gian Hilbert

Định lý 1.41 Mọi không gian Hilbert là phản xạ

Giả sử {en}n≥1 là hệ trực chuẩn trong E Khi đó:

Định lý 1.46 Giả sử E là không gian Hilbert Khi đó, các khẳng định sau tương đương:

a E có cơ sở trực chuẩn đếm được

b E đẳng cấu giữ nguyên chuẩn với `2

c E là vô hạn chiều khả ly Điều đó có nghĩa là E có một tập con đếm được trù mậtkhắp nơi

Định lý 1.47 Giả sử E là không gian Hilbert (khác 0.) Khi đó, E có một hệ trực chuẩnđầy đủ

1.3.4 Toán tử trong không gian Hilbert

Toán tử liên hợp

Giả sử E, F là không gian Hilbert Định lý Riesz 1.40 cho ta hai đẳng cấu phản tuyếntính giữ nguyên chuẩn RE : E −→ E0 và RF : F −→ F0 Xét ánh xạ tuyến tính liên tục

d Nếu A là đẳng cấu thì A∗ là đẳng cấu và (A∗)−1 = (A−1)∗.

Định lý 1.48 Giả sử E là không gian Hilbert và A ∈ L(E) Khi đó, E là tổng trực giaocủa N (A) và R(A∗) cũng như N (A∗) và R(A) Ở đây N (A), N (A∗) và R(A), R(A∗) được

ký hiệu là hạt nhân và ảnh của A và A∗

Định lý 1.49 Giả sử A ∈ L(E) và n(A) là bao đóng của tập {hAx, xi : kxk = 1} Khi

đó, σ(A) ⊂ n(A) Sau này, n(A) được gọi là miền số của A

Mệnh đề 1.52 Giả sử A ∈ L(E) là tự đẳng cấu.Khi đó, A là tự liên hợp nếu và chỉ nếu

b Nếu p : E −→ E là toán tử chiếu trực giao thì p là tự liên hợp.

Định lý 1.55 Giả sử λ và µ là hai giá trị riêng khác nhau của toán tử tự liên hợp

A ∈ L(E) Khi đó, các không gian con riêng:

Nλ = {x ∈ E : Ax = λx}, Nµ= {x ∈ E : Ax = µx}

trực giao với nhau

Định lý 1.56 Giả sử A ∈ L(E) là toán tử tự liên hợp Khi đó,

σ(A) ⊂ [m, M ]

Ở đây, m = inf{hAx, xi : kxk = 1} và M = sup{hAx, xi : kxk = 1}

Hơn nữa: m, M ∈ σ(A)

Toán tử tự liên hợp compact

Ta coi, σ(A) là vô hạn Đặt:

qn = dim N (A − λn)

là số chiều của không gian riêng ứng với giá trị riêng λn Khi đó, qn là hữu hạn với n ≥ 1.Giả sử, {e1, , eq1}, {eq 1 +1, , eq 1 +q 2}, , {eq q +q 2 + +q n−1 +1, , eq 1 +q 2 + +q n} là cơ sở trựcchuẩn của N (A − λ1), N (A − λ2), , N (A − λn), Rõ ràng, {en}n≥1 là hệ trực chuẩnđầy đủ các véc tơ riêng của A Đặt:

µ1 = = µq1 = λ1

µq1+1 = = µq1+q2 = λ2

µq1+q2+ +qn−1+1 = = µq1+q2+ +qn = λn.Khi đó, µn là giá trị riêng của véc tơ riêng en với mọi n ≥ 1

Cho A, B ∈ L(E) Ta viết A ≥ B nếu A − B ≥ 0.

Mệnh đề 1.62 Quan hệ ≤ là một quan hệ thứ tự trên L(E) Ngoài ra, nếu A ≥ 0, B ≥ 0

và λ ≥ 0 thì A + B ≥ 0 và λA ≥ 0

Định lý 1.63 Giả sử {An} ∈ L(E) là dãy các toán tử tự liên hợp thỏa mãn các điều kiệnsau:

a {An} đơn điệu tăng

b {An} bị chặn bởi một toán tử tự liên hợp B ∈ L(E), tức là An≤ B với mọi n.Khi đó, {An} hội tụ điểm tới một toán tử tự liên hợp A ∈ L(E)

Định lý 1.64 Với mọi toán tử dương A ∈ L(E) tồn tại duy nhất toán tử dương ϕ ∈ L(E)sao cho ϕ2 = A

Hệ quả 1.65 a Nếu B giao hoán được với A thì nó giao hoán được với A12

b Nếu A và B là các toán tử dương liên hợp được với nhau thì A ◦ B ≥ 0

Toán tử chiếu trực giao

Định nghĩa 1.66 Giả sử E là không gian Hilbert Toán tử P ∈ L(E) gọi là toán tử chiếutrực giao hay đơn giản là toán tử chiếu nếu F = ImP là không gian con đóng của E và

P = PF là phép chiếu trực giao lên F

Nhận xét 3 a Nếu P là toán tử chiếu thì 1E − P cũng là toán tử chiếu.

b Mọi toán tử chiếu là dương

Định lý 1.67 Để P ∈ L(E) là toán tử chiếu, điều kiện cần và đủ là P = P∗ và P2 = P

Ký hiệu: L(H) là đại số Banach sinh bởi tất cả các toán tử tuyến tính liên tục đi từ H vào H.

L+(H) là tập các toán tử T ∈ L(H) thỏa mãn tính đối xứng (hT x, yi = hx, T yi; x, y ∈ H)

và dương (hT x, xi > 0; x ∈ H) L+1(H) là tập tất cả các toán tử Q ∈ L+(H) thỏa mãn

Cho cặp số thực bất kỳ (a, λ) với λ > 0, ta xác định một độ đo xác suất Na,λtrên (R, B(R))như sau:

1 Nếu λ = 0 chúng ta đặt Na,0 = δa, với δa là độ đo Dirac tại a, xác định như sau vớimọi B ∈ B(R) :

2 Nếu λ > 0, ta đặt:

Na,λ(B) = √1

2πλZ

Nên Na,λ là độ đo xác suất trên (R, B(R))

Giả sử, B ∈ B(R) là tập có độ đo Lebesgue bằng 0, thì:

Na,λ(B) = √1

2πλZ

Khi a = 0, ký hiệu Nλ thay cho Na,λ

Mệnh đề dưới đây chỉ ra các tính chất cơ bản của độ đo xác suất Na,λ

Chương 2 Độ đo Gauss trên không gian Hilbert 19

−(x−a)22λ dx

=Z

R

1

√2πλ(x − a)e

2e−(x−a)22λ dx

=Z

R

1

√2πλy

2e−y22λdy

= λZ

−(x−a)2

2λ dx

=Z

R

1

√2πλe

ihx−(x−a)22λ dx

=Z

R

1

√2πλe

ih(a+y)−y22λdy

= eiahZ

R

1

√2πλe

ihy−y22λdy

= eiahe−1λh2

Giả sử H có chiều bằng d ∈ N hữu hạn

Trước khi định nghĩa độ đo Gauss trên (H, B(H)), ta nhắc lại một vài khái niệm của độ

đo xác suất

2.3.1 Tích các độ đo xác suất

Cho d ∈ N và (Ωi, Fi, Pi), i = 1, , d là các không gian xác suất

Ký hiệu Ω := Ω1× Ω2 × × Ωd là tích các không gian xác suất Tập con R của Ω đượcgọi là hình hộp chữ nhật đo được nếu có dạng:

R = B1× B2× × Bd, Bi ∈ Fi, i = 1, , d

Ta có: σ−đại số F trên Ω là σ−đại số sinh bởi tất cả các hình hộp chữ nhật đo được xácđịnh như ở trên Với hình hộp chữ nhật đo được bất kỳ R = B1× B2 × × Bd, ta xácđịnh:

P(R) = P1(B1) × P2(B2) × × Pd(Bd)

Khi đó, P có thể mở rộng duy nhất thành một độ đo xác suất trên (Ω, F), ký hiệu là

P1× P2× × Pd

Định nghĩa độ đo Gauss

Ta đi định nghĩa độ đo Gauss Na,Q với mọi a ∈ H và Q ∈ L+(H)

Cho Q ∈ L+(H) và một cơ sở trực chuẩn (e1, , ed) trên H thì Qek = λkek, k = 1, , d với

Mệnh đề 2.2 Cho a ∈ H, Q ∈ L+(H) và µ = Na,Q Khi đó, ta có:

hy, x − aihz, x − aiNa,Q(dx) = hQy, zi, y, z ∈ H

Hơn nữa, biến đổi Fourier của Na,Q được cho bởi:

Chương 2 Độ đo Gauss trên không gian Hilbert 21

Và Na,Q liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesgue trong Rd Hơn nữa,

Na,Q(dx) = 1

p(2π)ddet Qe

− 1

2 hQ −1 (x−a),x−aidx

Khi đó, a được gọi là kỳ vọng và Q là hàm hiệp phương sai của độ đo Na,Q

Chứng minh Để đơn giản, ta giả sử H = Rd Ta có:

e−(xk−ak)

2 2λk dxk

k6=i

1

√2πλk

e−(xk−ak)

2 2λk dxk

−(xk−ak)2

2λk dxk

Khi đó,

0 = λ(R) = λ(B1× B2× × Bd) = λ(B1) × × λ(Bd),nên tồn tại i0 ∈ [1, d] sao cho λ(Bi0) = 0 Do Na,λ liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesguenên Nai0,λi0(Bi0) = 0 Từ đó,

λk dx

p(2π)ddet Qe

− 1 2

P d k=1 (xk−ak)2

λk.

Chương 2 Độ đo Gauss trên không gian Hilbert 23

− 1 2

P d k=1 (xk−ak)2

Mệnh đề 2.3 Cho H là không gian Hilbert hữu hạn chiều Cho a ∈ H, Q ∈ L+(H) và µ

là một độ đo xác suất trên (H, B(H)) sao cho:

eihh,xiNa,Q(dx) = eiha,hi−12 hQh,hi

kết hợp với giả thiết:

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Giả sử H là không gian Hilbert tách được vô hạn chiều và (ek) là hệ trực chuẩn đầy đủtrên H Với n ∈ H bất kỳ, xét ánh xạ chiếu Pn : H → Pn(H) xác định như sau:

Mệnh đề 2.4 Cho µ và ν là các độ đo xác suất trên (H, B(H)) sao cho:

với mọi hàm liên tục, bị chặn ϕ : H → R Khi đó, µ = ν

Chứng minh Cho tập đóng bất kỳ C ⊂ H và (ϕn) là dãy các hàm liên tục, bị chặn trên

Ta sẽ chứng minh ϕn là hàm liên tục, bị chặn trong H và thỏa mãn (2.3) Thật vậy,

do ϕn(x) là hằng trên C nên ϕn liên tục trên

Từ đó, ϕn liên tục trên H Dễ thấy, ϕn bị chặn bởi 1 trên H và thỏa mãn (2.3)

Vì vậy, theo giả thiết ta có:

Chương 2 Độ đo Gauss trên không gian Hilbert 25

Nên µ(C) = ν(C) Mà C là tập đóng bất kỳ trong H nên µ = ν trên H

Mệnh đề 2.5 Cho µ và ν là các độ đo xác suất trên (H, B(H)) Nếu (Pn)]µ = (Pn)]ν vớimọi n ∈ N Khi đó µ = ν

Chứng minh Cho ϕ : H −→ R liên tục và bị chặn Vì lim

n→∞Pnx = x với mọi x ∈ H, kếthợp với định lý hội tụ bị chặn ta có:

Áp dụng mệnh đề (2.4) ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.6 Cho µ và ν là các độ đo xác suất trên (H, B(H)) Nếuµ(h) =b bν(h) với mọi

h ∈ H thì ta có µ = ν

Chứng minh Với mọi n ∈ N, Pn là đẳng cấu, áp dụng công thức (1.1) ta có:

bµ(Pn(h)) =

Bây giờ, cố định một độ đo xác suất µ trên (H, B(H)) Ta sẽ đi xác định kỳ vọng vàphương sai của µ.

Khi đó, Q được gọi là phương sai của µ

Mệnh đề 2.7 Cho µ là một độ đo xác suất trên (H, B(H)) với kỳ vọng m và phương sai

Q Khi đó, Q ∈ L+1(H) tức là Q đối xứng, dương, thuộc lớp vết

Chương 2 Độ đo Gauss trên không gian Hilbert 27

nên hQh, ki = hh, Qki và hQk, ki> 0 Vậy Q đối xứng, dương

Xét (ek) là hệ trực chuẩn đầy đủ trong H Ta có:

Độ đo Gauss Na,Q được gọi là không kỳ dị nếu Ker(Q) = {x ∈ H : Qx = 0} = {0}

Ta sẽ chỉ ra rằng với a ∈ H và Q ∈ L+1(H) tùy ý sẽ tồn tại duy nhất một độ đo Gauss

µ = Na,Q trên (H, B(H))

Do Q ∈ L+1(H), tồn tại một cơ sở trực chuẩn đầy đủ (ek) trong H và một dãy các số thựckhông âm (λk) sao cho Qek= λkek, k ∈ N Với mọi x ∈ H, ta đặt:

xk = hx, eki, k ∈ N

Gọi `2 là không gian Hilbert chứa dãy các số thực (xk) thỏa mãn:

Xét độ đo tích µ := ×∞k=1Nak,λk Giả sử µ xác định trên không gian R∞ := ×∞k=1R (thay

vì trên `2) Ta sẽ đi chứng minh µ là độ đo Gauss Na,Q Để làm được điều đó, ta cần mộtvài kết quả về tích đếm được các độ đo dưới đây

2.5.1 Một vài kết quả về tích đếm được các độ đo

Cho (µk) là dãy các độ đo xác suất trên (R, B(R)) Ta xác định một độ đo xác suất trênkhông gian R∞ chứa tất cả các dãy số thực (xk)k=1,+∞ = x Xét một khoảng cách d trên

Dễ thấy, R∞ với khoảng cách d trên là không gian metric

Giả sử, (x(m)) là dãy Cauchy trong R∞ Ta có:

∀ε > 0, ∃ m0, ∀t, s > m0 : d(x(t), x(s)) < ε,tức là:

∞

X

n=1

2−nmax{

x(t)k − x(s)k

: 1 6 k 6 n}

1 + max{

x(t)k − x(s)k ... class="text_page_counter">Trang 34

Chương Độ đo Gauss không gian Hilbert 29

Vậy, dãy (x(m)k ) dãy Cauchy R với k Nên dãy...

Từ đó, ta thấy dãy (x(m)) hội tụ tới x R∞ Nên (R∞, d) không gian metric đầy đủ

và topo tương ứng sinh metric topo tích

Ta xỏc nh = ìk=1àk... trờn h C sinh bi tất tập hình trụ In,A R∞,

Cuối cùng, ta xác định độ đo xác suất:

à(In,A) = (à1ì ì àn)(A), In,A