Khoá Luận tốt nghiệp Toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert va ứng dụng

Chẳng hạn, nhờ công thức Dirac-von Neumanntrong cơ học lượng tử mà ta đánh giá được trạng thái vật lí của một hệ nào đó, về vị trí, xung lượng, tần số, độ xoắn,…, qua sự biểu diễn của to

Chẳng hạn, nhờ công thức Dirac-von Neumann(trong cơ học lượng tử) mà ta

đánh giá được trạng thái vật lí của một hệ nào đó, về vị trí, xung lượng, tần số,

độ xoắn,…, qua sự biểu diễn của toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert Hoặc, nhờ phương trình toán tử Hamilton

2 2

2m

Hψ = ψ ưV ∇ ψ , mà ta mô tả

được năng lượng của hạt có khối lượng m trong trường thế (thực) V.Trong đó

H là toán tử vi phân(tự liên hợp), thuộc lớp con các toán tử khả vi, của lớp các toán tử không bị chặn Một số vấn đề liên quan khác, có thể thấy ở ví dụ 3.1 (trang 22); chú ý 4.2(trang 26) Trong thực tế, nhiều bài toán vật lí - toán, được giải bằng cách đưa về bài toán tìm véctơ riêng của toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert vô hạn chiều Phương pháp đó được áp dụng khá phổ biến

và hiệu quả Chẳng hạn, các bài toán về

Đ2 Toán tử Laplace và ví dụ về toán tử Laplace không tự liên hợp

Đ3 Liên hệ cơ bản giữa phổ của toán tử và tính tự liên hợp

Đ4 Phổ của toán tử tự liên hợp không bị chặn

Phần 2 Một số ứng dụng

Đ5 Bài toán giá trị riêng đối với toán tử tự liên hợp

Đ6 Bài toán Fredholm

Đ7 ứng dụng cho phương trình tích phân

Đ8 ứng dụng cho bài toán biên – giá trị riêng

Trong luận văn này, chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu để trình bày hệ thống những vấn đề cơ bản nhất một cách đơn giản Nhưng do quỹ thời gian và năng lực, chắc chắn sẽ còn những sai sót Những vấn đề mở rộng, chuyên sâu hơn về

lý thuyết và ứng dụng mà luận văn chưa đề cập đến một cách đầy đủ, bạn đọc

có thể tìm hiểu trong các giáo trình và tài liệu chuyên khảo

Tác giả xin chân thành cảm ơn về những góp ý quan trọng của thầy giáo Nguyễn Xuân Thuần, các thầy cô giáo và bạn bè khoa KHTN

Thanh hoá, tháng 5 năm 2009

Các kí hiệu sử dụng

D(A) Miền xác định của toán tử A

Ran(A) Tập giá trị của toán tử A

G(A) G(A) :={ (x, Ax : x) ∈D(A)}

B(X) Tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X

kerA Không gian không(hoặc hạch của toán tử A)

span(D) Bao tuyến tính của tập D

P(H) Tập các phép chiếu trên không gian Hilbert H

A (hoặc A ) Bao đóng của toán tử A [ ]

(A)σ Phổ của toán tử tuyến tính A

ρ(A) Tập giải thức của toán tử tuyến tính A

R (A)λ Giải thức của toán tử tuyến tính A tại λ

dimX Số chiều của không gian tuyến tính X

C ( )k Ω Tập các hàm khả vi bậc k trên Ω ⊆ n

C ( )c∞ Ω Tập các hàm khả vi vô hạn, với giá compact trên Ω ⊆ n

C∞ 0[ ]a, b

, C ( )k Ω Không gian các hàm trơn trên [ ]a, b , Ω

C a, b , C( )[ ] Ω Không gian các hàm liên tục trên [ ]a, b , Ω

L(a, b);L (a, b);L ( );L ( )2 2 Ω 2 μ Không gian các hàm khả tổng Riemann, Lebesgue

Lloc;L2loc;Lploc Không gian các hàm khả tổng có lũy thừa p =1,2, N, khả tổng địa phương

Mục lục

Nội dung Trang

Mở đầu……… ……… 2

Các kí hiệu sử dụng 4

Mục lục ……… 5

Phần 1 Một số vấn đề về lí thuyết toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert……… ………6

Đ1 Toán tử tự liên hợp………6

1 Định nghĩa và tính chất cơ bản………6

2 Các ví dụ……… 9

Đ2 Toán tử Laplace và ví dụ về toán tử Laplace không tự liên hợp…… 11

1 Toán tử Laplace……… 11

2 Toán tử Laplace không tự liên hợp……….16

Đ3 Liên hệ cơ bản giữa phổ của toán tử và tính tự liên hợp……… 20

1 Định nghĩa và tính chất cơ bản……… 20

2 Các ví dụ ……… ……… 22

Đ4 Phổ của toán tử tự liên hợp không bị chặn……… 25

1 Định nghĩa và ví dụ……… ……… 25

2 Một số tính chât cơ bản……… 27

Phần 2 Một số ứng dụng………31

Đ5 Bài toán giá trị riêng đối với toán tử tự liênhợp 31

Đ6 Bài toán Fredholm……… 35

Đ7 ứng dụng cho phương trình tích phân ………38

Đ8 ứng dụng cho bài toán biên- giá trị riêng……… 43

Kết luận……… 48

Tài liệu tham khảo……… 49

Phần 1 Một số vấn đề về lý thuyết toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert

Đ1 Toán tử tự liên hợp

1 Định nghĩa và tính chất cơ bản

Định nghĩa1.1 Giả sử X và Y là các không gian Banach, M là không gian con

của X Phép biến đổi tuyến tính( hoặc toán tử) A : M→ là xác định trù mật, Y

Mệnh đề1.1 Giả sử A, B là các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H

Khi đó, phép biến đổi liên hợp : H∗ →H , A ∗(A)=A∗ có các tính chất

(1) ( )* *

cA =c A nếu c≠0, c∈C

(2) ( * *) ( )*

A +B ⊂ A+B , nếu A+ là xác định trù mật B (3) ( )* * *

Định nghĩa1.3 Giả sử A : H→ là toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian H

Hilbert H Khi đó

(1) A là chuẩn tắc, nếu A A* =AA*

(2) A là đối xứng( liên hợp ), nếu(Ax, y) (= x, Ay ,) ∀x, y∈ H (3) A là tự liên hợp( Hermit ), nếu A* = A

(4) A là unita, nếu Ax = x , x∀ ∈ H

(5) A là trực giao, nếu H là không gian Hilbert thực và A là unita

Nhận xét1.2 (1) Nếu định nghĩa toán tử U : H Hì → ì , bởi H H

Chứng minh Giả sử D(T )* không trù mật trong H Khi đó, tồn tại

z≠0 sao cho z⊥D(A*) Vì (0, z)⊥(A*y, y), y− ∀ ∈D(A*),

Nhận xét1.3 Nếu A xác định trù mật trong H , thì A*xác định trù mật trong

Hkhi và chỉ khi A có mở rộng tuyến tính đóng Khi đó,A**là mở rộng tuyến tính nhỏ nhất và G(A ) = G(A) **

Định nghĩa1.4 Nếu A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật và có mở rộng tuyến tính đóng, thì bao đóng của A là mở rộng tuyến tính nhỏ nhất

Định nghĩa1.5 Không gian con M⊂D A( ), gọi là lõi của toán tử đóng A ,nếu bao đóng của thu hẹp A trên M là A Nghĩa là, A=( )AM

Mệnh đề1.3 Giả sử H là dãy các không gian Hilbert Khi đó, tập n

là không gian Hilbert( H đ−ợc gọi là tổng trực tiếp của Hn)

Mệnh đề1.4 Cho H là dãy các không gian Hilbert và n n

Do đó, ánh xạ x→(Ax, y liên tục trên D(A) ; ) y∈D(A )* và A y = By *

Vì vậy A* ⊃ Ng−ợc lại, giả sử B *

z∈D(A ) Khi đó, tồn tại z*∈ H sao cho (Ax, z) = (x, z ),* ∀ ∈x D(A), và với mọi ∈x H ta có n

Suy ra z∈D B và ( ) z*∈Bz, nên A* ⊂ Vậy B *

A = B Cuối cùng, nếu x∈D A , x = x , x , ( ) ( 1 2 ) thì phần tử i ( )

z = x , , x , 0, 0, là dãy khác không hữu hạn, zi⎯⎯→ Từ tính trù mật của ∞ x D A ta có ( )

i

Az →Ax Do đó, các dãy hữu hạn(khác không) thuộc lõi của A ♦

Định nghĩa1.6 Toán tử A trong mệnh đề 1.4, gọi là tổng trực tiếp của các toán

đó, A là toán tử tự liên hợp và ánh xạ B(H)→B(H ), A∗ A∗ là đẳng cấu ,

đẳng cự Do đó, A∗có mọi tính chất của A.♦

Ví dụ 2 Cho không gian Hilbert H Toán tử

là toán tử tự liên hợp của A.♦

Ví dụ 3 ( Toán tử tích phân dạng Hilbert – Schmidt ) Xét không gian Hilbert

H = L a, b và ánh xạ đo đ−ợc 2( ) ( ) ( )

( )

2 s,t a,b

( )

( )

1 2 2

Ví dụ 4 ( Toán tử tọa độ trong cơ học l−ợng tử ) Xét không gian Hilbert

D= x(t) :x(t) và t.x(t) ∈ L −∞ +∞ Khi đó, ,toán tử A : x(t)∈D A x(t) : t.x(t)= - là tự liên hợp.♦

Ví dụ 5 Giả sử (H,μ là không gian đo đ−ợc và ) f∈(H,μ ; C H) ⊆ Gọi

Nhận xét1.4 Nếu H là không gian Hilbert , A là toán tử đối xứng đóng trên

H Khi đó, nếu tồn tại dãy các không gian con đóng { }Kn n∈ của H , bất biến

qua A ( nghĩa là AKn ⊂Kn), sao cho Kn ⊂D(A), n∀ ∈ và nếu n

n=1

K

∞

∪ là lõi của A , thì A là tự liên hợp

Đ2 Toán tử Laplace ví dụ Về

toán tử Laplace không tự liên hợp

Phương pháp biến đổi Laplace (L ) được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của

toán học và vật lý, như : Lý thuyết xác suất, giải tích Fourier, lý thuyết nhóm Lie, lý thuyết phương trình vi phân- đạo hàm riêng… Chẳng hạn, để giải các bài toán về phương trình vi phân và bài toán giá trị biên tương ứng Quá trình tìm nghiệm của các bài toán trên, gồm ba bước :

(1) Sử dụng biến đổi (L ), đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản

(2) Giải phương trình đại số thu được

(3) Qua phép biến đổi (L ) ngược, thu được nghiệm của phương trình

(1) Sử dụng biến đổi (L ), kí hiệu Y = L(y), và R =L(s) Khi đó, ta có

C ư ( ), k≥ - là tập các hàm liên tục, khả vi cấp k và (k-2) tương ứng Khi 2

đó, toán tử vi phân cấp hai Δ ( hoặc toán tử Laplace ), cho bởi

(2) Tổng quát hơn, với miền mở Ω tùy ý, toán tử Laplace cho bởi

Δ k Ω → k 2ư Ω

: C ( ) C ( ) Khi đó, thường kí hiệu f : AfΔ = (2.5) - như một toán tử trừu tượng

2 2

≤ε + φ ∗ ư + ε k h h

f f L ( ).

1(x) ( )(x / k)

n

k 2 k

(2) Bao đóng của A là tự liên hợp

Chứng minh ( Chi tiết của chứng minh, có thể tìm trong [ ]1 )

(1) Tích phân từng phần, ta đ−ợc( ) ( ) ( )n

c

A f,g = f, A g ,∀f,g∈C∞ Do A đối xứng, nên A đối xứng

(2) Vì ( )* *

A = A , ta cần chứng minh A = A Thật vậy, * A⊂A*nên

(2) Mỗi phần tử f xác định trên D(A )∗ , đều thỏa mãn các tính chất giải tích hầu khắp nơi trên L ( ) 2

Định lí 2.3 Với n = 1và h∈D(A )* Khi đó, tồn tại duy nhất hàm liên tục u sao cho

n( ) ( ) ( x )

→∞ ′ = ư ϕ′ + ω = (2.13) Khi đó, v liên tục và bị chặn địa phương Lặp lại quá trình trên, từ đẳng thức

bị chặn v trên mọi khoảng hữu hạn Thật vậy, qua giới hạn hai vế trong (2.15),

ta được ( ) ( ) x ( )

t

u x =u t +∫ v s ds, với mọi x và t (2.17) Tính liên tục của v và định lí cơ bản về hàm tính Ta được u′ = Do đó v

2 Toán tử Laplace không tự liên hợp

Ví dụ 2.3 Một toán tử đối xứng và đóng, có thể không tự liên hợp

Ta có * ( )** * *

A = A = A Nh−ng vì A*⊃ nên A *

A ⊃ , nghĩa là A là đối Axứng Ta chỉ ra A không tự liên hợp Thật vậy,

Lấy f∈D A( ) và g=A f Khi đó tồn tại dãy fn∈D A( ) sao cho fn → trong f

L 0,∞ , nên f liên tục tuyệt đối trên [0, +∞ Do đó, ) ( ) ( )

f ' x =∫g(s)ds, x∀ Vậy f ' liên tục tuyệt đối trên [0,∞ và f '(0)) = 0

Do đó, nếu f∈D A( ) thì f và f ' là liên tục tuyệt đối, 2( )

f ''= ∈g L 0,∞ và

Af =f '' Ngoài ra f (0)=f '(0)= 0

Nếu ϕ là hàm tuỳ ý thuộc 2[ )

C 0,∞ thì (Af ,ϕ =) (f , ''ϕ , ) ∀ ∈f D A( ) (Sử dụng công thức tính phân từng phần hai lần và f (0)=f '(0)= ) Suy ra 0

( )

D A∗

ϕ∈ Tuy nhiên, có thể lấy (0)ϕ ≠0⇒ ϕ∉D A( )∗ nên A⊂A∗ Nghĩa

f f '(0)g(0) liên tục trong 2( )

L 0,∞ Điều này xảy ra khi g 0( )= (nhận xét 02.3(2)) Do đó, điều kiện cần để g∈D S( )∗ là g 0( )= Nghĩa là, nếu 0

( )

g∈D S∗ thì g∈D S( ) Tức là S⊂ Vậy S SS∗ = hay S là tự liên hợp ∗ ♦

Đ3 Liên hệ cơ bản giữa phổ của toán tử

và tínhtự liên hợp Ví dụ

1.Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Định nghĩa 3.1 (1) Với mỗi toán tử tuyến tính A : H→ , số phức λ thuộc Htập giải thức (A)ρ của A, nếu Aư λ là song ánh và I ( ) 1

Aư λI ư bị chặn Toán tử

R (A) :λ A I ư

λ = ư λ gọi là giải thức của A tại λ

(2) Tập (A)σ các giá trị λ gọi là phổ của A

(3) Nếu λ thoả mãn xλ ưAx= , với mỗi x 00 ≠ , thì x gọi là vectơ riêng(hoặc hàm riêng) của A và λ gọi là giá trị riêng của A

Chú ý 3.1 Giả sử λ ∈σ(A) Khi đó, nếu

(1) Miền giá trị của Aư λ trù mật trong H và I ( ) 1

(4) (A)σ ∩ ρ(A)= ∅ σ; (A)∪ ρ(A)=

Mệnh đề 3.1 Nếu A là toán tử tuyến tính xác định trù mật trên H, thì

(1) (A)ρ là tập con mở trong mặt phẳng phức

(2) R (A)λ là hàm giá trị toán tử, giải tích trên

(3) Họ {R (A) :λ λ ∈ρ(A)} là tập giao hoán các toán tử bị chặn

Chứng minh Bạn đọc có thể tìm trong [1]-trang 14

Định lí 3.1.(Von neumann ; Đặc trưng cơ bản của tính tự liên hợp) Giả sử A là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert H Khi đó, các khẳng định sau tương

đương

(1) A tự liên hợp

(2) A đóng và ( * ) ( * ) { }

ker A + =I ker A − =I 0 (3) Ran A( + =I) Ran A( − =I) H

Do đó, với mỗi ψ ∈ , tồn tại H ϕ ∈n D A( ) sao cho (A+ ϕ → ϕ và I) n

từ (3.1), suy ra { }ϕ là dãy Cauchy Nên n ∃ϕ∈ sao cho H ϕ → ϕ n

D Aϕ∈ , vì Ran A( − = , nên tồn tại I) H y∈D A( ), sao cho( ) ( * )

Định nghĩa 3.2 Toán tử A gọi là tự liên hợp cốt yếu, nếu bao đóng

A tồn tại và tự liên hợp

Hệ quả 3.1 Nếu A là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert H, thì

các tính chất sau tương đương

(1) A tự liên hợp cốt yếu

ker(A + =I) ker(A ư =I) 0

(3) Ran(A+ và Ran(A I)I) ư trù mật trong H

Chứng minh Vì A=A* nên từ định lí 3.1, (1) và (2) tương đương Với mỗi toán tử đối xứng A, từ bất đẳng thức (3.1) và định nghĩa về bao đóng của toán

tử, suy ra Ran A( + =I) Ran A( + I)

Tương tự, Ran A( ư =I) Ran A( ư Do đó khẳng định (3) trong hệ quả, tương I)

đương với khẳng định (3) trong định lí 3.1.♦

Nhận xét 3.1

(1) Nếu A là toán tử đối xứng và đóng thì bất đẳng thức (3.1) là đúng

và không gian con K± =Ran A( ± là đóng I)

(2) A là tự liên hợp nếu và chỉ nếu K+ =Kư = H

Mệnh đề 3.2 Giả sử A là toán tử xác định trên H ( theo nghĩa A đóng, đơn ánh

Ran(A ) trù mật trong H

(3) 1 * * 1

(A )ư =(A )ư (4) 1

Bài toán (3.2) tương đương với bài toán : Tìm các toán tử momen xung lượng

x x ψ(x)

Lời giải.(Sơ lược lời giải của (3.2))

+) Sử dụng biến đổi Fourier, 2 3

Ví dụ 3.2 Giả sử C 0,1 là tập các hàm liên tục tuyệt đối trên [ ]a [ ]0,1 , có đạo hàm trên 2[ ]

L 0,1 , và A, B là các toán tử đóng, với miền xác định

D(A)= ϕ ϕ ∈{ : C 0,1[ ]a} và D(B)= ϕ ϕ ∈{ : C 0,1 , (0)[ ]a ϕ =0}trù mật trong 2[ ]

2 0

gọi là phần bù trực giao của M Tính liên tục của tích vô hướng, kéo theo M⊥

là không gian con tuyến tính đóng của H, theo nghĩa ( )M ⊥ =M⊥ Kí hiệu ( )

P H là tập các phép chiếu trực giao trên H, B là sigma đại số Borel các tập con của

Định nghĩa 4.1 ánh xạ E : B→P(H), D (E(D)x, y) , với x,y∀ ∈ gọi H

là độ đo xạ ảnh( hay độ đo phổ) trên H, nếu

(1) Với mỗi D ∈B, E(D) là một phép chiếu

E(D)∗ =E(D), E(D) =E(D)

(3) Hội tụ mạnh(yếu), nói trong chú ý 4.1(1), theo nghĩa tương ứng sau

+) ( ) n ( )

n

x , E x ⎯⎯⎯→∞→ x , Ex

Chú ý 4.2 (1) Trong xác suất, ánh xạ B P(B) , từ các tập con Borel

của vào [ ]0,1 , là độ đo xác suất, khi

k k 1

p = là các phép chiếu tương ứng vào các không gian riêng Khi đó, với mỗi

H=L ( ) và f là hàm giá trị thực đo được Khi đó, với mỗi

D∈B, ánh xạ D p(D)= χf ư 1 ( D ) là độ đo xạ ảnh trên H Dễ thấy p thỏa mãn các tính chất p( )∅ =0, p( \ D) 1 p(D)= ư và

suy ra p : B( )→P H( )là ánh xạ tuyến tính từ tập các hàm đơn giản vào tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên H và p là độ đo xạ ảnh trên H.♦

( )n n n ( )n n n

E B A =A E B =∫g B dEχ =A Vì vậy, A là bất biến trên n H Hơn nữa, n *

A =∫g dE =∫g dE=A Vậy A là toán tử tự liên hợp ♦

Chú ý 4.3 Giả sử (X,μ là không gian độ đo, ) fα∈L∞( )μ Định nghĩa

U : H→L X,μ , và với mỗi α , tồn tại fα∈L∞( )μ , sao cho 1

f

U A U− α =Mα.(Chứng minh chi tiết có thể tìm trong [1], trang 23)

Định lí 4.2 Giả sử A là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert tách

đ−ợc H Khi đó, tồn tại không gian độ đo hữu hạn (X,μ , toán tử unita )

U A U− =U A U− Vì vậy, T là tự liên hợp Do đó, f là thực hầu khắp nơi ♦ f

Định lí 4.3 Cho toán tử tự liên hợp A trên không gian Hilbert phức, tách

đ−ợc H Khi đó, tồn tại độ đo xạ ảnh E(.) sao cho A dE( )

∞

−∞

= λ∫ λ (4.10) Chứng minh Bạn đọc có thể tìm trong [1], trang 42.♦

Chú ý 4.4 Nh− đối với hàm không bị chặn, luôn tồn tại lớp toán tử tự liên hợp không bị chặn Chẳng hạn, với mỗi hàm đo đ−ợc Borel f trên R và

toán tử tự liên hợp A xác định bởi f f (A) f ( ) dE( )